2026版《优化设计大一轮》高考数学（优化设计新高考版）第1节集合

第1节集合高考总复习优化设计GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2026强基础•固本增分研考点•精准突破目录索引0102领航备考路径新课标核心考点20202021202220232024Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷1.集合的关系与运算T1T1T1T2T1T1T1T2T1

2.充分条件与必要条件

T7

3.全称量词与存在量词

T24.不等式的性质T11T12

T7

5.基本不等式T11T12

T12

6.一元二次方程、不等式

T1

优化备考策略考情分析:从近5年全国高考试卷来看,对本章知识的考查多为1至2道小题,集合几乎每年必考,常与一元二次不等式、分式不等式、绝对值不等式以及指数函数、对数函数等结合命题.其余知识点较少单独命题,常与其他知识交汇考查,也可能在解答题中作为条件涉及,总体属于中低档难度,是高考试卷中的保分题.复习策略:1.明晰重要概念:元素、子集、真子集、空集、交集、并集、补集、充要条件等,掌握不等式的性质、基本不等式等,这是解决此类问题的关键.2.重视本章内容的工具性作用,如充要条件、不等式性质、解不等式等贯穿高中数学学习的全过程,是解决其他数学问题的重要工具.3.善于列举反例.涉及充分必要条件以及命题真假的判断等问题时,常需要举反例或举特例.4.重视知识的交汇与联系.集合与函数、不等式、方程、解析几何等都有密切的联系,函数与方程、不等式的关系及它们的相互转化也是解题的常用思想.课标解读1.了解集合的含义,了解全集、空集的含义.2.理解元素与集合的属于关系,理解集合间的包含和相等关系.3.会求两个集合的并集、交集与补集.4.能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题,能使用Venn图表示集合间的基本关系和基本运算.强基础•固本增分知识梳理1.集合的有关概念

求解集合参数问题时进行检验的重要依据(1)集合元素的三个特性:

、互异性、

.

(2)元素与集合的关系:属于或不属于,表示符号分别为

或

.

(3)常见集合的符号表示.数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN*或N+ZQR(4)集合的表示方法:

、

、

.

(5)集合的分类:

和

.

确定性无序性∈∉列举法描述法图示法有限集无限集2.集合间的关系

关系自然语言符号语言Venn图子集集合A中

都是集合B中的元素

真子集集合A⊆B,但

x∈B,且x∉A

集合相等集合A的

都是集合B的元素,同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素

集合A,B中的元素相同或集合A,B互为子集

任意一个元素A⊆B(或B⊇A)存在元素A⫋B(或B⫌A)任何一个元素A=B[教材知识深化]1.一般地,我们把不含任何元素的集合叫做空集,记为⌀.并规定:空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.3.任何一个集合是它本身的子集,即A⊆A.4.对于集合A,B,C,如果A⊆B,B⊆C,那么A⊆C.3.集合的基本运算

运算自然语言符号语言Venn图交集由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合A∩B=

并集由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合A∪B=

补集对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合根据“补集思想”可以得到“正难则反”的思维方法∁UA=

{x|x∈A,且x∈B}{x|x∈A,或x∈B}{x|x∈U,且x∉A}[教材知识深化]集合的运算性质(1)并集的性质:A∪⌀=⌀∪A=A;A∪A=A;A∪B=B∪A;A∪B=A⇔B⊆A.(2)交集的性质:A∩⌀=⌀∩A=⌀;A∩A=A;A∩B=B∩A;A∩B=A⇔A⊆B.(3)补集的性质:A∪(∁UA)=U;A∩(∁UA)=⌀;∁U(∁UA)=A;∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB);∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB).自主诊断一、基础自测1.思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)(1)若1∈{x,x2},则x=1或x=-1.(

)(2){x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x,y)|y=x2+1}.(

)(3)若A∩B=A∩C,则B=C.(

)(4)对于任意两个集合A,B,(A∩B)⊆(A∪B)恒成立.(

)×××√2.(人教A版必修第一册习题1.3第1题改编)已知集合A={x|2≤x<4},B={x|3x-7≥8-2x},则A∪B=(

)A.{x|3≤x<4} B.{x|x≥2}C.{x|2≤x<4} D.{x|2≤x≤3}B解析

化简集合B,得B={x|x≥3},由集合A={x|2≤x<4},可得A∪B={x|x≥2}.3.(人教A版必修第一册1.3节例6改编)设全集U={x|x是三角形},A={x|x是锐角三角形},B={x|x是钝角三角形},则∁U(A∪B)=

.

