2026版《优化设计大一轮》高考数学（优化设计新高考版）第2节函数的单调性与最值

第2节函数的单调性与最值高考总复习优化设计GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2026强基础•固本增分研考点•精准突破目录索引0102课标解读1.借助函数图象,会用符号语言表达函数的单调性,掌握求函数单调区间的基本方法.2.理解函数最大值、最小值的概念,理解它们的作用和实际意义,会求简单函数的最值.3.能够运用函数的单调性解决有关问题.强基础•固本增分知识梳理1.函数的单调性(1)定义单调性增函数减函数定义一般地,设函数f(x)的定义域为D,区间I⊆D.∀x1,x2∈I当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就称函数f(x)在区间I上

当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就称函数f(x)在区间I上

图象描述自左向右看图象是

自左向右看图象是

单调递增单调递减上升的下降的

(2)单调性与单调区间如果函数y=f(x)在区间D上单调递增或单调递减,那么就说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)

,区间D叫做y=f(x)的

.单调性单调区间2.函数的最值

前提设函数y=f(x)的定义域为D,如果存在实数M满足条件(1)∀x∈D,都有f(x)≤M;(2)∃x0∈D,使得f(x0)=M(1)∀x∈D,都有f(x)≥M;(2)∃x0∈D,使得f(x0)=M结论M为函数y=f(x)的

M为函数y=f(x)的

[教材知识深化]1.闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值,当函数在闭区间上单调时,最值一定在端点处取到.2.开区间上的“单峰”函数一定存在最大值或最小值.最大值最小值

自主诊断

×××

2

二、连线高考3.(2023·新高考Ⅰ,4)设函数f(x)=2x(x-a)在区间(0,1)内单调递减,则a的取值范围是(

)A.(-∞,-2] B.[-2,0) C.(0,2] D.[2,+∞)D

4.(2020·新高考Ⅱ,7)已知函数f(x)=lg(x2-4x-5)在(a,+∞)内单调递增,则a的取值范围是(

)A.(-∞,-1] B.(-∞,2]C.[2,+∞) D.[5,+∞)D解析

由x2-4x-5>0,解得x>5或x<-1.又因为y=x2-4x-5在(2,+∞)内单调递增,由复合函数单调性可得函数f(x)的单调递增区间是(5,+∞),而f(x)在(a,+∞)内单调递增,所以a≥5,故选D.研考点•精准突破考点一函数的单调性、单调区间(多考向探究预测)

BC

AC

考向2

求函数的单调区间例2(1)(2024·福建南平期中)函数f(x)=x2-4|x|+3的单调递增区间是(

)A.(-∞,-2) B.(-∞,-2)和(0,2)C.(-2,2) D.(-2,0)和(2,+∞)D

A

B

(2)(2024·福建厦门期中)已知函数f(x)=a|x|(a>0,且a≠1),若f(π)<1,则f(x)的单调递增区间为

.

(-∞,0)

考点二函数单调性的应用(多考向探究预测)考向1

利用单调性比较大小例3设f(x)的定义域为R,f(x)的图象关于y轴对称,且f(x)在[0,+∞)上单调递增,则f(-2),f(-π),f(3)的大小关系是(

)A.f(-π)<f(-2)<f(3) B.f(-2)<f(3)<f(-π)C.f(-π)<f(3)<f(-2) D.f(3)<f(-2)<f(-π)B解析

因为f(x)的定义域为R,f(x)的图象关于y轴对称,所以f(x)是偶函数,所以f(-2)=f(2),f(-π)=f(π).又f(x)在[0,+∞)上单调递增,且2<3<π,所以f(2)<f(3)<f(π),所以f(-2)<f(3)<f(-π).故选B.[对点训练3](2024·江苏徐州模拟)已知函数f(x)=2x+x3,记a=f(log0.32),b=f(20.3),c=f(0.32),则(

)A.a<b<c

B.a<c<bC.c<b<a

D.c<a<bB解析

因为y=2x,y=x3在x∈R上单调递增,所以f(x)=2x+x3在x∈R上单调递增,又log0.32<log0.31=0,1=20<20.3<21=2,0<0.32=0.09<1,所以f(log0.32)<f(0.32)<f(20.3),所以a<c<b,故选B.

A

(0,1)

考向3

利用单调性求参数的取值范围例5(1)(2024·湖北武汉模拟)已知f(2x)=|x-a|,若函数f(x)在区间(-∞,2]上单调递减,则a的取值范围是(

)A.[1,+∞) B.(1,+∞