典型例题：高考中的“逻辑”

1/4高考中“逻辑”常用逻辑用语是研究高中数学的基础工具，也是历年高考考查的重点。高考中主要以选择题和填空题的形式，对常用逻辑用语的基本概念、性质及与其他知识的结合进行考查。下面就走进高考题，来体味高考对常用逻辑用语的考查特点和命题趋势。一、考查命题真假的判断例1.（陕西卷）关于平面向量a,b,①若a∙b=a∙c，则b=c。②若a=(1，k)，b=(-2，6)，a//b，则k=-3。③非零向量a和b满足解析：对于①，向量在等式两边不能相消，故①不正确；对于②，有1-2=k6，得k=-3，故②正确；对于③，根据平行四边形法则，可得a与a+b点评：本题以平面向量的概念和运算为载体，考查了命题真假的判断。二、考查四种命题的关系例2.（广东卷）命题“若函数f(x)=logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数，则loga2A.若loga2<0，则函数f(x)=logaB.若loga2≥0，则函数f(x)=logC.若loga2<0，则函数f(x)=logaD.若loga2≥0，则函数f(x)=log解析：注意到命题“若函数f(x)=logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数，则loga2<0”的条件与结论，可知逆否命题为“若loga2≥0，则函数点评：四种命题的关系是常考不衰的经典内容，利用互为逆否命题的两个命题的等价性是常用的解题手段，本题主要考查四种命题的关系，“新”在与对数函数的整合上。三、考查充要条件例3.（重庆卷）设m,n是整数,则“m,n均为偶数”是“m+n是偶数”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：两偶数之和必为偶数，但两个数的和为偶数，这两个数未必都是偶数，如1+3=4，3+5=8等等，故选A。点评：充要条件是历年高考常考不衰的经典内容。本题以偶数的性质为载体对此作了考查。例4.（陕西卷）“a=18”是“对任意的正数x，2x+axA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件解析：一方面，当a=18时，对任意的正数x，有2x+ax=2x+18x≥22x∙点评：本题以基本不等式的应用为背景，考查了对充要条件的理解和应用。四、考查逻辑联结词例5.（广东卷）已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（）A.(﹁p)或qB.p∧且qC.(﹁p)且(﹁q)D.(﹁p)或(﹁q)解析：对于命题p是真命题，命题q是假命题，因此，命题﹁q是真命题，于是(﹁p)∨(﹁q)是真命题，故选D。点评：本题考查了含有逻辑联结词的命题的真假判断，掌握这类命题的判断规律是关键。五、“逻辑”创新命题例6.（福建卷）设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a，b∈P，都有a+b、a-b、ab、ab∈P（除数b≠0），则称P是一个数域。例如有理数集Q①整数集是数域；②若有理数集Q⊆M，则数集M必为数域；③数域必为无限集；④存在无穷多个数域。其中正确的命题的序号是。（把你认为正确的命题的序号都填上）解析：对于整数集Z，a=1，b=2时，ab=12∉Z，故整数集不是数域，①错；对于满足Q⊆M的集合M=Q∪2，1+2∉M，M不是数域，②错；若P是数域，则存在a∈P且a≠0，依定义2a，3a，4a，⋯，均是P中元素，故P有无数元素，③正确；类似数集F点评：本题定义了一个新概念——数域，并将此概念迁移到命题的判断中，成为08高考题中首选的亮点。例7.（全国卷Ⅱ（理））平面内的一个四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行。类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：充要条件①；充要条件②。解析：要判定一个四棱锥是否为平行六面体，只要紧紧围绕着定义来判定即可，即判定其底面是否是平行四边形即可。因此利用平面几何中判定一个四边形