云南省大理州南涧县民族中学2025届数学高二第二学期期末教学质量检测模拟试题含解析

云南省大理州南涧县民族中学2025届数学高二第二学期期末教学质量检测模拟试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．某班有50人，从中选10人均分2组（即每组5人），一组打扫教室，一组打扫操场，那么不同的选派法有（）A． B． C． D．2．若(3x-1x)A．-5B．5C．-405D．4053．设，则二项式展开式的常数项是（）A．1120 B．140 C．-140 D．-11204．设命题：，，则为（）A．， B．，C．， D．，5．已知双曲线的两个焦点分别为，过右焦点作实轴的垂线交双曲线于，两点，若是直角三角形，则双曲线的离心率为()A． B． C． D．6．不相等的三个正数a、b、c成等差数列，并且x是a、b的等比中项，y是b、c的等比中项，则x2、b2、y2三数()A．成等比数列而非等差数列B．成等差数列而非等比数列C．既成等差数列又成等比数列D．既非等差数列又非等比数列7．已知，则“”是“”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件8．函数的最小正周期是（）A． B． C． D．9．已知直线的倾斜角为，直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，且都垂直于轴（其中分别为双曲线的左、右焦点），则该双曲线的离心率为A． B． C． D．10．若实数满足不等式组，则的最大值为（）A．8 B．10 C．7 D．911．在区间[-1,4]内取一个数x,则≥的概率是（）A． B． C． D．12．设，若函数，有大于零的极值点，则（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知X的分布列如图所示，则X-101P0.20.3a（1），（2），（3），其中正确的个数为________.14．已知向量与的夹角为，且，，则向量在向量方向上的投影为________．15．设是定义在上的可导函数，且满足，则不等式解集为_______．16．若对一切恒成立，则a的取值范围为________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数，.（1）当时，求函数的单调区间和极值；（2）若对于任意，都有成立，求实数的取值范围；（3）若，且，证明：.18．（12分）已知函数（1）当时，，求的取值范围；（2）时，证明：f(x)有且仅有两个零点。19．（12分）已知为等差数列，且，.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和.20．（12分）已知函数，为的导数．（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）证明：在区间上存在唯一零点；（Ⅲ）设，若对任意，均存在，使得，求实数的取值范围.21．（12分）设（1）解不等式；（2）对任意的非零实数，有恒成立，求实数的取值范围.22．（10分）设函数过点．（Ⅰ）求函数的极大值和极小值．（Ⅱ）求函数在上的最大值和最小值．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

根据先分组，后分配的原则得到结果.【详解】由题意，先分组，可得，再一组打扫教室，一组打扫操场，可得不同的选派法有.故选A．不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组．注意各种分组类型中，不同分组方法的求解．2、C【解析】由题设可得2n=32⇒n=5，则通项公式Tr+1=C5r3、A【解析】

分析：利用微积分基本定理求得，先求出二项式的展开式的通项公式，令的指数等于，求出的值，即可求得展开式的常数项.详解：由题意，二项式为，设展开式中第项为，，令，解得，代入得展开式中可得常数项为，故选A.点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题.二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.4、D【解析】分析：直接利用特称命题的否定解答.详解：由特称命题的否定得为：，，故答案为：D.点睛：（1）本题主要考查特称命题的否定，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2)特称命题,特称命题的否定.5、B【解析】分析：由题意结合双曲线的结合性质整理计算即可求得最终结果.详解：由双曲线的对称性可知：，则为等腰直角三角形，故，由双曲线的通径公式可得：，据此可知：，即，整理可得：，结合解方程可得双曲线的离心率为：.本题选择B选项.点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．6、B【解析】由已知条件，可得由②③得代入①，得＝2b，即x2＋y2＝2b2.故x2、b2、y2成等差数列，故选B.7、A【解析】

“a＞1”⇒“”，“”⇒“a＞1或a＜0”，由此能求出结果．【详解】a∈R，则“a＞1”⇒“”，“”⇒“a＞1或a＜0”，∴“a＞1”是“”的充分非必要条件．故选A．充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．8、D【解析】

根据正切型函数的周期公式可求出函数的最小正周期.【详解】由题意可知，函数的最小正周期，故选D.本题考查正切型函数周期的求解，解题的关键在于利用周期公式进行计算，考查计算能力，属于基础题.9、D【解析】

根据题意设点，，则，又由直线的倾斜角为，得，结合点在双曲线上，即可求出离心率.【详解】直线与双曲线的左、右两支分别交于、两点，且、都垂直于轴，根据双曲线的对称性，设点，，则，即，且，又直线的倾斜角为，直线过坐标原点，，，整理得，即，解方程得，（舍）故选D.本题考查双曲线的几何性质、直线与双曲线的位置关系及双曲线离心率的求法，考查化简整理的运算能力和转化思想，属于中档题.圆锥曲线离心率的计算，常采用两种方法：1、通过已知条件构建关于的齐次方程，解出.根据题设条件（主要用到：方程思想，余弦定理，平面几何相似，直角三角形性质等）借助之间的关系，得到关于的一元方程，从而解得离心率.2、通过已知条件确定圆锥曲线上某点坐标，代入方程中，解出.根据题设条件，借助表示曲线某点坐标，代入曲线方程转化成关于的一元方程，从而解得离心率.10、D【解析】

