2026版《优化设计大一轮》高考数学（优化设计新高考版）第1节函数的概念及其表示

第1节函数的概念及其表示高考总复习优化设计GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2026强基础•固本增分研考点•精准突破目录索引0102领航备考路径新课标核心考点20202021202220232024Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷1.函数的概念与表示

T11

T6

2.函数的单调性

T7

T4T6T6T83.函数的性质及其应用T8T8T13T8T12T8

T4T8T6新课标核心考点20202021202220232024Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷4.指对幂运算及大小比较

T7T7

5.指数函数、对数函数、幂函数T6T7

T4

6.函数的图象

T18

7.函数与方程

T10

8.函数模型及其应用T6

T10

优化备考策略考情分析:1.函数模块是高考核心考查内容之一,主要以基本初等函数或者由基本初等函数组成的复合函数为载体,考查定义域、值域、性质、图象、零点等相关知识,常与导数、不等式、方程等交汇命题,考查数形结合、分类讨论、函数与方程等数学思想,难度中等.2.高考对函数知识的考查,重在交汇融合,还多有隐性知识考查,渗透在整卷的考查中.复习策略:1.明晰重要概念,熟练掌握常见基本初等函数的图象与性质:定义域、值域、最值、奇偶性、周期性、单调性、零点等概念是解决函数问题的基础,应明确;二次函数、指对幂函数的图象与性质贯穿在解决函数问题的全过程,应熟练掌握.2.强化数学思想方法的训练:数形结合、函数与方程、分类讨论等数学思想方法在解决函数问题中具有重要应用,应强化应用意识.3.注重数学运算能力的提升:解决函数问题的过程中,代数推理、变形化简、数值计算等贯穿其中,是影响解题成败的关键因素,因此在复习中应重视运算能力的训练与提升.4.善于运用教材中函数性质深化拓展得出的结论,快速、简洁地解决相关问题.5.涉及抽象函数问题,注意寻找函数原型帮助分析和解决问题.课标解读1.了解构成函数的要素,能求简单函数的定义域.2.理解函数的三种表示方法:图象法、列表法、解析法.会根据不同的需要选择恰当的方法.3.通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用.强基础•固本增分知识梳理概念一般地,设A,B是非空的

,如果对于集合A中的

,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有

确定的数y和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数

三要素对应关系y=f(x),x∈A定义域

的取值范围A

值域与x的值对应的y值的集合{f(x)|x∈A}同一个函数如果两个函数的

相同,

完全一致,那么这两个函数是同一个函数

实数集任意一个数x唯一x定义域对应关系1.函数的概念

[教材知识深化]函数概念中的两个允许,两个不允许.(1)不允许“一对多”,允许“多对一”.(2)不允许A中存在“闲置”的元素,允许B中有“闲置”的元素.微思考定义域与值域相同的两个函数是同一个函数吗?值域与对应关系相同的两个函数是同一个函数吗?提示

定义域与值域相同的两个函数不一定是同一个函数,例如f(x)=2x与g(x)=-2x;值域与对应关系相同的两个函数不一定是同一个函数,例如f(x)=x2(x≥0)与g(x)=x2(x≤0).2.函数的表示方法表示函数的常用方法有

、图象法、列表法.

微思考直线x=a(a为常数)与函数f(x)的图象的交点个数是多少?3.分段函数如果一个函数,在其定义域内,对于自变量的不同取值区间,有不同的对应方式,则称其为分段函数.解析法提示

直线x=a(a为常数)与函数f(x)的图象的交点个数是1或0.若设f(x)的定义域为D,则当a∈D时,有1个交点,当a∉D时,有0个交点.[教材知识深化]1.分段函数的定义域是各段区间的并集,值域是各段值域的并集;2.分段函数定义域的各段区间的交集一定是空集;3.解析式中含有绝对值的函数一般都可以化为分段函数;4.分段函数的图象中,横坐标相同的地方不能有两个或两个以上的点.自主诊断

××√×2.(人教B版必修第一册3.1.1节练习B第8题)已知函数f(x+1)=2x-3,求f(4),f(x).解

令x+1=4,得x=3,代入得f(4)=3;设x+1=t,则x=t-1,代入得f(t)=2t-5,因此f(x)=2x-5.

(-∞,0)∪(0,1]

研考点•精准突破考点一函数的定义域(多考向探究预测)

A

D

A

C解析

函数f(2x-1)的定义域为(-1,2),所以-1<x<2,-2<2x<4,-3<2x-1<3,所以f(x)的定义域为(-3,3),对于函数f(1-x),由-3<1-x<3,得-2<x<4,所以函数f(1-x)的定义域为(-2,4).故选C.[对点训练2](2024·重庆期末)已知函数y=f(x-1)的定义域为(1,5),则函数y=f(x2)的定义域为(

)A.(-2,0) B.(0,2)C.(-2,2) D.(-2,0)∪(0,2)D解析

因为函数y=f(x-1)的定义域为(1,5),所以x-1∈(0,4),则由函数y=f(x2)可知0<x2<4,解得-2<x<0或0<x<2,函数y=f(x2)的定义域为(-2,0)∪(0,2).故选D.考点二函数的解析式

C

D

(3)已知f(x)在(0,+∞)内是减函数,且f(x)+f(y)=f(xy)+1对任意的x∈(0,+∞)都成立,写出一个满足以上特征的函数f(x)=

.

1-log3x解析

因为f(x)在(0,+∞)内是减函数,且f(x)+f(y)=f(xy)+1,所以满足条件的函数可取f(x)=1-log3x.(4)已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)-2f(-x)=2x,求f(x)的解析式.

B

(3)若f(x)为二次函数且f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2,则f(x)的解析式为

.

f(x)=x2-x+3

考点三分段函数(多考向探究预测)

B

(3)已知函数值求自变量的值时,需要结合分段区间对自变量的值分类讨论,解方程求值,并注意求得的值需要满足自变量相应的取值范围,否则应舍去.

C

0解析

由题意知,f(-1)=f(-1+2)=f(1)=log21=0.

B解析

根据题意,当a<1时,f(f(a))=f(0)=0≠1,不符合题意;当1≤a<2时,f(f(a))=f(a+1)=-ln

a+1=1,解得a=1;当a=2时,f(f(a))=f(1)=2≠1,不符合题意;当a>2时,f(f(a))=f[-ln(a-1)+1]=0≠1,不符合题意.故选B.

(-∞,-2]∪[0,+∞)解析

当a≤0时,f(a)=a2+2a,由f(a)≥0得a2+2a≥0,解得a≥0或a≤-2,又因为a≤0,所以得a=0或a≤-2;当a>0时,f(a)=lg(a2+1),由f(a)≥0得lg(a2+1)≥0,解得a∈R,又因为a>0,所以得a>0.综上可得实数a的取值范围是(-∞,-2]∪[0,+∞).变式探究1本例(2)中,函数解析式不变,将“f(a)≥0”改为“f(a-1)≤3”,则实数a的取值范围是

.

变式探究2本例(2)中,函数解析式不变,将“f(a)≥0”改为“f(f(m))<0”,则实数m的取值范围是

.

解析

令f(m)=t,则“f(f(m))<0”即为“f(t)<0”.当t≤0时,f(t)=t2+2t,由f(t)<0,得t2+2t<0,解得-2<t<0,又因为t≤0,所以得-2<t<0;当t>0时,f(t)=lg(t2+1),由f(t)<0,得lg(t2+1)<0,此不等式无解.综上可知-2<t<0,于是有-2<f(m)<0.当m≤0时,f(m)=m2+