2026版《优化设计大一轮》高考数学（优化设计新高考版）第2节常用逻辑用语

第2节常用逻辑用语高考总复习优化设计GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2026强基础•固本增分研考点•精准突破目录索引0102课标解读1.理解必要条件、充分条件、充要条件的意义.2.通过已知的数学实例,理解全称量词与存在量词的意义.3.能正确对全称量词命题与存在量词命题进行否定.强基础•固本增分知识梳理1.充分条件、必要条件与充要条件的概念

[教材知识深化]1.若p,q中所涉及的问题与变量有关,记p,q成立时相应变量的取值集合分别为A,B,那么有以下结论:集合关系结论A⫋Bp是q的充分不必要条件A⊆Bp是q的充分条件A⫌Bp是q的必要不充分条件A⊇Bp是q的必要条件A=Bp是q的充要条件2.充分条件与必要条件的两个特征(1)对称性:“p⇒q”⇔“q⇐p”.(2)传递性:若p是q的充分(必要)条件,q是r的充分(必要)条件,则p是r的充分(必要)条件,即“p⇒q且q⇒r”⇒“p⇒r”(“p⇐q且q⇐r”⇒“p⇐r”).误区警示“A是B的充分不必要条件”与“A的充分不必要条件是B”含义不相同.“A是B的充分不必要条件”是指A⇒B但BA;“A的充分不必要条件是B”是指B⇒A但AB.2.全称量词命题与存在量词命题(1)全称量词与存在量词①短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做

,并用符号“∀”表示.

②短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做

,并用符号“∃”表示.

全称量词存在量词(2)全称量词命题与存在量词命题及其否定有些命题中省略了量词,在进行否定时先改写为完整形式,再进行否定命题类型全称量词命题存在量词命题形式∀x∈M,p(x)∃x∈M,p(x)否定

结论全称量词命题的否定是

命题

存在量词命题的否定是

命题

∃x∈M,¬p(x)∀x∈M,¬p(x)存在量词全称量词[教材知识深化]1.含有一个量词的命题与它的否定真假性相反.2.在对“含有一个量词的命题”进行否定时,首先要改变量词符号,其次要将结论否定,二者缺一不可.自主诊断一、基础自测1.思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)(1)如果p的充分条件是q,那么q的必要条件是p.(

)(2)命题“∃α∈R,使sin2α=2sinα”是假命题.(

)(3)对全称量词命题进行否定时,全称量词可以不改为存在量词.(

)(4)若p是q的充分不必要条件,q是r的充分不必要条件,则r是p的必要不充分条件.(

)√××√2.(人教A版必修第一册习题1.4第2题改编)已知p:a∈(P∩Q),q:a∈P,则p是q的(

)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件A解析

由a∈(P∩Q)得a∈P且a∈Q;当a∈P时,a∈Q不一定成立.故p是q的充分不必要条件.3.(人教B版必修第一册习题1-2B第5题)已知A=(-∞,a],B=(-∞,3),且x∈A是x∈B的充分不必要条件,求实数a的取值范围.解

依题意集合A是集合B的真子集,所以a<3,即实数a的取值范围为(-∞,3).4.(人教A版必修第一册1.5.2节例5)写出下列命题的否定,并判断真假:(1)任意两个等边三角形都相似;(2)∃x∈R,x2-x+1=0.

C

6.(2024·新高考Ⅱ,2)已知命题p:∀x∈R,|x+1|>1,命题q:∃x>0,x3=x,则(

)A.p和q都是真命题B.¬p和q都是真命题C.p和¬q都是真命题D.¬p和¬q都是真命题B解析

当x=0时,p不成立,当x=1时,q成立,故p假q真,故选B.研考点•精准突破考点一充分条件、必要条件的判断与探求(多考向探究预测)考向1

充分条件、必要条件的判断例1(1)(2024·北京,5)已知向量a,b,则“(a+b)·(a-b)=0”是“a=b或a=-b”的(

)A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件A解析

若“a=b或a=-b”,则a+b=0或a-b=0,故“(a+b)·(a-b)=0”,必要性成立,反之不一定成立.故选A.(2)(2024·江西南昌二模)已知集合A={x|lnx≤0},B={x|2x≤2},则“x∈A”是“x∈B”的(

)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件A解析

解不等式ln

x≤0,得0<x≤1,则A=(0,1];解不等式2x≤2,得x≤1,则B=(-∞,1].因为(0,1]⫋(-∞,1],所以“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件.[对点训练1](1)(2024·天津,2)设a,b∈R,则“a3=b3”是“3a=3b”的(

