2026版《优化设计大一轮》高考数学（优化设计新高考版）第2节用样本估计总体

第2节用样本估计总体高考总复习优化设计GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2026强基础•固本增分研考点•精准突破目录索引0102课标解读1.能用样本估计总体的集中趋势参数(平均数、中位数、众数),理解集中趋势参数的统计含义.2.能用样本估计总体的离散程度参数(标准差、方差、极差),理解离散程度参数的统计含义.3.能用样本估计总体的取值规律.4.能用样本估计百分位数,理解百分位数的统计含义.5.会计算简单随机抽样的样本均值和样本方差.掌握分层随机抽样的样本均值和样本方差的计算.强基础•固本增分知识梳理1.总体百分位数的估计(1)第p百分位数的定义一般地,一组数据的第p百分位数是这样一个值,它使得这组数据中

的数据小于或等于这个值,且至少有

的数据大于或等于这个值.(2)计算一组n个数据的第p百分位数的步骤第1步,按从小到大排列原始数据.第2步,计算i=n×p%.第3步,若i不是整数,而大于i的比邻整数为j,则第p百分位数为第j项数据;若i是整数,则第p百分位数为第i项与第(i+1)项数据的平均数.至少有p%(100-p)%[教材知识深化]1.第0百分位数为数据中的最小数,第100百分位数为数据中的最大数;2.一组数据的百分位数既可能是这组数据中的数,也可能不是这组数据中的数;3.一组数据的某些百分位数可能是同一个数.2.总体集中趋势的估计

数字特征概念众数一组数据中出现次数

的数

不一定唯一,一定是这组数据中的数中位数把一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列,处在

位置的一个数据(或两个数据的平均数)

唯一,不一定是这组数据中的数平均数唯一,不一定是这组数据中的数最多中间

自主诊断一、基础自测1.思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)(1)对一组数据来说,平均数和中位数总是非常接近.(

)(2)在频率分布直方图中,最高的小矩形底边中点的横坐标是众数.(

)(3)一组数据的众数可以是一个或几个,那么中位数也具有相同的结论.(

)(4)如果一组数中每个数减去同一个非零常数,则这组数的平均数改变,方差不变.(

)×√×√2.(人教A版必修第二册9.2.2节例2改编)某机构调查了解10种食品的卡路里含量,结果如下:107,135,138,140,146,175,179,182,191,195.则这组数据的第25百分位数和中位数分别是(

)A.138,160.5 B.138,146C.138,175 D.135,160.5A

3.(人教A版必修第二册习题9.2第3题改编)(多选题)在去年的足球联赛上,一队每场比赛平均失球数是1.5,全年比赛失球个数的标准差是1.1;二队每场比赛平均失球数是2.1,全年比赛失球个数的标准差是0.4.则下列说法正确的有(

)A.平均来说一队比二队防守技术好B.二队很少失球C.一队有时表现差,有时表现又非常好D.二队比一队技术水平更不稳定AC解析

对于A,因为一队每场比赛平均失球数是1.5,二队每场比赛平均失球数是2.1,所以平均来说一队比二队防守技术好,故A正确;对于B,因为二队每场比赛平均失球数是2.1,全年比赛失球个数的标准差为0.4,所以二队经常失球,故B错误;对于C,因为一队全年比赛失球个数的标准差为1.1,二队全年比赛失球个数的标准差为0.4,所以一队有时表现很差,有时表现又非常好,故C正确;对于D,因为一队全年比赛失球个数的标准差为1.1,二队全年比赛失球个数的标准差为0.4,所以二队比一队技术水平更稳定,故D不正确.二、连线高考4.(2024·新高考Ⅱ,4)某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻,得到各块稻田的亩产量(单位:kg)并整理下表:亩产量[900,950)[950,1000)[1000,1050)[1050,1100)[1100,1150)[1150,1200)生产数61218302410据表中数据,结论中正确的是(

)A.100块稻田亩产量中位数小于1050kgB.100块稻田中的亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80%C.100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间D.100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间C

5.(2020·全国Ⅲ,文3)设一组样本数据x1,x2,…,xn的方差为0.01,则数据10x1,10x2,…,10xn的方差为(

)A.0.01 B.0.1

C.1

D.10C

研考点•精准突破考点一总体百分位数的估计例1(1)(2024·吉林白山模拟)某学习小组共有20人,在一次数学测试中,得100分的有2人,得95分的有4人,得90分的有5人,得85分的有3人,得80分的有5人,得75分的有1人,则这个学习小组成员该次数学测试成绩的第70百分位数是(

)A.82.5 B.85

C.90

D.92.5D

(2)(2024·天津模拟)为了加深师生对党史的了解,激发广大师生知史爱党、知史爱国的热情,某校举办了“学党史、育文化”的党史知识竞赛,并将1000名师生的竞赛成绩(满分100分,成绩取整数)整理成如图所示的频率分布直方图,估计这组数据的第85百分位数为(

