《条件概率》教学设计

高中数学精选资源3/3《条件概率》教学设计教学设计教学环节教学内容师生互动设计意图情境引人教材第41页“情境与问题”：金融界的人经常需要计算不同投资环境下获利的概率，因此金融投资公司在招聘新员工时，通常会考察应聘人员计算概率的能力，以下是某金融投资公司的一道笔试题，你会做吗？从生物学中我们知道，生男、生女的概率基本是相等的，都可以近似地认为是，如果某个家庭中先后生了两个小孩：（1）当已知较大的小孩是女孩的条件下，较小的小孩是男孩的概率为多少？（2）当已知两个小孩中有女孩的条件下，两个小孩中有男孩的概率为多少？教师让学生阅读教材“情境与问题”栏目的内容，并思考、尝试进行回答.学生阅读，思考，回答.预设学生直观上会认为两个问题中的概率均为.教师给出正确答案，引出课题.创设情境，使学生产生直观认知上的冲突，引入课题.知识生成1.教材第41页“尝试与发现”已知某班级中，有女生16人，男生14人，而且女生中喜欢长跑的有10人男生中喜欢长跑的有8人.现从这个班级中随机抽出一名学生：（1）求所抽到的学生喜欢长跑的概率；（2）若已知抽到的是男生，求所抽到的学生喜欢长跑的概率.2.教材第42页“尝试与发现”：观察上述A与B之间的关系，试探讨怎样才能求出.3.条件概率的定义.一般地,当事件发生的概率大于0时(即,已知事件发生的条件下事件发生的概率,称为条件概率,记作,而且.4.条件概率的理解.条件概率可以借助下图来理解,需要注意的是,与的意义不一样,一般情况下,它们也不相等.教师出示教材第41页“尝试与发现”栏目的内容，引导学生利用古典概型知识来解决概率问题.学生阅读，思考，回答问题.教师根据学生的回答，引导学生继续思考：问题（1）（2）的异同点是什么？学生继续思考，并尝试回答问题.教师点评学生的回答，出示教材第42页“尝试与发现”栏目的内容，供学生思考、探索.学生结合前面“尝试与发现”的学习过程，推广得到更一般的结论：可以看出,上述可以用与表示出来,即.师生共同得出条件概率的定义.教师指出,如不特别声明,以后谈到类似等条件概率时,总是默认.教师剖析定义,分析定义,帮助学生理解定义.（1）怎样理解条件概率的定义?提示:条件概率中,在事件发生的条件下事件发生,是指事件确实已经发生之后,再有事件发生.而我们以前所讲的“事件发生且事件发生”,是指事件与事件同时发生.（2）怎样区别条件概率与交事件概率?提示:两者在时间上有区别,在说法上有区别.条件概率题,一般都会讲；“在事件发生的条件下,求事件发生的概率”,或有“逗号”隔开的语句.从具体实例入手，引入条件概率.通过探索，经历从特殊到一般的学习过程，培养学生的数学抽象与逻辑推理核心素养.加深学生对条件概率的理解.例题研讨例1掷红、蓝两个均匀的骰子,设蓝色骰子的点数为5或;两骰子的点数之和大于7.求已知事件发生的条件下事件发生的概率.解用数对来表示抛掷结果,其中表示红色骰子的点数,表示蓝色骰子的点数,则样本空间可记为，而且样本空间可用下图直观表示,图中每个点代表一个样本点.样本空间中,共包含36个样本点.不难看出,包含的样本点即下图中矩形框中的点,共12个,因此包含的样本点即为下图中三角框中的点,共包含9个样本点,从而.因此.例2已知春季里,每天甲、乙两地下雨的概率分别为与,且两地同时下雨的概率为.求春季的一天里;（1）已知甲地下雨的条件下,乙地也下雨的概率;（2）已知乙地下雨的条件下,甲地也下雨的概率.解记:甲地下雨,乙地下雨,则由已知可得.（1）需要求的是,因此.（2）需要求的是,因此.