西安市航空六一八中学2025年数学高二第二学期期末质量跟踪监视模拟试题含解析

西安市航空六一八中学2025年数学高二第二学期期末质量跟踪监视模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在平面直角坐标系中，点，直线．设圆的半径为1，圆心在直线上，若圆上存在点，使得，则圆心的横坐标的取值范围为（）A． B． C． D．2．已知双曲线的左、右焦点分别为、，过作垂直于实轴的弦，若，则的离心率为（）A． B． C． D．3．若复数满足为虚数单位），则（）A． B． C． D．4．已知双曲线的右焦点为F2，若C的左支上存在点M，使得直线bx﹣ay＝0是线段MF2的垂直平分线，则C的离心率为（）A． B．2 C． D．55．若a∈R，则“a=2”是“|a|=2”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件6．的展开式中常数项为()A．-240 B．-160 C．240 D．1607．将红、黑、蓝、黄4个不同的小球放入3个不同的盒子，每个盒子至少放一个球，且红球和蓝球不能放在同一个盒子，则不同的放法的种数为（）A．18B．24C．30D．368．下列函数一定是指数函数的是（）A． B． C． D．9．某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为，现用分层抽样的方法抽出容量为的样本，其中甲种产品有18件，则样本容量（）．A．70 B．90 C．40 D．6010．已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率为()A． B． C． D．11．已知函数，则关于的不等式解集为（）A． B． C． D．12．已知函数，其中为自然对数的底数，则对任意，下列不等式一定成立的是（）A． B．C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知直线a，b和平面，若，且直线b在平面上，则a与的位置关系是______．14．一台机器生产某种产品，如果生产出一件甲等品可获利50元，生产出一件乙等品可获利30元，生产出一件次品，要赔20元，已知这台机器生产出甲等品、乙等品和次品的概率分别为0.6，0.3，和0.1，则这台机器每生产一件产品平均预期可获利________元．15．给出下列命题：①“”是“”的充分必要条件；②命题“若，则”的否命题是“若，则”；③设，，则“且”是“”的必要不充分条件；④设，，则“”是“”的必要不充分条件.其中正确命题的序号是_________.16．已知球O是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）A-BCD的外接球，BC=3，AB=23，点E在线段BD上，且BD=3BE，过点E作圆O的截面，则所得截面圆面积的取值范围是__三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设命题：对任意，不等式恒成立，命题存在，使得不等式成立.（1）若为真命题，求实数的取值范围；（2）若为假命题，为真命题，求实数的取值范围.18．（12分）已知1．（1）求tan（）的值；（1）求3sin1θ+4cos1θ的值．19．（12分）在直角坐标系中，直线，圆,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求，的极坐标方程；（2）若直线的极坐标方程为，设的交点为，求的面积．20．（12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费和年销售量（=1,2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.

46.6

563

6.8

289.8

1.6

1469

108.8

表中，=（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；（Ⅲ）已知这种产品的年利润z与x、y的关系为z=0.2y-x.根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：（ⅰ）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ⅱ）年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据,，……，,其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：21．（12分）已知函数的图象过点.(1)求的解析式及单调区间；(2)求在上的最小值.22．（10分）乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用7局4胜制（即先胜4局者获胜，比赛结束），假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同．（1）求乙以4比1获胜的概率；（2）求甲获胜且比赛局数多于5局的概率．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

设，由，利用两点间的距离公式列出关系式，整理后得到点M的轨迹为以为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，由M在圆C上，得到圆C与圆D相交或相切，根据两圆的半径长，得出两圆心间的距离范围，利用两点间的距离公式列出不等式，求出不等式的解集，即可得到a的范围．【详解】设点，由，知：，

化简得：，

点M的轨迹为以为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，

又点M在圆C上，圆C与圆D的关系为相交或相切，

，其中，，即可得，

故选：D．本题主要考查圆与圆的位置关系的判定，两点间的距离公式，圆和圆的位置关系的判定，属于中档题．2、C【解析】

由题意得到关于a,c的齐次式，然后求解双曲线的离心率即可.【详解】由双曲线的通径公式可得，由结合双曲线的对称性可知是等腰直角三角形，由直角三角形的性质有：，即：，据此有：，，解得：，双曲线中，故的离心率为.本题选择C选项.双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．3、A【解析】

