浙江省各地2025年高二数学第二学期期末质量跟踪监视试题含解析

浙江省各地2025年高二数学第二学期期末质量跟踪监视试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知圆,在圆中任取一点,则点的横坐标小于的概率为（）A． B． C． D．以上都不对2．已知函数，其定义域是，则下列说法正确的是（）A．有最大值，无最小值B．有最大值，最小值C．有最大值，无最小值D．无最大值，最小值3．在某次体检中，学号为（）的四位同学的体重是集合中的元素，并满足，则这四位同学的体重所有可能的情况有（）A．55种 B．60种 C．65种 D．70种4．已知集合，，，则图中阴影部分表示的集合为A．1， B． C． D．5．已知奇函数在上是单调函数，函数是其导函数，当时，，则使成立的的取值范围是（）A． B． C． D．6．已知函数.若不等式的解集中整数的个数为，则的取值范围是（）A． B． C． D．7．某校高中三个年级人数饼图如图所示，按年级用分层抽样的方法抽取一个样本，已知样本中高一年级学生有8人，则样本容量为（）A．24 B．30 C．32 D．358．在二项式的展开式中，其常数项是15.如下图所示，阴影部分是由曲线和圆及轴围成的封闭图形，则封闭图形的面积为（）A． B． C． D．9．已知单位向量的夹角为，若，则为（）A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形10．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设为整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为．若，，则的值可以是A．2015 B．2016 C．2017 D．201811．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰:置积尺数,以十六乘之,九而一,所得开立方除之,即立圆径.“开立圆术”相当于给出了已知球的体积,求其直径的一个近似公式,人们还用过一些类似的近似公式,根据判断,下列近似公式中最精确的一个是（）A． B． C． D．12．过点且与直线垂直的直线方程是（）A． B．C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知数列的前项和为，，，则________.14．直线的倾斜角为_______________.15．已知函数.为的导函数，若，则实数的值为__________.16．函数的最小正周期为__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数.（1）计算､､的值；（2）结合（1）的结果，试从中归纳出函数的一般结论，并证明这个结论；（3）若实数满足，求证：.18．（12分）已知圆圆心为，定点，动点在圆上，线段的垂直平分线交线段于点．求动点的轨迹的方程；若点是曲线上一点，且，求的面积．19．（12分）已知，，求；；；设，求和：.20．（12分）已知数列满足，，.（Ⅰ）证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和.21．（12分）已知函数.（1）求曲线在原点处的切线方程.（2）当时，求函数的零点个数;22．（10分）若展开式中第二、三、四项的二项式系数成等差数列.（1）求的值及展开式中二项式系数最大的项；（2）此展开式中是否有常数项，为什么？

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】分析：画出满足条件的图像，计算图形中圆内横坐标小于的面积，除以圆的面积。详解：由图可知，点的横坐标小于的概率为，故选C点睛：几何概型计算面积比值。2、A【解析】

先化简函数，再根据反比例函数单调性确定函数最值取法【详解】因为函数，所以在上单调递减，则在处取得最大值，最大值为，取不到函数值，即最小值取不到.故选A.本题考查反比例函数单调性以及利用函数单调性求最值，考查分析判断求解能力，属基础题.3、D【解析】

根据中等号所取个数分类讨论，利用组合知识求出即可.【详解】解：当中全部取等号时，情况有种；当中有两个取等号，一个不取等号时，情况有种；当中有一个取等号，两个不取等号时，情况有种；当中都不取等号时，情况有种；共种.故选：D.本题考查分类讨论研究组合问题，关键是要找准分类标准，是中档题.4、B【解析】

图中阴影部分表示的集合为，解出集合，再进行集合运算即可【详解】图中阴影部分表示的集合为故选本题主要考查了图表达集合的关系及交、并、补的运算，注意集合的限制条件．5、A【解析】

将不等式变形，并构造函数，利用导函数可判断在时的取值情况；根据奇函数性质，即可判断当时的符号，进而得解.【详解】当时，，即；令，则，由题意可知，即在时单调递减，且，所以当时，，由于此时，则不合题意；当时，，由于此时，则不合题意；由以上可知时，而是上的奇函数，则当时，恒成立，所以使成立的的取值范围为，故选：A.本题考查了导数与函数单调性的关系，利用构造函数法分析函数单调性，奇函数性质解不等式，属于中档题.6、D【解析】

对进行变形，得到，令，，即的整数个数为3，再由的函数图像和的函数图像，写出限制条件，得到答案【详解】，即设，其中时，时，即符合要求，所以时，，单调递减，，单调递增，为极小值.有三个整数解，则还有一个整数解为或者是①当解集包含时，时，所以需要满足即，解得②当解集包含时，需要满足即整理得，而，所以无解集，即该情况不成立.综上所述，由①②得，的范围为故选D项.利用导数研究函数图像，两个函数图像的位置关系与解析式大小之间的关系，数形结合的数学思想，题目较综合，考查内容比较多，属于难题.7、C【解析】分析：本题考查的知识点是分层抽样，根据分层抽样的方法，由样本中高一年级学生有8人，所占比例为25%，即可计算.详解：由分层抽样的方法可设样本中有高中三个年级学生人数为x人，则，解得：.故选：C.点睛：分层抽样的方法步骤为：首先确定分层抽取的个数，分层后，各层的抽取一定要考虑到个体数目，选取不同的抽样方法，但一定要注意按比例抽取，其中按比例是解决本题的关键.8、B【解析】

