2026版《优化设计大一轮》高考数学（优化设计新高考版）第3节等式性质与不等式性质

第3节等式性质与不等式性质高考总复习优化设计GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2026强基础•固本增分研考点•精准突破目录索引0102课标解读1.梳理等式的性质,理解不等式的概念.2.掌握不等式的性质.3.能够利用不等式的性质解决有关问题.强基础•固本增分知识梳理1.比较两个实数大小的方法

关系方法作差法作商法

作商比较的两个数是同号的a>ba-b>0a=ba-b=0a<ba-b<02.不等式的性质

性质性质内容对称性a>b⇔

;a<b⇔

传递性a>b,b>c⇒

;a<b,b<c⇒

可加性a>b⇔a+c>b+c可乘性a>b,c>0⇒

;a>b,c<0⇒

同向可加性a>b,c>d⇒a+c>b+d同向不等式可以相加,但不能相减同向同正可乘性a>b>0,c>d>0⇒

可乘方性a>b>0,n∈N*⇒an>bn可开方性b<ab>aa>ca<cac>bcac<bcac>bd

误区警示应用不等式的可乘性时,一定要注意乘数c的正负.

自主诊断

√×××2.(人教A版必修第一册2.1节练习第2题改编)比较两个式子的大小:(x+3)(x+7)

(x+4)(x+6).

<解析

(x+3)(x+7)-(x+4)(x+6)=x2+10x+21-(x2+10x+24)=-3<0,所以(x+3)(x+7)<(x+4)(x+6).

二、连线高考4.(2019·全国Ⅱ,理6)已知a>b,则有(

)A.ln(a-b)>0 B.3a<3bC.a3-b3>0 D.|a|>|b|C

ABD

研考点•精准突破考点一比较两个数(式)的大小例1(1)(2024·浙江金华模拟)设a,b,c的平均数为M,a与b的平均数为N,N与c的平均数为P.若a>b>c,则下列选项正确的是(

)A.N<P

B.P<MC.N<M

D.M+N<2PB

C

A

考点二不等式的性质及其应用(多考向探究预测)考向1

利用不等式的性质判断不等关系例2(1)(多选题)(2024·湖南师大附中模拟)已知a,b,c,d∈R,且a>b,c>d,则下列关系一定成立的有(

)A.a-d>b-c B.ac>bdC.ac2>bc2 D.ac+bd>ad+bcAD解析

由题意可知,a>b,c>d.对于A,由a>b,-d>-c,根据同向可加性得a-d>b-c,故A正确;对于B,取a=2,b=

-5,c=-2,d=-3,可验证B错误;对于C,若c2=0,则不等式不成立,故C错误;对于D,两式作差得ac+bd-(ad+bc)=a(c-d)+b(d-c)=(a-b)(c-d),因为a>b,c>d,所以a-b

>0,c-d>0,所以ac+bd>ad+bc,故D正确.故选AD.

BCD

AD

考向2

利用不等式的性质求代数式的取值范围例3已知2<a<6,-3<b<2,试求2a+b,a-2b的取值范围.解

因为2<a<6,所以4<2a<12,又-3<b<2,所以1<2a+b<14.因为-3<b<2,所以-4<-2b<6,又2<a<6,所以-2<a-2b<12.

变式探究2本例中,将条件改为“已知-1<x+2y<4,2<2x-3y<3”,求4x+y的取值范围.解

设4x+y=a(x+2y)+b(2x-3y)(a,b∈R),则a+2b=4,2a-3b=1,解得a=2,b=1.因此4x+y=2(x+2y)+(2x-3y).由于-1<x+2y<4,2<2x-3y<3,所以0<2(x+2