根据约束条件，作出可行域，将目标函数化为，结合图像，即可得出结果.【详解】由题意，作出不等式组表示的平面区域如下图所示，目标函数可化为，结合图像可得，当目标函数过点时取得最大值，由解得.此时.选D。本题主要考查简单的线性规划问题，通常需要作出可行域，转化目标函数，结合图像求解，属于常考题型.11、D【解析】

先解不等式，确定解集的范围，然后根据几何概型中的长度模型计算概率.【详解】因为，所以，解得，所以.几何概型中长度模型（区间长度）的概率计算：.12、B【解析】试题分析：设，则，若函数在x∈R上有大于零的极值点．即有正根，当有成立时，显然有，此时．由，得参数a的范围为．故选B．考点：利用导数研究函数的极值．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、1【解析】

由分布列先求出，再利用公式计算和即可.【详解】解：由题意知：，即；综上，故（1）正确，（2）（3）错误，正确的个数是1.故答案为：1.本题考查了离散型随机变量的期望和方差，属于基础题.14、【解析】

由题知，，再根据投影的概念代入计算即可.【详解】，，所以向量在向量方向上的投影为.故答案为：本题主要考查了向量模的坐标计算，投影的概念与计算.15、【解析】

构造函数，结合题意求得，由此判断出在上递增，由此求解出不等式的解集.【详解】令，，故函数在上单调递增，不等式可化为，则，解得：．本小题主要考查构造函数法解不等式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.16、【解析】

由题意可得恒成立，设，求得导数和单调性、极值和最值，即有a小于最小值．【详解】对一切恒成立，可得恒成立，设，则，，当时，，递增；时，，递减，可得处取得极小值，且为最小值4，可得．故答案为：．本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和导数的运用，考查运算能力，属于中档题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)答案见解析；(2)；(3)证明见解析.【解析】

（1），①时，因为，所以，函数的单调递增区间是，无单调递减区间，无极值；②当时，令，解得，当时，；当，．所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是，在区间上的极小值为，无极大值．（2）由题意，，即问题转化为对于恒成立，即对于恒成立，令，则，令，则，所以在区间上单调递增，故，故，所以在区间上单调递增，函数．要使对于恒成立，只要，所以，即实数k的取值范围为．（3）证法1因为，由（1）知，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，且．不妨设，则，要证，只要证，即证．因为在区间上单调递增，所以，又，即证，构造函数，即，．，因为，所以，即，所以函数在区间上单调递增，故，而，故，所以，即，所以成立．证法2要证成立，只要证：.因为，且，所以，即，，即，，同理，从而，要证，只要证，令不妨设，则，即证，即证，即证对恒成立，设，，所以在单调递增，，得证，所以.18、（1）（2）见解析【解析】

（1）参变分离，求最值。确定的取值范围。（2）求导判断的单调性。说明零点存在。【详解】（1）由得令，∴在上时增函数∴∴.（2）当时，（）∴∴∴在是增函数又，∴在上有且仅有一个解，设为-0+↘最小↗∴又∴有且仅有两个零点.本题考查参变分离，利用单调性讨论函数零点，属于中档题。19、(1).(2).【解析】分析：（1）由，可得，解之得，从而可得的通项公式；（2）由可得，，利用错位相减法即可得结果.详解：（Ⅰ）由已知条件可得，解之得，，所以，.（Ⅱ）由可得，，设数列的前项和为.则，∴，以上二式相减得，所以，.点睛：本题主要考查等差数列的通项公式基本量运算以及错位相减法求数列的前项和，属于中档题.一般地，如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解,在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式.20、（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）.【解析】

（Ⅰ）将代入求出切点坐标，由题可得，将代入求出切线斜率，进而求出切线方程．（Ⅱ）设，则，由导函数研究的单调性进，而得出答案．（Ⅲ）题目等价于，易求得，利用单调性求出的最小值，列不等式求解．【详解】（Ⅰ），所以，即切线的斜率，且，从而曲线在点处的切线方程为.（Ⅱ）设，则.当时，；当时，，所以在单调递增，在单调递减.又，故在存在唯一零点.所以在存在唯一零点.（Ⅲ）由已知，转化为，且的对称轴所以.由(Ⅱ)知，在只有一个零点，设为，且当时，；当时，，所以在单调递增，在单调递减.又，所以当时，.所以，即，因此，的取值范围是.导数是高考的重要考点，本题考查导数的几何意义，利用单调性解决函数的恒成立问题，存在性问题等，属于一般题．21、（1）（2）【解析】

（1）通过讨论的范围去绝对值符号，从而解出不等式．（2）恒成立等价于恒成立的问题即可解决．【详解】（1）令当时当时当时综上所述（2）恒成立等价于（当且仅当时取等）恒成立本题主要考查了解绝对值不