)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件C解析

由题意,知a3=b3⇔a=b,3a=3b⇔a=b,则a3=b3⇔3a=3b,即二者互为充要条件.故选C.(2)(多选题)已知p是r的充分不必要条件,q是r的充分条件,s是r的必要条件,q是s的必要条件,下列说法正确的是(

)A.r是q的充要条件B.p是q的充分不必要条件C.r是q的必要不充分条件D.r是s的充分不必要条件解析

依题意p是r的充分不必要条件,则p⇒r,r

p,q是r的充分条件,则q⇒r,s是r的必要条件,r⇒s,q是s的必要条件,则s⇒q,即r⇔q⇔s,p⇒r,r

p.所以r是q的充要条件,A正确;p是q的充分不必要条件,B正确;r是q的充要条件,C错误;r是s的充要条件,D错误.故选AB.AB考向2

充分条件、必要条件的探求例2(1)(多选题)已知p:x2-4x<0,则p成立的一个充分不必要条件是(

)A.-2<x<0 B.0<x<2C.0<x<4 D.1<x<3BD解析

由x2-4x<0,解得0<x<4,所以“0<x<2”和“1<x<3”都是“0<x<4”的充分不必要条件.故选BD.(2)(多选题)(2024·广东梅州一模)已知直线m,n和平面α,β,若n⊂α,则下列条件中,p是q的充分不必要条件的是(

)A.p:m∥α,q:m∥n B.p:m⊥α,q:m⊥nC.p:α∥β,q:n∥β D.p:n⊥β,q:α⊥βBCD解析

若m∥α,n⊂α,则直线m,n可能平行或异面,所以p不能推出q,故A错误;若m⊥α,则直线m垂直于平面α内的每一条直线,又n⊂α,所以m⊥n成立,但若m⊥n,根据直线与平面垂直的判定定理,还需在平面α内找一条与n相交的直线,让此直线与m垂直,故q不能推出p,故B正确;若α∥β,且n⊂α,则n∥β;反之,当n∥β时,不能推出α∥β,故C正确;若n⊥β,且n⊂α,由平面与平面垂直的判定定理可知α⊥β;反之,若α⊥β,且n⊂α,则直线n与平面β可能成任意角度,故D正确.故选BCD.

CD

(2)(2024·辽宁沈阳检测)设x∈R,则lgx>lnx的充要条件是(

)A.x>0 B.x>1

C.x>10

D.0<x<1D

考点二充分条件、必要条件的应用

{0}

变式探究1本例中,其他条件不变,若改为“x∈A是x∈B的充分不必要条件”,则实数m的取值范围为

.

[2,+∞)

变式探究2本例中,其他条件不变,试探究是否存在实数m,使得x∈A是x∈B的充要条件?

A

考点三全称量词与存在量词(多考向探究预测)考向1

含有一个量词的命题的否定例4(1)(2024·湖北武汉模拟)命题“有些三角形是直角三角形”的否定为(

)A.所有三角形都是直角三角形B.所有三角形都不是直角三角形C.有些三角形不是直角三角形D.有些三角形不是锐角三角形B解析

由命题否定的概念可知,命题“有些三角形是直角三角形”的否定为“所有三角形都不是直角三角形”.(2)(2024·河北邯郸模拟)命题“∀x∈(1,+∞),x3-2x+1>0”的否定是(

)A.∀x∈(-∞,1],x3-2x+1>0B.∀x∈(1,+∞),x3-2x+1≤0C.∃x∈(-∞,1],x3-2x+1>0D.∃x∈(1,+∞),x3-2x+1≤0D解析

因为全称量词命题的否定为存在量词命题,所以命题“∀x∈(1,+∞),x3-2x+1>0”的否定是“∃x∈(1,+∞),x3-2x+1≤0”.[对点训练4](2024·山东青岛模拟)17世纪,数学家费马提出猜想:“对任意正整数n>2,关于x,y,z的方程xn+yn=zn没有正整数解”,经历三百多年,1995年数学家安德鲁怀尔斯给出了证明,使它终成费马大定理,则费马大定理的否定为(

)A.对任意正整数n>2,关于x,y,z的方程xn+yn=zn都没有正整数解B.对任意正整数n>2,关于x,y,z的方程xn+yn=zn至少存在一组正整数解C.存在正整数n≤2,关于x,y,z