南师附中高三试题及答案

南师附中高三试题及答案

一、单项选择题（每题2分，共10题）1.集合\(A=\{1,2,3\}\)，\(B=\{2,4\}\)，则\(A\capB\)等于（）A.\(\{1\}\)B.\(\{2\}\)C.\(\{3\}\)D.\(\{4\}\)2.函数\(y=\sinx\)的最小正周期是（）A.\(\frac{\pi}{2}\)B.\(\pi\)C.\(2\pi\)D.\(4\pi\)3.复数\(z=1+2i\)，则\(\vertz\vert\)为（）A.\(\sqrt{5}\)B.\(\sqrt{3}\)C.\(\sqrt{2}\)D.\(5\)4.直线\(y=2x+1\)的斜率是（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(\frac{1}{2}\)D.\(-2\)5.若\(\cos\alpha=\frac{1}{2}\)，且\(0\lt\alpha\lt\pi\)，则\(\alpha\)等于（）A.\(\frac{\pi}{6}\)B.\(\frac{\pi}{3}\)C.\(\frac{2\pi}{3}\)D.\(\frac{5\pi}{6}\)6.等差数列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_3=5\)，则公差\(d\)为（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(3\)D.\(4\)7.双曲线\(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1\)的渐近线方程是（）A.\(y=\pm\frac{3}{4}x\)B.\(y=\pm\frac{4}{3}x\)C.\(y=\pm\frac{2}{3}x\)D.\(y=\pm\frac{3}{2}x\)8.已知\(a\gtb\gt0\)，则下列不等式成立的是（）A.\(a^2\ltb^2\)B.\(\frac{1}{a}\gt\frac{1}{b}\)C.\(a^3\gtb^3\)D.\(ac\gtbc\)9.函数\(f(x)=x^3-3x\)的极大值点是（）A.\(x=-1\)B.\(x=0\)C.\(x=1\)D.\(x=2\)10.从\(5\)名男生和\(3\)名女生中选\(3\)人参加活动，至少有\(1\)名女生的选法有（）A.\(25\)种B.\(46\)种C.\(56\)种D.\(70\)种二、多项选择题（每题2分，共10题）1.下列函数中，是偶函数的有（）A.\(y=x^2\)B.\(y=\cosx\)C.\(y=\sinx\)D.\(y=\vertx\vert\)2.以下哪些是基本不等式成立的条件（）A.\(a\gt0\)B.\(b\gt0\)C.\(a,b\inR\)D.\(ab\gt0\)3.直线\(l_1:A_1x+B_1y+C_1=0\)与\(l_2:A_2x+B_2y+C_2=0\)平行的条件有（）A.\(A_1B_2-A_2B_1=0\)B.\(A_1C_2-A_2C_1\neq0\)C.\(A_1A_2+B_1B_2=0\)D.\(\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}\neq\frac{C_1}{C_2}\)4.椭圆\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a\gtb\gt0)\)的性质正确的有（）A.长轴长为\(2a\)B.短轴长为\(2b\)C.离心率\(e\in(0,1)\)D.焦点在\(y\)轴5.下列向量运算正确的是（）A.\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\)B.\((\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})\)C.\(\lambda(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=\lambda\overrightarrow{a}+\lambda\overrightarrow{b}\)D.\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a}\)6.以下哪些是等比数列的性质（）A.\(a_n^2=a_{n-1}a_{n+1}(n\geq2)\)B.\(S_n,S_{2n}-S_n,S_{3n}-S_{2n}\)成等比数列C.\(a_m=a_nq^{m-n}\)D.\(q\neq0\)7.函数\(y=\log_ax\)（\(a\gt0\)且\(a\neq1\)）的性质有（）A.当\(a\gt1\)时，在\((0,+\infty)\)上单调递增B.当\(0\lta\lt1\)时，在\((0,+\infty)\)上单调递减C.过定点\((1,0)\)D.值域为\(R\)8.立体几何中，以下说法正确的是（）A.垂直于同一条直线的两条直线平行B.平行于同一个平面的两条直线平行C.一条直线与一个平面内两条相交直线垂直，则该直线与平面垂直D.两个平面平行，一个平面内的直线与另一个平面平行9.