北师大版数学九年级下册教学设计

第一章直角三角形的边角关系从学生原有的认知结构提出问题师生共同研究形成概念B∠A的对边B∠A的对边C斜边A∠A的邻边A∠A的邻边AββA教学目标5、经历探索直角三角形中边角关系的过程6、理解锐角三角函数（正切、正弦、余弦）的意义，并能够举例说明7、能够运用三角函数表示直角三角形中两边的比8、能够根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算教学重点和难点重点：理解正弦、余弦函数的定义难点：理解正弦、余弦函数的定义教学过程设计上一节课，我们研究了正切函数，这节课，我们继续研究其它的两个函数。B∠A的对边CB∠A的对边C师生共同研究形成概念斜边∠A的邻边∠A的邻边斜边斜边☆巩固练习锐角∠A的正切、正弦、余弦都是∠A的三角函数。9、梯子的倾斜程度AABACCB分析：本例是利用正弦的定义求对边的长。分析：通过正切函数求直角三角形其它边的长。正弦、余弦函数的定义。BA教学目标9、经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，能够进行有关推理，进一步体会三角函数教学重点和难点重点：进行含有30°、45°、60°角的三角函数值的计算教学过程设计上两节课，我们研究了正切、正弦、余弦函数，这节课，我们继续研究特殊角的三角函数值。通过与学生一起推导，让学生真正理解特殊角的三角函数值。度数122232322212A3313要求学生在理解的基础上记忆，切忌死记硬背。分析：本例是利用特殊角的三角函数值求解。例6填空1）已知∠A是锐角，且，则∠A=°,sinA=；例7一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5m，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为60°,且两边的摆动角相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高分析：本例是利用特殊角的三角函数值求解的具体应用。c分析：本例先求出比值后，利用特殊角的三角函数值，再确定角的大小。要求学生在理解的基础上记忆特殊角的三角函数值，切忌死记硬背。OOCA如图，当登山缆车的吊箱经过点A到达点B时，它走过了分析：在Rt△ABC中，∠α=30°,AB=200米，需求出BC.面的夹角是∠β=45°,由此你能想到还能计算什么?BC=300m，BA=100m，∠C=40°,∠ABF=30°.12所以山高AE=AF+BD＝192.8+50＝242.8(m).AB=20m，∠CAB=50°,∠DAB=56°所以避雷针的长度DC=DB-CB＝29.652-23.836≈5.82(m).通安全，某市政府要修建10m高的天桥，为了方便行sinA==.11.知道解直角三角形的概念、理解直角三角形中五个元素的关系。2.通过综合运用勾股定理，掌握解直角三角形，逐步形成分析问题、解决问题的能力.3．渗透数形结合的数学思想，养成良好的学习习惯．二、教学重点及难点教学重点：掌握利用直角三角形边角关系解直角三角形教学难点：锐角三角比在解直角三角形中的灵活运用三、教学用具准备黑板、多媒体设备.引入新课：如图所示，一棵大树在一次强烈的地震中倒下，树干断处离地面3米且树干与地面为3米。当然对于特殊锐角的解题用几何定理比较简单，也可以用锐角三角函数来解此题。二、知识回顾1．在一个三角形中共有几条边？几个内角?（引出“元素”这个词语）讨论复习(1)两锐角互余∠A+∠B＝90°;三、学习新课1、例题分析例题1在Rt△ABC中，∠C=900，∠B=380，a=8，求这个直角三角形的其它边和角.分析：如图，本题已知直角三角形的一个锐角和一条直角边，那么首先要搞清楚这两个元素的位置关系，再分析怎样用合适的锐角三角比解决问题，在本题中已知边是已知角的邻边，所以可以用的锐角三角比是余弦和正切.（板书）解：∵∠C=900∴∠A+∠B=900∴∠A=900-∠B=900－380=520注意:在解直角三角形的过程中,常会遇到近似计算,除特别说明外,边长保留四个有效数字.定义：在直角三角形中，由已知元素求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形.例题2在Rt△ABC中，∠C=900，c=7.34，a=5.28，解这个直角三角形.分析：本题如图，已知直角三角形的一条直角边和斜边，当然首先用勾股定理求第三边，怎样求锐角问题，要记住解决问题最好用原始数据求解，避免用间接数据求出误差较大的结论.∴∠B=900-∠A≈900－4600′=4400′.例题3（见教材p16）注意:在解直角三角形的过程中,常会遇到近似计算,除特别说明外,边长保留四个有效数字,角度精确通过上述解题，思考对于一个直角三角形,除直角外的五个元素中,至少需要知道几个元素,才能求出想一想：如果知道两个锐角，能够全部求出其他元素吗？如果只知道五个元素中的一个元素,能够全部求出其他元素吗?归纳结论：在直角三角形中，除直角外还有五个元素，知道两个元素（至少有一个是边），就可以求出其余三个元素.