浙江省公立寄宿学校2025年数学高二第二学期期末统考模拟试题含解析

浙江省公立寄宿学校2025年数学高二第二学期期末统考模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知分别为四面体的棱上的点,且,,,,则下列说法错误的是（）A．平面 B．C．直线相交于同一点 D．平面2．已知函数是定义在上的偶函数，且，若对任意的，都有成立，则不等式的解集为（）A． B．C． D．3．已知将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则在上的值域为（）A． B． C． D．4．已知函数，若对于任意的，都有成立，则的最小值为（）A．4 B．1 C． D．25．把4个苹果分给两个人，每人至少一个，不同分法种数有()A．6 B．12 C．14 D．166．定义在（0，+∞）上的函数f（x）的导数满足x2＜1，则下列不等式中一定成立的是（）A．f（）+1＜f（）＜f（）﹣1 B．f（）+1＜f（）＜f（）﹣1C．f（）﹣1＜f（）＜f（）+1 D．f（）﹣1＜f（）＜f（）+17．记为等比数列的前项和.若，，则（）A．2 B．-4 C．2或-4 D．48．函数的导函数为，若不等式的解集为，且的极小值等于，则的值是()。A． B． C．5 D．49．函数，，若，，则的取值范围为（）A． B． C． D．10．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个大于，反证假设正确的是()A．假设三内角都大于 B．假设三内角都不大于C．假设三内角至多有一个大于 D．假设三内角至多有两个大于11．()A． B． C． D．12．甲、乙、丙三位同学站成一排照相，则甲、丙相邻的概率为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知曲线与轴只有一个交点，则_____．14．为计算，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入______.15．曲线在x=1处的切线方程是____________.16．已知向量，，，，若，则_______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在某项体能测试中，规定每名运动员必需参加且最多两次，一旦第一次测试通过则不再参加第二次测试，否则将参加第二次测试.已知甲每次通过的概率为23，乙每次通过的概率为1(Ⅰ)求甲乙至少有一人通过体能测试的概率；(Ⅱ)记X为甲乙两人参加体能测试的次数和，求X的分布列和期望.18．（12分）阿基米德是古希腊伟大的哲学家、数学家、物理学家，对几何学、力学等学科作出过卓越贡献.为调查中学生对这一伟大科学家的了解程度，某调查小组随机抽取了某市的100名高中生，请他们列举阿基米德的成就，把能列举阿基米德成就不少于3项的称为“比较了解”，少于三项的称为“不太了解”.他们的调查结果如下：0项1项2项3项4项5项5项以上理科生（人）110171414104文科生（人）08106321（1）完成如下列联表，并判断是否有的把握认为，了解阿基米德与选择文理科有关？比较了解不太了解合计理科生文科生合计（2）在抽取的100名高中生中，按照文理科采用分层抽样的方法抽取10人的样本.（i）求抽取的文科生和理科生的人数；（ii）从10人的样本中随机抽取3人，用表示这3人中文科生的人数，求的分布列和数学期望.参考数据：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828，.19．（12分）已知函数，.（1）当时，求函数的单调区间；（2）当时，若存在，使不等式成立，求的最小值.20．（12分）在直角坐标系中，将单位圆上各点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，得到曲线，以为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系．(1)求曲线的参数方程；(2)设为曲线上一点，点的极坐标为，求的最大值及此时点的坐标．21．（12分）已知O是平面直角坐标系的原点，双曲线.（1）过双曲线的右焦点作x轴的垂线，交于A、B两点，求线段AB的长；（2）设M为的右顶点，P为右支上任意一点，已知点T的坐标为，当的最小值为时，求t的取值范围；（3）设直线与的右支交于A，B两点，若双曲线右支上存在点C使得，求实数m的值和点C的坐标.22．（10分）某学校为调查高三年级学生的身高情况，按随机抽样的方法抽取80名学生，得到男生身高情况的频率分布直方图（如图（1））和女生身高情况的频率分布直方图（如图（2））.已知图（1）中身高在的男生有16名.（1）试问在抽取的学生中，男、女生各有多少名？（2）根据频率分布直方图，完成下面的列联表，并判断能有多大（百分数）的把握认为身高与性别有关？身高身高总计男生女生总计参考公式：，其中参考数据：0.400.250.100.0100.0010.7081.3232.7066.63510.828

