2023年热力学与统计物理期末复习笔记

《热力学记录物理》期末复习

一、简答题

1、写出焰、自由能、吉布斯函数的定义式及微分表达式（只考

虑体积变化功）

答:焰的定义H=U+PV,熔的全微分dH=TdS+VdP；

自由能的定义F=U-TS,自由能的全微分dF=-SdT-PdV；

吉布斯函数的定义G=U-TS+PV,吉布斯函数的全微分dG=-

SdT+VdPo

2、什么是近独立粒子和全同粒子？描写近独立子系统平衡态分

布有哪几种？

答：近独立子系统指的是粒子之间的互相作用很弱，互相作用

的平均能量远小于单个粒子的平均能量，因而可以忽略粒子之

间的互相作用。全同粒子组成的系统就是由具有完全相同的属

性（相同的质量、电荷、自旋等）的同类粒子组成的系统。描

写近独立子系统平衡态分布有费米-狄拉克分布、玻色-爱因斯

坦分布、玻耳兹曼分布。

3、简述平衡态记录物理的基本假设。

答：平衡态记录物理的基木假设是等概率原理。等概I以率原理认

为，对于处在平衡状态的孤立系统，系统各个也许的微观状态

出现的概率是相等的。它是记录物理的基本假设，它的对的性

由它的种种推论都与客观实际相符而得到肯定。

4、什么叫特性函数？请写出简朴系统的特性函数。

答：马休在1869年证明，假如适当选择独立变量（称为自然变

量），只要知道一个热力学函数，就可以通过求偏导数而求得

均匀系统的所有热力学函数，从而把均匀系统的平衡性质完全

拟定。这个热力学函数称为特性函数。简朴系统的特性函数有

内能U=U（S、V）,焰H=H（S、P）,自由能F=F（T、

V）,吉布斯函数G=G（T、P）o

5、什么是口空间？并简朴介绍粒子运动状态的经典描述。

答：为了形象的描述粒子的运动状态,用名,…,分；小…也共2r

个变量为直角坐标，构成一个2r维空间，称为H空间。粒子在

某一时刻的力学运动状态伉，…以；/不…,pj可用口空间的一个点

表达。

6、试说明应用经典能量均分定理求得的抱负气体的内能和热容

量中哪些结论与实验不符（至少例举三项）。

答：第一、原子内的电子对气体的热容量为什么没有奉献；第

二、双原子分子的振动在常温范围内为什么对热容量没有奉

献；第三、低温下氢的热容量所得结果与实验不符。这些结果

都要用量子理论才干解释。

7、写出玻耳兹曼关系，并据此给出燧函数的记录意义。

答：玻耳兹曼关系：S=klnQ

嫡函数的记录意义：微观态数的多少反映系统有序限度的

高低。微观态数增长就是有序限度的减少或是混乱限度增长，

相应地烯增长；反之，微观态数减少就是有序限度的增长或混

乱度减少，相应地烯减少。“烯是度量系统有序限度的量''有了

明拟定量意义。

8、简述开系、闭系以及孤立系的定义。

答：热力学研究的对象是由大量微观粒子(分子或其它粒

子)组成的宏观物质系统。与系统发生互相作用的其它物体成

为外界。根据系统与外界互相作用的情况，可以作以下区分：

与其它物体既没有物质互换也没有能量互换的系统称为孤立

系；与外界有能量互换，但没有物质互换的系统称为闭系；与

外界极有能量互换，又有物质互换的系统称为开系。

9、判断孤立系统是否处在平衡态的基本原则以及燧判据。

答：基本原则：可以设想系统围绕该状态发生各种也许的

虚变动，而比较由此引起热力学函数的变化，根据热力学函数

处在平衡态时的性质来判断系统的状态。

燧判据：孤立系统中发生的任何宏观过程，都朝着使系统的爆

增长的方向进行。假如孤立系统已经达成了燧为极大的状态，

就不也许再发生任何宏观的变化，系统就达成了平衡态。

因此孤立系统/处在稳定平衡状态的必要和充足条件为：

△5=(^+-(J25<0O

_______2-

10、写出烯判据的内容。

答：孤立系统的燧永不减少，过程进行时嫡增长，直到炳达

成最大值，系统处在平衡态。

11、试写出热力学第二定律的克氏表述和开氏表述内容.