例3已知某地区内狗的寿命超过15岁的概率为,超过20岁的概率为.那么该地区内,一只寿命超过15岁的狗,寿命能超过20岁的概率为多少?解设:狗的寿命超过15岁,:狗的寿命超过20岁,则所要求的就是.依题意有.又因为,所以,从而,因此.小结:计算条件概率的方法如下.（1）在原来的样本空间中,先计算,再利用条件概率公式计算求得.（2）在缩小后的样本空间中计算事件发生的概率,即.教师出示例1，请学生思考、尝试完成.教师可引导学生从古典概型的角度入手，解决此题.学生分析样本空间，利用公式求出条件概率.教师进一步出示变式题:在例1的条件下,如何求?学生思考得出答案,教师分析过程,通过例1进一步剖析、对比之间的区别与联系.教师指出:例1中的,也可以通过中的样本点个数12与中的样本点个数9直接得到,即.注意到,这说明事件A的发生影响了事件B发生的概率教师可直接将例2放手交给学生独立解决，并以提问的方式检查学生的完成情况，同时板书例2的解答过程，规范答题格式.学生独立思考，完成例2，并积极、主动回答教师的提问，掌握规范的答题格式.教师请3~4名学生板演例3，巡视教室，对学习有困难的学生进行单独辅导，对学生进行思路点拨.3~4名学生板演，其他学生进行补充.教师对学生的解答进行点评，指出存在的问题，规范答题格式.师生共同梳理条件概率的求法：定义法和缩小样本空间法.让学生尝试口述不同方法下求条件概率的具体步骤.通过教师讲解、学生板演等方式学习、解决三道例题，进一步加深学生对条件概率的理解，并利用条件概率解决一些生活中常见的应用题，突破重难点，提升学生的数学建模、数学运算及逻辑推理核心素养.知识升华1.解决“情境与问题”栏目中的问题.前面的情境与问题中,如果用,M)表示较大的小孩是女孩,较小的小孩是男孩,则样本空间可以表示为.则“较大的小孩是女孩”对应的是,“较小的小孩是男孩”对应的是,从而“已知较大的小孩是女孩的条件下,较小的小孩是男孩”的概率为.而“两个小孩中有女孩”对应的是,“两个小孩中有男孩”对应的是,,F),,从而“已知两个小孩中有女孩的条件下,两个小孩中有男孩”的概率为.2.条件概率的性质.假设都是事件,且0.则有:（1）;（2）;（3）如果与互斥,则C).教师引导学生利用定义法解决“情境与问题”栏目中的问题.学生根据所学知识独立完成.教师继续引导学生思考：条件概率也是概率，那么你能探索得出条件概率的哪些性质呢？学生根据概率的学习经验得出三条关于条件概率的性质.教师肯定学生的结论，并对在性质的探索过程中存在的问题进行补充、解释.利用所学知识解决问题，前后呼应，培养学生解决问题的能力.通过对条件概率性质的探索，加深学生对所学知识的理解，进一步提升学生的逻辑推理等数学核心素养.归纳小结1.条件概率的定义.2.条件概率的公式.3.条件概率的性质.教师引导学生分组回答，小组评价.培养学生概括总结的能力.布置作业教材第44页练习A第1，3，4题.学生独立完成，教师批改.巩固知识.板书设计条件概率1.条件概率的定义一般地,当事件发生的概率大于0时(即,已知事件发生的条件下事件发生的概率,称为条件概率,记作,而且2.计算条件概率的方法3.条件概率的性质假设都是事件,且.则有:（1）（2）;（3）如果与互斥,则4.例题例1例2例35.归纳小结教学研讨条件概率的公式使用较简单，难点是条件概率的判断，学生常分不清何时该使用条件概率.因此教师有必要通过具体的实例来帮助学生进行条件概率的判断.参考总结如下：1.题目中出现已知“在……前提下（条件下）”等字眼时，一般为