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

根据线面平行以及空间直线和平面的位置关系分别进行判断即可．【详解】，，是的中位线，，且，平面，平面，平面，故正确，，，，且，则，故B正确，是梯形，则直线，相交，设交点为，则，平面，，平面，则是平面和平面的公共点，则，即直线，，相交于同一点，故正确，因为，，所以直线与必相交，所以错误.故选D本题主要考查命题的真假判断，涉及空间直线和平面位置关系的判断，根据空间直线和平面平行的性质是解决本题的关键．2、D【解析】

构造函数，判断函数的单调性和奇偶性，根据其性质解不等式得到答案.【详解】对任意的，都有成立构造函数在上递增.是偶函数为奇函数，在上单调递增.当时：当时：故答案选D本题考查了函数的奇偶性，单调性，解不等式，构造函数是解题的关键.3、B【解析】解析：因，故，因，故，则，所以，应选答案B．4、D【解析】

由题意得出的一个最大值为，一个最小值为，于此得出的最小值为函数的半个周期，于此得出答案．【详解】对任意的，成立.所以，，所以，故选D．本题考查正余弦型函数的周期性，根据题中条件得出函数的最值是解题的关键，另外就是灵活利用正余弦型函数的周期公式，考查分析问题的能力，属于中等题．5、C【解析】

给两个人命名为甲、乙，根据甲分的苹果数进行分类即可求出．【详解】按照分给甲的苹果数，有种分法，故选C．本题主要考查分类加法计数原理的应用．6、D【解析】

构造函数g（x）＝f（x），利用导数可知函数在（0，+∞）上是减函数，则答案可求．【详解】由x2f′（x）＜1，得f′（x），即得f′（x）0，令g（x）＝f（x），则g′（x）＝f′（x）0，∴g（x）＝f（x）在（0，+∞）上为单调减函数，∴f（）+2＜f（）+3＜f（）+4，则f（）＜f（）+1，即f（）﹣1＜f（）；f（）＜f（）+1．综上，f（）﹣1＜f（）＜f（）+1．故选：D．本题考查利用导数研究函数的单调性，正确构造函数是解题的关键，是中档题．7、B【解析】

利用等比数列的前项和公式求出公比，由此能求出结果．【详解】∵为等比数列的前项和，，，∴，解得，∴，故选B．本题主要考查等比数列的性质以及其的前项和等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8、D【解析】

求导数，利用韦达定理，结合的极小值等于，即可求出的值，得到答案．【详解】依题意，函数，得的解集是，于是有，解得，∵函数在处取得极小值，∴，即，解得，故选：D．本题主要考查了利用导数研究函数的极值，考查韦达定理的运用，着重考查了学生分析解决问题的能力，比较基础.9、C【解析】分析：利用均值定理可得≥2，中的，即≤2，所以a≤0详解：由均值不等式得≥2，当且仅当x=0取得≤2，，当a≤0时，≥2，≤2故本题选C点晴：本题是一道恒成立问题，恒成立问题即最值问题，本题结合均值，三角函数有界性等综合出题，也可以尝试特殊值方法进行解答10、B【解析】

反证法的第一步是假设命题的结论不成立，根据这个原则，选出正确的答案.【详解】假设命题的结论不成立，即假设三角形的内角中至少有一个大于不成立，即假设三内角都不大于，故本题选B.本题考查了反证法的第一步的假设过程，理解至少有一个大于的否定是都不大于是解题的关键.11、C【解析】

根据定积分的运算公式，可以求接求解.【详解】解:，故选C.本题考查了定积分的计算，熟练掌握常见被积函数的原函数是解题的关键.12、C【解析】分析：通过枚举法写出三个人站成一排的所有情况，再找出其中甲、丙相邻的情况，由此能求出甲、丙相邻的概率.详解：三人站成一排，所有站法有：（甲乙丙）、（甲丙乙）、（乙甲丙）、（乙丙甲）、（丙甲乙）、（丙乙甲）共6种，其中甲、丙相邻有4种，所以，甲、丙相邻的概率为.故选C.点睛：本题考查古典概型的概率的求法，解题时要注意枚举法的合理运用.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、5【解析】