答：克劳修斯表述：不也许把热量从低温物体传到高温物体

而不引起其他变化。

开尔文表述：不也许从单一热源吸取热量使之完全变为有

用功而不引起其他变化。

12、写出等概率原理的内容。

答：处在平衡态的孤立系统，各个也许的微观状态出现的概

率是相等的。

13、热力学第二定律的两种表述及其数学表达式。

答：（开尔文表述）不也许制造出这样一种循环工作的热机，

它只使单一热源冷却来做功，而不放出热量给其他物体，或

者说不是外界发生任何变化。

（克劳修斯表述）不也许把热量从低温物体自动传到高温物体

而不引起外界的变化。用数学式表达为：dUWTdS+dW。

14、简述等概率原理

答：对于处在平衡状态的孤立系统，系统各个也许的微观状态

出现的概率是相等的。该原理是记录物理中一个基本的假设。

15、什么是能量均分定理？

答：对于处在温度为T的平衡状态的经典系统，粒子能量中的

每一个平方项的平均值等于儿丁。这是根据经典玻耳兹曼分布

..............=

导出的一个重要定理。

16、什么是微观粒子的全同性原理？

答：该原理指出，全同粒子是不可分辨的，在具有多个全同粒

子的系统中，将任何两个全同粒子加以对换，不改变整个系统

的微观运动状态。

17、写出玻耳兹曼系统、玻色系统、费米系统这三个系统分布

｛ai｝的表达式

答：三个系统的分布｛④｝的表达式分别为：

玻耳兹曼系统：0=0­网；玻色系统：费米系统：

i_1

例

18、简述卡诺定理的内容。

答：卡诺定理指出：所有工作于同样高温热源和低温热源的卡

诺机，以可逆的卡诺机的效率为最大，〃可任。

19、吉布斯函数的定义及其物理意义

答：吉布斯函数定义为：G=U-TS+PVO

吉布斯函数是一个态函数，它的变化可以用可逆的等温，等压过

程中的除体积功以外的功来量度。

20、记录物理基本假设是什么？

答：记录物理基本假设是就是等概率原理，即孤立系统平衡态时

各种也许的微观态出现的概率均等。

21、简述热力学平衡态

答：孤立系统，不管其初态如何复杂，通过足够长的时间后，

将会达成各种宏观性质长时间内不随时间变化的状态，这样的

状态叫热力学平衡态。

22、叙述自由能的定义及其物理意义

答：自由能的定义/nU-TS。

自由能是个态函数，它的变化可以用可逆等温过程中的功来量

度。

23、简述等概率原理的基本内容

答：孤立系统处在平衡态时，所有也许出现的微观态的概率均

相等。

24、玻耳兹曼关系及其物理意义

S=ZlnO,系统愈趋于平衡态，微观态数愈多，燧越大，因此炳

是混乱度的量度。

25、写出热力学第二定律的开尔文表述内容。有人运用地球表

面和地球内部温度不同，做一个热机来发电，称地热发电，把

地球内部能量边为有用的电能，这是否违反热力学第二定律。

答：开尔文表述：不也许从单一热源吸取热量使之完全变为有

用功而不引起其他变化。由于地球表面和地球内部的温度不

同，不是单一热源，所以不违反热力学第二定律

26、简述玻耳兹曼系统、玻色系统和费米系统有什么区别和联

系？

区别：由费米子组成的系统称为费米系统，遵从泡利不相容原

理；由玻色子组成的系统称为玻色系统，不受泡利不相容原

理的约束；把可分辨的全同近独立粒子组成，且处在一个个

体量子态上的粒子数不受限制的系统称为玻耳兹曼系统。

联系：在满足经典极限条件/>>1时、玻色（费米）系统中的

近独立粒子在平衡态遵从玻耳兹曼分布。

27、经典能量均分定理的内容是什么？举出不满足经典能量均

分定理的三种情形。

对于处在温度为T的平衡状态的经典系统，粒子能量中每一个

平方项的平均值等于，c

2

（1）原子内的电子对气体的热容量没有奉献。（2）双原子

分子的振动在常温范围内对热容量没有奉献。（3）低温下

氢的热容量所得结果与实验不符。

28、为什么在炳和体积不变的情况下，平衡态的内能最小？

由热力学第二定律有：dU<TdS-pdV

可得：当S、V不变时，即dS=O,dV=Oo

所以，dU<0

由此可见，在系统由非平衡态趋向平衡态的过程中，系统

的内能一直在减少ciU<0o

当系统达成平衡时，dU=O,内能取极小值。

29、什么是焙增长原理？

答：绝热过程中系统的燧永不减少。对于可逆绝热过程，系统

的熠不变。对不可逆绝热过程，系统的端增长。或孤立系统的

端永不减少，这个结论叫做燧增长原理。

二、计算题

1、已知粒子遵从经典玻耳兹曼分布分布，其能量表达式为：

£=《（冠+P*⑻+/+以，其中“，是粒子常量，求粒子的平均能

JS-

单，0

解：应用能量均分定理求粒子的平均能量时，需要注意所给能

量表达式£中一和公两项都是.”的函数，不能直接将能量均分

定理应用于M项而得出U=97的结论，要通过配方将£表达为

2

在上式中，仅第四项是1的函数，又是平方项。由能量均分定理

知

=*位+〃；+〃：)

