河北省唐山市2023-2024学年高一下学期期末模拟考试数学试卷

河北省唐山市2023-2024学年高一下学期期末模拟考试一、单选题1．已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限2．已知，为单位向量，且，若，且与的夹角为θ，则（

）A． B． C． D．3．树人中学国旗班共有50名学生，其中男女比例，平均身高174cm，用等比例分层随机抽样的方法，从中抽取一个容量为20的样本，若样本中男生的平均身高为178cm，样本中女生人数与女生平均身高的估计值分别为(

)A．8人

168cm B．8人

170cm C．12人

168cm D．12人

170cm4．已知两条不同直线与三个不同平面，则下列命题正确的个数是（

）.①若，，，则②若，，则③若，，则④若，，则A．0 B．1 C．2 D．35．的内角的对边分别为，已知，，，则的值为A． B．C． D．6．如图所示，点E为的边AC的中点，F为线段BE上靠近点B的四等分点，则=（

）A． B． C． D．7．银行定期储蓄存单的密码由6个数字组成，每个数字均是0~9中的一个，小王去银行取一笔到期的存款时，忘记了密码中某一位上的数字，他决定不重复地随机进行尝试，则不超过2次就按对密码的概率为（

）A． B． C． D．8．在三棱锥中，底面是边长为3的等边三角形，，，若此三棱锥外接球的表面积为，则二面角的余弦值为（

）A． B． C． D．二、多选题9．下列说法正确的是（

）A．、、、、、、、、、的第百分位数是B．已知一组数据、、、、的平均数为，则这组数据的方差是C．用分层随机抽样时，个体数最多的层里的个体被抽到的概率最大D．若、、、的标准差为，则、、、的标准差是10．对于有如下命题，其中正确的是（

）A．若，则为钝角三角形B．若，，且有两解，则的取值范围是C．在锐角中，不等式恒成立D．在中，若，，则必是等边三角形11．已知四棱锥的底面是边长为3的正方形，平面为等腰三角形，为棱上靠近的三等分点，点在棱上运动，则（

）A．平面B．直线与平面所成角的正弦值为C．D．点到平面的距离为三、填空题12．已知，，若，则实数的值是．13．已知圆柱的两个底面的圆周在体积为的球O的球面上，则该圆柱的侧面积的最大值为．14．已知甲､乙两人每次射击命中目标的概率分别为和，甲和乙是否命中目标互不影响，且各次射击是否命中目标也互不影响.若按甲､乙､甲､乙…的次序轮流射击，直到有一人击中目标就停止射击，则停止射击时，甲､乙共射击了四次的概率是.四、解答题15．设三个内角的对边分别为，且.(1)求的值；(2)设为锐角三角形，是边的中点，求的取值范围.16．在直三棱柱中，点D，E分别为棱AB，的中点，点F在棱上.(1)试确定点F的位置，使得平面平面CDE，并证明；(2)若多面体的体积为直三棱柱体积的，求.17．文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者，某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，得到如图所示的频率分布直方图.(1)求频率分布直方图中的值；(2)求样本成绩的第75百分位数；(3)已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差.18．2022年2月4日，第24届冬季奥林匹克运动会开幕式在北京国家体育场（鸟巢）举行，某调研机构为了了解人们对“奥运会”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“奥运会”知识竞赛，满分100分分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人．(1)根据频率分布直方图，估计这人的平均年龄；现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的“奥运会”宣传使者．(2)若有甲（年龄，乙（年龄两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率；(3)若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和1，据此估计这人中岁所有人的年龄的方差．19．由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体，围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点.对于凸多面体，有著名的欧拉公式：，其中为顶点数，为棱数，为面数.我们可以通过欧拉公式计算立体图形的顶点､棱､面之间的一些数量关系.例如，每个面都是四边形的凸六面体，我们可以确定它的顶点数和棱数.一方面，每个面有4条边，六个面相加共24条边；另一方面，每条棱出现在两个相邻的面中，因此每条棱恰好被计算了两次，即共有12条棱；再根据欧拉公式，，可以得到顶点数.(1)已知足球是凸三十二面体，每个面均为正五边形或者正六边形，每个顶点与三条棱相邻，试确定足球的棱数；(2)证明：个顶点的凸多面体，至多有条棱；(3)已知正多面体的各个表面均为全等的正多边形，且与每个顶点相邻的棱数均相同.试利用欧拉公式，讨论正多面体棱数的所有可能值.答案1．A2．C3．A4．A5．A6．C7．D8．A9．BD10．ACD11．BC12．13．14．15．（1）因为，所以利用正弦定理可得，又为三角形内角，，所以，可得，因为，所以；（2），；由正弦定理，则，又为锐角三角形，则，得，则，故,,，即，二次函数的开口向下，对称轴为，在，单调递减，故的取值范围,，即．16．（1）证明：当点为棱的中点时，平面平面，证明如下：由点分别为的中点，可得，因为平面，平面，可得平面，又因为，可得四边形是平行四边形，可得，因为平面，平面，可得平面，又因为，且，所以平面平面.（2）解：设的面积为，，可得直三棱柱的体积为，多面体的体积为直三棱柱体积的，即为，由三棱锥的体积为，可得四棱锥的体积为，设，点到侧面的距离为，则，解得，则.17．（1）因为每组小矩形的面积之和为1，所以，则.（2）成绩落在内的频率为，落在内的频率为，设第75百分位数为m，由，得，故第75百分位数为84.（3）由图可知，成绩在的市民人数为，成绩在的市民人数为，故这两组成绩的总平均数为，由样本方差计算总体方差公式可得总方差为：.18．（1）解：设这人的平均年龄为，则（岁；（2）由频率分布直方图可知各组的频率之比为，第四组应抽取人，记为，，，甲，第五组抽取人，记为，乙，对应的样本空间为，，，甲），，乙），，，，甲），，乙），，，甲），乙），，（甲，乙），（甲，，（乙，，共15个样本点．分设事件“甲、乙两人至少一人被选上”，则，甲），，乙），，甲），，乙），，甲），，乙），（甲，乙），（甲，，（乙，，共有9个样本点，所以；（3）设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为，，方差分别为，，则，，，，设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为；则，，因此第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为10，据此可估计这人中年龄在岁的所有人的年龄方差约为1019．（1）设足球有个正五边形，则有个正六边形，足球的顶点，棱数，由欧拉公式得，解得，即此足球中有个面为正五边形，所以此足球的棱数.（2）由个顶点的凸多面体，其面