根据复数的除法运算可求得；根据共轭复数的定义可得到结果.【详解】由题意得：本题正确选项：本题考查共轭复数的求解，关键是能够利用复数的除法运算求得，属于基础题.4、C【解析】

设P为直线与的交点，则OP为的中位线，求得到渐近线的距离为b，运用中位线定理和双曲线的定义，以及离心率的公式，计算可得所求值．【详解】，直线是线段的垂直平分线，可得到渐近线的距离为，且，，，可得，即为，即，可得．故选C．本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的中位线定理，考查方程思想和运算能力，属于中档题．5、A【解析】

通过充分必要条件的定义判定即可.【详解】若a=2，显然|a|=2；若|a|=2，则a=±2，所以“a=2”是“|a|=2”的充分而不必要条件，故选A.本题主要考查充分必要条件的相关判定，难度很小.6、C【解析】

求得二项式的通项，令，代入即可求解展开式的常数项，即可求解.【详解】由题意，二项式展开式的通项为，当时，，即展开式的常数项为，故选C.本题主要考查了二项式的应用，其中解答中熟记二项展开式的通项，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.7、C【解析】解：由题意知4个小球有2个放在一个盒子里的种数是C4把这两个作为一个元素同另外两个元素在三个位置排列，有A3而红球和蓝球恰好放在同一个盒子里有A3∴编号为红球和蓝球不放到同一个盒子里的种数是C428、D【解析】

根据指数函数定义，逐项分析即可.【详解】A：中指数是，所以不是指数函数，故错误；B：是幂函数，故错误；C：中底数前系数是，所以不是指数函数，故错误；D：属于指数函数，故正确.故选D.指数函数和指数型函数：形如（且）的是指数函数，形如（且且且）的是指数型函数.9、B【解析】

用除以甲的频率，由此求得样本容量.【详解】甲的频率为，故，故选B.本小题主要考查分层抽样的知识，考查频率与样本容量的计算，属于基础题.10、C【解析】

求出双曲线的渐近线方程，再由两直线垂直的条件，可得，b=2a，再由a，b，c的关系和离心率公式，即可得到所求．【详解】双曲线的渐近线方程为，直线的斜率为，由题意有，所以，，故离心率.故选：C．本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程和离心率的求法，考查运算能力，属于基础题．11、A【解析】

由题可得为偶函数，利用导数可得的单调区间，利用函数的奇偶性和单调性转化不等式求解即可。【详解】函数的定义域为，，所以在上为偶函数；当时，，则，由于当时，，，则在上恒大于零，即在单调递增；由在上为偶函数，则在单调递减；故不等式等价于，解得;;所以不等式解集为；故答案选A本题考查利用函数的奇偶性和单调性解函数不等式，考查学生转化的思想，属于中档题。12、A【解析】

，可得在上是偶函数.函数，利用导数研究函数的单调性即可得出结果.【详解】解：，在上是偶函数.函数，，令，则，函数在上单调递增，，函数在上单调递增.，，.故选：A.本题考查利用导数研究函数的单调性、函数的奇偶性，不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、或【解析】

本题可以利用已知条件，然后在图中画出满足条件的图例，然后可以通过图例判断出直线与平面的位置关系．【详解】直线和平面，若，且直线在平面上，则与的位置关系是：或．如图：故答案为或．本题考查直线与平面的位置关系的判断，考查直线与平面的位置关系的基本知识，考查推理能力，考查数形结合能力，当我们在判断直线与平面的位置关系时，可以借助图形判断．14、37(元)【解析】

由已知条件直接求出数学期望，即可求得结果【详解】一台机器生产某种产品，如果生产出一件甲等品可获利50元，生产出一件乙等品可获利30元，生产出一件次品，要赔20元，已知这台机器生产出甲等品、乙等品和次品的概率分别为0.6，0.3，和0.1，则这台机器每生产一件产品平均预期可获利：50×0.6＋30×0.3－20×0.1＝37(元)．故答案为37(元)本题主要考查了期望的实际运用，由已知条件，结合公式即可计算出结果，本题较为简单。15、②④【解析】