{x|x是直角三角形}解析

根据三角形的分类可知A∪B={x|x是锐角三角形或钝角三角形},∴∁U(A∪B)={x|x是直角三角形}.4.(人教B版必修第一册习题1-1C第2题改编)已知集合P={x|x2≤1},M={a},若P∪M=P,则a的取值范围是

.

[-1,1]解析

∵P∪M=P,∴M⊆P.又P={x|-1≤x≤1},M={a},∴-1≤a≤1.∴a的取值范围为[-1,1].二、连线高考5.(2024·新高考Ⅰ,1)已知集合A={x|-5<x3<5},B={-3,-1,0,2,3},则A∩B=(

)A.{-1,0} B.{2,3}C.{-3,-1,0} D.{-1,0,2}A

B解析

∵A⊆B,∴a-2=0或2a-2=0.若a-2=0,则a=2,A={0,-2},B={1,0,2},显然A⊈B;若2a-2=0,则a=1,A={0,-1},B={1,-1,0},A⊆B成立.故选B.研考点•精准突破考点一集合的基本概念

B

B

5

[对点训练1](1)(2024·天津和平模拟)若集合A={1,2,3},B={(x,y)|x+y-4>0,x,y∈A},则集合B的真子集个数为(

)A.5 B.6

C.7

D.8C解析

由题意可知B={(2,3),(3,2),(3,3)},所以集合B的真子集个数为23-1=7.(2)(2024·湖南长沙模拟)集合P={x|x=2k,k∈Z},Q={x|x=2k+1,k∈Z},M={x|x=4k+1,k∈Z},且a∈P,b∈Q,则下列说法一定正确的是(

)A.a+b∈PB.a+b∈QC.a+b∈MD.a+b不属于P,Q,M中的任意一个B解析

因为a∈P,所以a=2k1(k1∈Z),因为b∈Q,所以b=2k2+1(k2∈Z),所以a+b=2(k1+k2)+1=2k+1∈Q(k∈Z).故选B.考点二集合间的基本关系例2(1)(2024·浙江诸暨模拟)如果集合S={x|x=3n+1,n∈N},T={x|x=3k-2,k∈Z},则(

)A.S⫋T

B.T⊆S

C.S=T

D.S∈TA解析

由S={x|x=3n+1,n∈N},T={x|x=3k-2,k∈Z}={x|x=3(k-1)+1,k∈Z},令t=k-1,则t∈Z,所以T={x|x=3t+1,t∈Z},由于N⫋Z,故S⫋T.(2)(2024·江苏苏州模拟)已知集合A={1,2},B={x∈N|x2-5x<0},则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为(

)A.1 B.2C.3 D.4D解析

由x2-5x<0,得0<x<5,所以B={x∈N|x2-5x<0}={1,2,3,4}.因为A={1,2},A⊆C⊆B,所以C={1,2}或{1,2,3}或{1,2,4}或{1,2,3,4},所以集合C的个数为4.(3)已知集合A={x|-1<x<3},B={x|-m<x<m},若B⊆A,则m的取值范围是

.

(-∞,1]

变式探究1若本例(3)中,把条件“B⊆A”变为“B⫋A”,其他条件不变,则m的取值范围是

.

(-∞,1]解析

解法与例2(3)完全相同(因为-m≥-1和m≤3,两个不等式的等号不会同时成立).变式探究2若本例(3)中,把条件“B⊆A”变为“A⊆B”,其他条件不变,则m的取值范围是

.

[3,+∞)

2.根据两集合的关系求参数的方法(1)已知两个集合之间的关系求参数时,要明确集合中的元素,对含参数的集合是否为空集进行分类讨论,做到不漏解.(2)若集合中的元素是一一列举的,依据集合间的关系,转化为解方程(组)求解,此时注意集合中元素的互异性.(3)若集合表示的是不等式的解集,常依据数轴转化为方程(组)或不等式(组)求解,此时注意检验端点值能否取到.[对点训练2](1)(2024·福建漳州模拟)已知U是全集,集合A,B满足(∁UA)∩B=∁UA,则下列关系一定成立的是(

)A.A⊆B

B.B⊆AC.∁UB⊆A D.A∩B=⌀C解析

由(∁UA)∩B=∁UA可得(∁UA)⊆B,于是∁UB⊆A,故C正确,ABD错误,故选C.(2)(2024·山东聊城三模)已知集合A={1,5,a2},B={1,3+2a},且A∪B=A,则实数a的值为

.