已知\(a,b\inR\)，则\(a^2+b^2\)与\(2ab\)的关系正确的有（）A.\(a^2+b^2\geq2ab\)B.\(a^2+b^2\gt2ab\)C.当且仅当\(a=b\)时，\(a^2+b^2=2ab\)D.\(a^2+b^2\leq2ab\)10.对于三角函数\(y=A\sin(\omegax+\varphi)\)，以下说法正确的是（）A.\(A\)决定振幅B.\(\omega\)决定周期C.\(\varphi\)决定初相D.周期\(T=\frac{2\pi}{\omega}\)三、判断题（每题2分，共10题）1.空集是任何集合的子集。（）2.函数\(y=2^x\)是增函数。（）3.若\(a\gtb\)，则\(a^2\gtb^2\)。（）4.圆\(x^2+y^2=r^2\)的圆心是\((0,0)\)，半径是\(r\)。（）5.向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)与\(\overrightarrow{b}=(2,4)\)共线。（）6.等差数列的前\(n\)项和公式\(S_n=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d\)。（）7.若\(f(x)\)是奇函数，则\(f(0)=0\)。（）8.直线\(x=1\)的斜率不存在。（）9.抛物线\(y^2=2px(p\gt0)\)的焦点坐标是\((\frac{p}{2},0)\)。（）10.两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。（）四、简答题（每题5分，共4题）1.求函数\(y=x^2-4x+3\)的对称轴和顶点坐标。答案：对于二次函数\(y=ax^2+bx+c\)，对称轴\(x=-\frac{b}{2a}\)，此函数\(a=1\)，\(b=-4\)，对称轴\(x=2\)。把\(x=2\)代入函数得\(y=4-8+3=-1\)，顶点坐标为\((2,-1)\)。2.已知\(\overrightarrow{a}=(3,-1)\)，\(\overrightarrow{b}=(1,2)\)，求\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\)。答案：向量点积公式\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=a_1b_1+a_2b_2\)，这里\(a_1=3\)，\(a_2=-1\)，\(b_1=1\)，\(b_2=2\)，则\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=3\times1+(-1)\times2=3-2=1\)。3.求等比数列\(2,4,8,\cdots\)的通项公式。答案：等比数列通项公式\(a_n=a_1q^{n-1}\)，此数列\(a_1=2\)，公比\(q=\frac{4}{2}=2\)，所以通项公式\(a_n=2\times2^{n-1}=2^n\)。4.已知椭圆方程\(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1\)，求其长轴长、短轴长和离心率。答案：\(a^2=25\)，\(a=5\)，长轴长\(2a=10\)；\(b^2=9\)，\(b=3\)，短轴长\(2b=6\)；\(c^2=a^2-b^2=16\)，\(c=4\)，离心率\(e=\frac{c}{a}=\frac{4}{5}\)。五、讨论题（每题5分，共4题）1.讨论函数\(y=\frac{1}{x}\)在\((0,+\infty)\)上的单调性。答案：设\(0\ltx_1\ltx_2\)，则\(f(x_1)-f(x_2)=\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}=\frac{x_2-x_1}{x_1x_2}\)。因为\(0\ltx_1\ltx_2\)，所以\(x_2-x_1\gt0\)，\(x_1x_2\gt0\)，即\(f(x_1)-f(x_2)\gt0\)，\(f(x_1)\gtf(x_2)\)，所以\(y=\frac{1}{x}\)在\((0,+\infty)\)上单调递减。2.探讨直线与圆的位置关系有哪些判断方法。答案：一是几何法，通过比较圆心到直线的距离\(d\)与圆半径\(r\)的大小，\(d\gtr\)时相离，\(d=r\)时相切，\(d\ltr\)时相交；二是代数法，将直线方程与圆方程联立得方程组，根据方程组解的个数判断，有两组不同解则相交，一组解则相切，无解则相离。3.说明如何求数列的通项公式。答案：若为等差数列，可根据\(a_n=a_1+(n-1)d\)求，需确定\(a_1\)和\(d\)；等比数列用\(a_n=a_1q^{n-1}\)求，确定\(a_1\)和\(q\)。也可由\(S_n\)与\(a_n\)关系\(a_n=\begin{cases}S_1,n=1\\S_n-S_{n-1},n\geq2\end{cases}\)求，还能用累加法、累乘法等。4.分析导数在研究函数中的作用。答案：导数可判断函数单调性，\(f^\prime(x)\gt0\)时函数单调递增，\(f^\prime(x)\lt0\)时单调递减；能求函数极值，\(f^\prime(x)=0\