[说明]我们已掌握Rt△ABC的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，素(至少有一个是边)后，就可求出其余的元素．这样的导语既可以使学生大概了解解直角三角形的概念，同时又陷入思考，为什么两个已知元素中必有一条边呢？激发了学生的学习热情．5、请找出题中的错误，并改正已知:如图，在Rt△ABC中,∠C=90°,由下列条件,解直角三角形:(结果保留根号)B角函数的应用用.用.2.发展学生数学应用意识和解决问题的能力.教学难点：根据题意，了解有关术语，准确地画出示意图.南偏西55°的B处，往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西25°的C处，之后，货轮继交流.1、如图，小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶，测得仰角为30°,再往塔的方向2、某商场准备改善原来楼梯的安全性能，把倾角由40°减至35°,已知原楼梯长为4m，调整后的楼梯会加长多少？楼梯多占多长一界)均受到影响.提出问题：如何三角函数值，求相应的锐角．讲解科学计算器的应用．例触礁问题例楼梯问题识解决实际问题.通过积极参与数学活动过程，培养不怕困难的品质（1）.把测角仪的支杆竖直插入地面，使支顶此支顶此难发现∠BCA+∠ECB＝90°,而∠MCE+∠ECB=相等，得∠BCA=∠MCE.因此读出∠BCA的度数，也就读出了仰角∠MCE的度数.垂线所指的度数就是低处的俯角.离.2.量出测点A到物体底部N的水平距离AN＝距离.例如测量一个山峰的高度.的仰角∠MCE=α.MN的顶端M3.量出测角仪的高度AC＝BD＝a，以及测点A，B之间的距离AB=b在Rt△MEC中，∠MCE=α,则，MEME 今天，我们分组讨论并制作了测角仪，学会使用大.动中，想办法.献计策，用直角三角形的边角关系的知识解释设计方案的可行之处.相信同学们在下节课的具体活动中会更加积极地参与到其中.皮尺，测倾器(即测角仪).在图形上(如果测A、D间距离，用m表示；如果测D、C间距离，IAD＝m.CD＝n，∠HDM=α,∠HAM=β方案2：(1)如图(b)(测三个数据)CD＝n，∠HDM=α,∠HCG=γ.Y=______________________2．在利用图象讨论二次函数的性质时，让学生教学重点：作出函数y=±x2的图象，并根据图象认识和理解二次函数y=±x2的性请你找出几对对称点,并与同伴交流.1、已知函数y=(m+1)xm2+2m是关于x的二次函数。求：22图象的异同，理解a与c对二次函数图象的影响。299440实际教学效果：学生学习这节课是先动手，后操作，因此体会很深，对于作＝－y=a(x-h)²+k的图象:y=a(x-h)²+k1.顶点坐标与对称轴2.位置与开口方向3.增减性与最值1.指出下列函数图象的开口方向对称轴和顶点坐标:教学目标2、能够利用二次函数的对称轴和顶点坐标公式解决问题教学重点和难点教学过程设计h、k对二次函数图象的影响。但我科觉得，这样的恒等变形运算量较大，而且容易出错。这节课，我们研究一般形式的二次函数图象的作法和性质。当c>0时，抛物线与y轴的交点在原点的上方；当c<0时，抛物开口方向对称轴顶点坐标平移：左加右减对称轴、顶点坐标：前相反，后相同顶点坐标）分析：这是二次函数的具体应用，让学生体会对称轴、顶点坐标的在实际问题中的意义。础础算.趋势.表达式是基础,是重点,表格是画图象的关键,图象格的基础上对函数的总体概括和形象化的表达.(1)∵BC∥AD，∴△EBC∽△EAF．∴.3=-43=-43=-42＋300．333=-x2＋40x3=-(x2－30x＋225－225)3=-(x－15)2＋3003MM30AmNB30AmNBCODO40m求透过窗户的光线最多，也就是求矩形和半圆的面积之和最大，即2xy+πx22于4y＋4x＋3x+Πx＝7x＋4y+Πx＝15，所以面积解：∵7x＋4y+Πx＝15，=-3.5x2＋7.5x=-3.5(x2－x)7围成,并且在与砖墙相对的一面开2米宽的门(不用篱笆),问养鸡场的边长为多AA2．复习这节课所要用的其他相关知识：利润额y＝-5x2+100x+60000＝-5(x2-20x+100-100)+60000＝-=-20x2+1400x-20000=-20(x-35)2+4500。3.抛物线y=x2+2x-4的对称轴是______,开口方向是_____,顶点坐标是_____________。作出草图.3．归纳整理:错解：由△=7）2－4×k×(-7）=49＋28k＞0，∴△=7）2－4×k×(-7）=49＋28k≥0，得k≥-7故k≥-7且k≠0EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up19(情感态度与),1通过对)1-EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up3(抛物线y=),的表达式)_________交点的________坐标.似根为:但他们也表示有的时候从“数”的一面研究比较方便，有时2.你能用二次函数的知识解决哪些实际问题?