由曲线y＝x2+4x+m﹣1与x轴只有一个交点△＝0可求m的值．【详解】因为与x轴只有一个交点,故,所以.故答案为5本题考查由△判定二次函数与x轴交点个数问题，属于基础题．14、【解析】

根据框图作用分析即可求得空白处应该填入的语句.【详解】由程序框图的输出值，结合本框图的作用是计算，考虑，，所以空白处应该填入.故答案为：此题考查程序框图的识别，根据已知程序框图需要输出的值填补框图，关键在于弄清框图的作用，准确分析得解.15、【解析】分析：根据求导公式求出导数，再求出切线的斜率和切点的坐标，代入点斜式方程化为一般式即可.详解：由题意得，，在处的切线的斜率是，且切点坐标是，则在处的切线方程是：，即.故答案为：.点睛：1.对于曲线切线方程问题的求解，对曲线的求导是一个关键点，因此求导公式，求导法则及导数的计算原则要熟练掌握.2.对于已知的点，应首先确定其是否为曲线的切点，进而选择相应的方法求解.16、【解析】

计算出向量与的坐标，利用共线向量坐标的等价条件列等式求出实数的值.【详解】，，又，所以，，解得，故答案为.本题考查利用共线向量求参数的值，解题时要计算出相关向量的坐标，利用共线向量的坐标的等价条件列等式求解，考查运算求解能力，属于中等题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(Ⅰ)3536X的分布列为；X234P111EX=2×【解析】

(Ⅰ)先求出甲未能通过体能测试的概率，然后再求出乙未能通过体能测试的概率，这样就能求出甲、乙都未能通过体能测试的概率，根据对立事件的概率公式可以求出甲乙至少有一人通过体能测试的概率；(Ⅱ)由题意可知X=2,3,4，分别求出P(X=2)、【详解】解:(Ⅰ)甲未能通过体能测试的概率为P1乙未能通过体能测试的概率为P2∴甲乙至少有一人通过体能测试的概率为P=1-P(Ⅱ)X=2,3,4P(X=2)=23×12∴X的分布列为X234P111∴EX=2×本题考查了相互独立事件的概率、对立事件的概率公式、离散型随机变量的分布列和数学期望，考查了数学运算能力.18、(1)见解析；(2)（i）文科生3人，理科生7人（ii）见解析【解析】

（1）写出列联表后可计算，根据预测值表可得没有的把握认为，了解阿基米德与选择文理科有关.（2）（i）文科生与理科生的比为，据此可计算出文科生和理科生的人数.（ii）利用超几何分布可计算的分布列及其数学期望.【详解】解：（1）依题意填写列联表如下：比较了解不太了解合计理科生422870文科生121830合计5446100计算，没有的把握认为，了解阿基米德与选择文理科有关.（2）（i）抽取的文科生人数是（人），理科生人数是（人）.（ii）的可能取值为0,1,2,3，则，，，.其分布列为0123所以.本题考查独立性检验、分层抽样及超几何分布，注意在计算离散型随机变量的概率时，注意利用常见的概率分布列来简化计算（如二项分布、超几何分布等）．19、（1）见解析；（2）2【解析】分析：（1）求出，分两种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（2）问题等价于，令，问题转化为求出，利用导数研究函数的单调性，利用函数的单调性求出的最小值，从而求出的最小值即可.详解：（1）解：∵∴∴当即时，对恒成立此时，的单调递增区间为，无单调递减区间当，即时，由，得，由，得此时，的单调递减区间为，单调递增区间为综上所述，当时，的单调递增区间为,无单调递减区间；当时，的单调递减区间为，单调递增区间为（2）解：由，得：当时，上式等价于令据题意，存在，使成立，则只需，令，显然在上单调递增而，∴存在，使，即又当时，，单调递减，当时，，单调递增∴当时，有极小值（也是最小值）∴∵，即，∴，∴又，且，∴的最小值为2.点睛：本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.20、(1)(为参数)；(2)最大值，此时．【解析】

(1)根据坐标变换可得曲线的方程，根据平方关系可求出其参数方程；(2)求出的直角坐标，再由两点间的距离公式可求出，结合三角函数即可求出最值．【详解】(1)依题意可得曲线C的直角坐标方程为，所以其参数方程为(为参数)．(2)，设，则