逐项判断每个选项的正误得到答案.【详解】①当时，成立，但不成立，所以不具有必要性，错误②根据否命题的规则得命题“若，则”的否命题是“若，则”；，正确.③因为且”是“”的充分不必要条件，所以错误④因为且，所以“”是“”的必要不充分条件.正确.故答案为②④本题考查了充分必要条件，否命题，意在考查学生的综合知识运用.16、[2π,4π]【解析】

设△BDC的中心为O1，球O的半径为R，连接oO1D，OD，O1E，OE，可得R2＝3+（3﹣R）2，解得R＝2，过点E作圆O的截面，当截面与OE垂直时，截面的面积最小，当截面过球心时，截面面积最大，即可求解．【详解】如图，设△BDC的中心为O1，球O的半径为R，连接oO1D，OD，O1E，OE，则O1D=3sin60在Rt△OO1D中，R2＝3+（3﹣R）2，解得R＝2，∵BD＝3BE，∴DE＝2在△DEO1中，O1E=3+4-2×∴OE=O过点E作圆O的截面，当截面与OE垂直时，截面的面积最小，此时截面圆的半径为22-2当截面过球心时，截面面积最大，最大面积为4π．故答案为：[2π，4π]本题考查了球与三棱锥的组合体，考查了空间想象能力，转化思想，解题关键是要确定何时取最值，属于中档题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）或【解析】

（1）考虑命题为真命题时，转化为对任意的成立，解出不等式可得出实数的取值范围；（2）考虑命题为真命题时，则可转化为对任意的成立，可解出实数的取值范围，然后由题中条件得出命题、一真一假，分真假和假真两种情况讨论，于此可求出实数的取值范围.【详解】对于成立，而，有，∴，∴存在，使得不等式成立，只需而，∴，∴；（1）若为真，则；（2）若为假命题，为真命题，则一真一假.若为假命题，为真命题，则，所以；若为假命题，为真命题，则，所以.综上，或.本题考查复合命题的真假与参数的取值范围，考查不等式在区间上成立，一般转化为最值来求解，另外在判断复合命题的真假性时，需要判断简单命题的真假，考查逻辑推理能力，属于中等题．18、（1）；（1）．【解析】

（1）利用齐次式求得tanθ，再利用二倍角求得tan1θ，进而利用两角差的正切求解即可；（1）利用同角三角函数的平方关系结合齐次式求解即可【详解】（1）∵1，∴tanθ，∴tan1θ．∴tan（）．（1）由（1）知，tanθ，∴3sin1θ+4cos1θ＝6sinθcosθ+4（cos1θ–sin1θ）．本题考查同角三角函数的基本关系，考查两角差的正切，二倍角公式，熟记公式是关键，是中档题19、(1),；(2)．【解析】试题分析：（1）将代入的直角坐标方程，化简得，；（2）将代入，得得，所以，进而求得面积为.试题解析：（1）因为，所以的极坐标方程为，的极坐标方程为（2）将代入得得，所以因为的半径为1，则的面积为考点：坐标系与参数方程.20、（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）（ⅰ）；（ⅱ）46.24【解析】

（Ⅰ）由散点图可以判断，适合作为年销售关于年宣传费用的回归方程类型.（Ⅱ）令，先建立关于的线性回归方程，由于=，∴=563-68×6.8=100.6.∴关于的线性回归方程为，∴关于的回归方程为.（Ⅲ）（ⅰ）由（Ⅱ）知，当=49时，年销售量的预报值=576.6，.（ⅱ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润z的预报值，∴当=，即时，取得最大值.故宣传费用为46.24千元时，年利润的预报值最大.21、(1)；单调递减区间为，单调递增区间为.(2)【解析】

（1）先由函数图像过点，求出，得到函数解析式，再对函数求导，用导数的方法，即可得出函数的单调区间；（2）先令在上的最小值为，结合（1）的结果