3解析

由A∪B=A,得B⊆A,有3+2a=5或3+2a=a2,解得a=1或a=-1或a=3,其中a=±1时,与集合中元素的互异性矛盾,舍去,a=3时符合题意,所以实数a的值为3.考点三集合的运算(多考向探究预测)

D

(2)(2023·全国乙,理2)设全集U=R,集合M={x|x<1},N={x|-1<x<2},则{x|x≥2}=(

)A.∁U(M∪N) B.N∪∁UMC.∁U(M∩N) D.M∪∁UNA解析

M∪N={x|x<2},故∁U(M∪N)={x|x≥2}.故选A.其他选项均不符合题意.(3)(2023·全国甲,理1)设全集U=Z,集合M={x|x=3k+1,k∈Z},N={x|x=3k+2,k∈Z},则∁U(M∪N)=(

)A.{x|x=3k,k∈Z} B.{x|x=3k-1,k∈Z}C.{x|x=3k-2,k∈Z} D.⌀A解析

由题意知集合M表示除以3余1的整数构成的集合,集合N表示除以3余2的整数构成的集合,因为U为整数集,所以∁U(M∪N)表示能被3整除的整数构成的集合,即∁U(M∪N)={x|x=3k,k∈Z}.故选A.[对点训练3](1)(2022·全国甲,理3)设全集U={-2,-1,0,1,2,3},集合A={-1,2},B={x|x2-4x+3=0},则∁U(A∪B)=(

)A.{1,3} B.{0,3}C.{-2,1} D.{-2,0}D解析

由题意知B={1,3},则A∪B={-1,1,2,3},所以∁U(A∪B)={-2,0},故选D.(2)(2024·河北衡水模拟)已知集合A={x|x+1≤0},B={x|log2(x+2)<2},C={x|x2+2x-3<0},则(∁RA)∩(B∩C)=(

)A.{x|-3<x≤-1} B.{x|-2<x≤-1}C.{x|-1<x<1} D.{x|-1<x<2}C

考向2

利用集合的运算求参数的值或范围例4(1)(2024·河北保定二模)设集合A={x|-3≤x≤3},B={x|2x2+(a-8)x-4a≤0},且A∩B={x|-2≤x≤3},则a=(

)A.2 B.3C.4 D.5C解析

因为A∩B={x|-2≤x≤3},所以-2是关于x的方程2x2+(a-8)x-4a=0的一个根,即8-2(a-8)-4a=0,得a=4.当a=4时,令2x2-4x-16≤0,解得-2≤x≤4,此时B={x|-2≤x≤4},满足A∩B={x|-2≤x≤3},所以a=4.(2)设常数a∈R,集合A={x|(x-1)(x-a)≥0},B={x|x≥a-1},若A∪B=R,则a的取值范围是(

)A.(-∞,2) B.(-∞,2] C.(2,+∞) D.[2,+∞)B解析

当a≥1时,由(x-1)(x-a)≥0,得x≤1或x≥a,所以A={x|x≤1或x≥a}.因为B={x|x≥a-1},且A∪B=R,所以a-1≤1,解得1≤a≤2.当a<1时,由(x-1)(x-a)≥0,得x≤a或x≥1,所以A={x|x≤a或x≥1}.因为B={x|x≥a-1},且A∪B=R,所以a-1≤a,即-1≤0恒成立,所以a<1.综上,a≤2,即实数a的取值范围是(-∞,2].[对点训练4](1)(2024·云南曲靖模拟)已知集合A={-1,0,1,2,3},B={x|9x>3m,m∈R,x∈R},若A∩B有且仅有3个不同的元素,则m的值可以为(

)A.1 B.2

C.3

D.4A

(2)(2024·江苏无锡模拟)已知集合A={x∈Z|-1<x<3},B={x|3x-a<0},且A∩(∁RB)={1,2},则a的取值范围为(

)A.(0,4) B.(0,4]C.(0,3] D.(0,3)C

考点四集合的新定义问题例5(多选题)(2024·江苏泰州模拟)对任意A,B⊆R,记A⊕B={x|x∈(A∪B),x∉(A∩B)},并称A⊕B为集合A,B的对称差.例如:若A={1,2,3},B={2,3,4},则A⊕B={1,4}.下列命题中,为真命题的是(

)A.若A,B⊆R且A⊕B=B,则