用二项式定理得到中间项系数，解得a，然后利用定积分求阴影部分的面积．【详解】（x1+）6展开式中，由通项公式可得,令11﹣3r＝0，可得r＝4,即常数项为，可得＝15，解得a＝1．曲线y＝x1和圆x1+y1＝1的在第一象限的交点为（1，1）所以阴影部分的面积为．故选：B本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．9、C【解析】，，与夹角为，且，为直角三角形，故选C.10、C【解析】分析：首先求得a的表达式，然后列表猜想的后三位数字，最后结合除法的性质整理计算即可求得最终结果.详解：由题意可得：，结合二项式定理可得：，计算的数值如下表所示：底数指数幂值5155225531255462555312556156255778125583906255919531255109765625据此可猜想最后三位数字为，则：除以8的余数为1，所给选项中，只有2017除以8的余数为1，则的值可以是2017.本题选择C选项.点睛：本题主要考查二项式定理的逆用，学生归纳推理的能力等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11、B【解析】

利用球体的体积公式得，得出的表达式，再将的近似值代入可得出的最精确的表达式.【详解】由球体的体积公式得，，，，，，与最为接近，故选C.本题考查球体的体积公式，解题的关键在于理解题中定义，考查分析问题和理解问题的能力，属于中等题．12、B【解析】

先求出所求直线的斜率，再写出直线的点斜式方程化简整理即得解.【详解】由题得直线的斜率为所以直线的方程为，即：故选B本题主要考查相互垂直的直线的斜率关系，考查直线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

利用已知条件求出数列前项的和以及前项的和，然后求解即可.【详解】解：由数列的前项和为，，，可得，，，，则.故答案为：.本题考查数列的递推关系式的应用，考查转化思想以及计算能力，属于基础题.14、【解析】

由直线的斜率为，得到，即可求解.【详解】由题意，可知直线的斜率为，设直线的倾斜角为，则，解得，即换线的倾斜角为.本题主要考查直线的倾斜角的求解问题，其中解答中熟记直线的倾斜角与斜率的关系，合理准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.15、【解析】

通过对原函数求导，代入1即得答案.【详解】根据题意，，所以，故.本题主要考查导函数的运算法则，难度不大.16、【解析】

直接利用三角函数的周期公式求出函数的最小正周期.【详解】由题得函数的最小正周期.故答案为本题主要考查正弦型函数的最小正周期的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），，.（2）一般结论为：对任意实数都有，证明见解析（3）证明见解析【解析】

代入计算可得所求和为定值；

可得，代入计算，化简可得所求结论；

求得的导数，判断单调性，根据单调性利用反证法可得证明．【详解】（1），，.（2）对任意实数都有.证明：.（3）由知，为上的单调增函数.假设，则或，若，由为上的单调增函数知，；若，由为上的单调增函数知，，则，与条件矛盾，故假设不成立.原命题成立.本题主要考查三次函数的图象和性质，主要是单调性的应用，反证法，考查化简运算能力，属于中档题．18、；.【解析】

由已知，故，即点轨迹是以、为焦点的椭圆，根据，，得出椭圆方程；由知，又因为，得出，进而求出，算出面积即可.【详解】由已知，故点轨迹是以、为焦点的椭圆.设其方程为则即，又，故．点的轨迹的方程为：．由知.又.有，．本题考查椭圆得方程求法，余弦定理，三角形面积公式的应用，属于中档题.19、（1）－2；（2）；（3）【解析】

（1）令求得，令求得所有项的系数和，然后可得结论；（2）改变二项式的“－”号为“＋”号，令可得；（3）由二项展开式通项公式求得，再得，变形，然后由组合数的性质求和．【详解】（1）在中，令，得，令，得，∴；（2）由题意，令，得；（3）由题意，又，∴，∴，∴．本题考查二项式定理，考查赋值法求系数和问题，考查组合数的性质及二项式系数的性质．解题时难点在于组合数的变形，变形后才能求和．20、(1).(2).【解析】试题分析：（1）由得出，由等比数列的定义得出数列为等比数列，并且求出的通项公式；（2）求出数列的通项公式，利用错位相减法求出数列的前n项和．试题解析：（1）由，得，即，且,所以数列是以为首项，为公比的等比数列.所以，故数列的通项公式为.（2）由（1）知，，所以.所以.①.②①-②，得，所以.故数列的前项和.21、（1）（2）函数零点个数为两个【解析】

（1）根据导数的几何意义，即可求解曲线在原点处的切线方程；（2）由（1），求得函数的单调性，分类讨论，即可求解函数的零点个数．【详解】（1）由题意，函数，则，则，从而曲线在原点处的切线方程为．（2）由（1）知，令得或，从而函数单调增区间为，单调减区间为，当时，恒成立，所以在上没有零点；当时，函数在区间单调递减，且，存在唯一零点；当时，函数在区间单调递增，且，存在唯一零点．综上，当时，函数零点个数为两个.本题主要考查了导数的几何意义求解曲线在某点处的切线方程，以及利用导数研究函数的单调性及其应用，着重考查了分类讨论思想，推理与运算能力，属于基础题．22、（1）第四项为第五项为.（2）无常数项.【解析】分析:(1)先根据题意得到，解方程即得n=7.二项式系数最大的项