与同伴交流.3.小结一下作二次函数图象的方法.4.二次函数的图象有哪些性质?如何确定它的开口方向,对例子进行说明.量之间的关系.6.用自己的语言描述二次函数y=ax2+bx+c的图象与方程ax2+b22+k3.函数y=ax+b和y=ax2+bx+c在同一直角坐标系内的图象大致是()得到的新抛物线的顶点是(-2,0),求原抛物线的解析式.于点C。若OA=4，OB=1，∠ACB=90°,求抛物线解析式。yC应该留给学生充分的独立思考的时间，不要让一元~70元之间.市场调查发现:若每箱发50元销售,平均每天可售出90箱,价格每降低1元,一座抛物线型拱桥如图所示,桥下水面宽度是4m,拱高是2m.当水面下降1m后,水面的二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况:有两个交点,有一个交点,没有交ax2+bx+c=0根的判别式Δ根根221.理解问题;4.做数学求解;5.检验结果的合理性,拓展等.录用一幅大会的开幕词，展示几种车子的图形1010987654321请同学们观察屏幕上两个半径相等的圆。请回答投影·)它们能重合吗？如果能重合，请将它们的圆心固定在一起。然后将其中一个圆旋你能从中发现哪些等量关系?说一说你的理由.利用旋转的方法得到圆的旋转不变性，由圆的旋转CD，CD，本教学设计在实试过程中，时间会较为紧迫，大小是相等的？为什么呢？你能观察到这三个角有为解决这个问题我们先来研究一种角。AAOBCAOBCBACO有时间和空间，让他们进行思考。让学生经历观察、想象O2．如图，点A，B，C都在⊙O上，若CACE观察图①,∠ABCEODD何判断的？观察图③,圆周角∠BAC=90°,弦BC经过圆心吗？为什么？AACBCBCBCOOOEQ\*jc3\*hps38\o\al(\s\up43(2),形)EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up20(外),个)EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up20(心),顶)EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up20(的),点)EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up20(位),的)EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up20(置),距)1．理解理解直线与圆有三种位置关系，并能利用公共点的个数、圆心到直线的距离与半径之间2．直线与圆相切的判断方法和如何作出直线与圆相切，并能利用公共点的个数、圆心到直线的距离与半径之间关系来判定它。过程与方法1．培养学生类比、归纳、观察及想象的能力以及使学生从运动的观点来观察直线和圆相交、相切、相离的关系、培养学生的辩正唯物主义观点。2．渗透从特殊到一般、数学转化的思想及运动的观点情感态度与价值观创设问题的情景，让学生主动地发展教学重点：理解直线与圆的三种位置关系的定义，并能准确的判定教学难点1）理解“切线”定义中的：“唯一”;（2）灵活准确应用相关性质解决问题二、教学过程第一环节创设情境引入课题1．观察三幅太阳升起的照片,地平线与太阳的位置关系是怎样的?这个自然现象反映出直线和圆的位置关系有哪几种?2．观察三幅太阳落山的照片,地平线与太阳的位置关系是怎样的?这个自然现象反映出直线和圆的位置关系有哪几种?3．作一个圆,把直尺边缘看成一条直线.固定圆,平移直尺O●OO●O●O●（1）直线和圆有哪几种位置关系?（2）直线和圆有惟一公共点(即直线和圆相切)时,这条直线叫做圆的切线,这个惟一的公共点叫做切点.（以下是不同小组的学生的总结）发言1：太在地平线下，刚好在地平线上，离开地平线三种关系。发言2：我们如果把地平线看作是一条直线，把太阳看作是一个圆，那么就有三种情况，即直线穿过圆，直线贴着圆，直线离开圆。发言3：我们可以把直线穿过圆称为相交，直线离开圆称为相离，而直线贴着圆我暂时还不能命发言4：我们认为上面关系要在一个平面内。综合上述几个同学的想法，我们可以这样命名：在同一平面内，直线与圆的位置有三种情况，相第二环节直线与圆的位置关系量化揭密O●OO●O●O●你能根据d与r的大小关系确定直线与圆的位置关系吗?第三环节探索切线的性质1．下面的三个图形是轴对称图形吗?如果是,你能画出它们的对称轴吗?你能由此悟出点什么？O●OO●O●O●2．如图,直线2．如图,直线CD与⊙O相切于点A,直径AB与直线CD有怎样的位系?说说你的理由.O●学生可以利用对称性、反证法等不同的方法解决这个问题。第四环节例题讲解O●CCA例1已知Rt△ABC的斜边AB=8cm,直角边AC=4cm.A(1)以点C为圆心作圆,当半径为多长时,AB与⊙C相切?A(2)以点C为圆心,分别以2cm,4cm为半径作两个圆,这两AB分别有怎样的位置关系?A例2直线BC与半径为r的⊙O相交,且点O到直线BC例3一枚直径为d的硬币沿直线滚动一圈.圆心经过的第五环节练习AA切点.请你观察猜想,PA,PB有怎样的关系?并证明