)A.84 B.85

C.86

D.87C解析

由10×(2a+3a+3a+6a+5a+a)=1,解得a=0.005,所以前4组频率之和为14×0.005×10=0.7,前5组频率之和为19×0.005×10=0.95,所以第85百分位数位于第5组内,设这组数据的第85百分位数为x,则0.7+(x-80)×0.025=0.85,解得x=86.变式探究例1(1)的条件下,求该次数学测试成绩的第66百分位数.解

根据题意,20×66%=13.2,该次数学测试成绩的第14项为90,故第66百分位数为90.[对点训练1](2024·广东江门模拟)某校从高一新生中随机抽取了一个容量为10的身高样本,数据(单位:cm)从小到大排序如下:158,165,165,167,168,169,x,172,173,175,若样本数据的第60百分位数是170,则x=(

)A.169 B.170

C.171

D.172C

考点二用样本的数字特征估计总体的数字特征(多考向探究预测)考向1

总体集中趋势的估计(中位数、众数、平均数)例2(1)(多选题)(2024·河南洛阳模拟)某校运动会,一位射击运动员10次射击射中的环数依次为7,7,10,9,7,6,9,10,7,8,则下列说法正确的是(

)A.这组数据的平均数为8B.这组数据的众数为7C.这组数据的第80百分位数为9D.这组数据的极差为4ABD

(2)(多选题)某城市在创建文明城市的活动中,为了解居民对“创建文明城市”的满意程度,组织居民给活动打分(分数为整数,满分100分),从中随机抽取一个容量为100的样本,发现数据均在[40,100]内.现将这些分数分成6组并画出样本的频率分布直方图,但不小心污损了部分图形,如图所示.观察图形,则下列说法正确的有(

)A.频率分布直方图中第三组的频数为10B.根据频率分布直方图估计样本的众数为75C.根据频率分布直方图估计样本的中位数为75D.根据频率分布直方图估计样本的平均数为75ABC解析

分数在[60,70)内的频率为1-10×(0.005+0.020+0.030+0.025+0.010)

=0.10,所以第三组的频数为100×0.10=10,故A正确;因为众数的估计值是频率分布直方图中最高矩形底边的中点的横坐标,从图中可看出众数的估计值为75,故B正确;因为(0.005+0.020+0.010)×10=0.35<0.5,

(0.005+0.020+0.010+0.030)×10=0.65>0.5,所以中位数位于[70,80)内,设中位数为x,则0.35+0.03(x-70)=0.5,解得x=75,所以中位数的估计值为75,故C正确;样本平均数的估计值为45×(10×0.005)+55×(10×0.020)+65×(10×0.010)+75×(10×0.030)+85×(10×0.025)+95×(10×0.010)=73,故D错误.考向2

总体离散程度的估计(方差与标准差)例3(2023·全国乙,理17,文17)某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应,进行10次配对试验,每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品,随机地选其中一个用甲工艺处理,另一个用乙工艺处理,测量处理后的橡胶产品的伸缩率,甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi,yi(i=1,2,…,10),试验结果如下:试验序号i12345678910伸缩率xi545533551522575544541568596548伸缩率yi536527543530560533522550576536

[对点训练2]一组数据由8个数组成,将其中一个数由4改为2,另一个数由6改为8,其余数不变,得到新的一组数据,则新的一组数的方差相比原一组数的方差的增加值为

.2

考向3

分层随机抽样的方差与标准差例4(2024·河北沧州模拟)为了解某中学学生假期中每天自主学习的时间,采用样本量比例分配的分层随机抽样,现抽取高一学生40人,其每天学习时间均值为8小时,方差为0.5,抽取高二学生60人,其每天学习时间均值为9小时,方差为0.8,抽取高三学生100人,其每天学习时间均值为10小时,方差为1,则估计该校学生每天学习时间的方差为(

)A.1.4 B.1.45

C.1.5

D.1.55B

[对点训练3](2024·福建泉州模拟)随着老年人消费需求从“生存型”向“发展型”转变,消费层次不断提升,“银发经济”成为社会热门话题之一,被各企业持续关注.某企业为了解该地老年人消费能力情况,对该地年龄在[60,80)的老年人的年收入按年龄[60,70),[70,80)分成两组进行分层抽样调查,已知抽取了年龄在[60,70)的老年人500人.年龄在[70,80)的老年人300人.现作出年龄在[60,70)的老年人年收入的频率分布直方图(如下图所示).(1)根据频率分布直方图,估计该地年龄在[60,70)的老年人年收入的平均数及第95百分位数;(2)已知年龄在[60,70)的老年人年收入的方差为3,年龄在[70,80)的老年人年收入的平均数和方差分别为3.75和1.4,试估计年龄在[60,80)的老年人年收入的方差.

考点三均值与方差的应用例5(2024·安徽亳州模拟)某企业有A,B两个车间生产同一种型号的产品,检验小组对两个车间各生产的100件产品均随机抽取6件检测、获得质量指标值(满分值为10,8分及以上为合格品),如下表所示:A车间产品质量指标109781010B车间产品质量指标106101099(1)以频率作为概率,估计A,B两车间生产该批次产品的合格率;(2)分别求出6件产品的平均数与方差,以此为依据,判断哪个车