2、系统由N个无互相作用的线性谐振子组成.

a）若其能量表达式为:

P1.->

£=J-^x-v—kx~

7.tn2

时，求系统的内能；

b）若其能量表达式为：£“=（〃+》方包〃=0,1,2…时，求系统的内

能。解：a）由能均分定理U=NkT

1\..-cInZ,

b)U=NE,£=---------!

一3"”、《〃伊""=「非"

InZ,

1.N1ia)

Urr=-Nxhz①+F------

2-1

讨论：高温极限和低温极限。

3、试求双原子分子抱负气体的振动熠。

解：双原子分子抱负气体的振动配分函数：

z;=£/+9=苫/(I-y)

n=0

lnZ：=_^^_ln(l_e5a)

2

S'A^lnZ；-%InZ：)=Nk用//匕一爪曰

引入—o/Z,得：S=N*)HkMJn(l-i)

三、证明题

1、试证明一个均匀物体在准静态等压过程中焙随体积的增减取

决干等压下温度随体积的增减。

证明：等压过程中燧随体积的变化率为：保［温度随体积的

dT\

变化率为:记

方法一：由雅可比行列式可得:

dS}3(S,尸)3(S,P)0(尸)_/SS)包、

。(1)

由G=(当H乳可得:韵专(2)

将⑵式代入（1）式可得：（乎］=当舁］证毕

）pT）p

由于：Q>0,T>0,所以：（①］的增减取决于（二］的增减。

\dv）P

方法二：由S=S（P,v）=s［p,T（P,V）］可得：

（dSyJas）（叫_Cp（dT\

lavjp=（而一庙”=亦（而人

2、试证明，对于二维自由粒子，在长度万内，在£到£+的的

能量范围内，量子态数

为D⑻de=2%mds。

证明：对于二维自由粒子，在〃体积元奴仆以血内的量子态数

为：-^dxdydpxdpy,

用极坐标描述时，二维动量空间的体积元为pdpd”在面积5=尸

内，动量大小在〃到P+d〃范围内，动量方向在0到0+加范围内，

二维自由粒子的也许状态数为：的

dn=^-dPdP=-4PdP&p（S—面积）

h2xvh2

因£=g只与「有关QP〉0），故对。积分可得：

2m

入四=绊=第（为，，〃=邛*必畔,（s=C）

2PdP2

hh［2m）/Jh2

3、证明：（黑）7=7（空）y，（独）75要小并由此导出：

dVOT-opdT2

证明：乳T乳......................⑴

认为7"状态参量，将上式求对V的偏导数，有

(也］"(卫发〕.........⑵

2

(dV)T［dVoT)［dTdV)［dT)v

其中，第二步互换了偏导数的求导顺序，第三步应用了麦氏关

系，由抱负气体的物态方程pV=〃R7知，在V不变时，〃是r的

线性函数，即仅=0,所以(字］=0。这意味着，抱负气体的

定容热容量只是温度7的函数。在恒定温度下将式⑵积分，得

同理式(2.2.8)给

以认为r,〃状态参量，将上式再求对〃的偏导数，有

其中，第二步互换了偏导数的求导顺序，第三步应用了麦氏关

系，由抱负气体的物态方程”=，次丁知，在〃不变时，V是7的线

性函数，即=0,所以［独］=0o这意味着，抱负气体的定

容热容量只是温度T的函数。在恒定温度下将式⑵积分，得

C=C^T\Pdp

PoT2

4、气柱的高度为H,处在重力场中，试证明此气柱的内能和热

、mgH/

容量为U=UO+NkT--,「=6+m―刈〃叫)飞__1_L

(/%7)(丁啖.1尸流

证明：假设气体是单原子分子抱负气体。重力场中分子的能量

为：

£=5(〃；+〃；+〃；)+.,粒子的配分函数为:

乙，，I

4£嗅出2mdQdzdPxdPHPz

卜贽%Ji%彳贽%人康……)

其中］。山是气柱的截面积。气柱的内能为:

NmgH

U=-N—\nZ.=-NkT+NkT一一野要=U°+NkT-

郎2(r％J)(个"一1)

式中Uo=刎7

、mgH/

气体的热容量为C”黑七—等f亲

5、试求绝对零度下金属电子气体中电子的平均速率口

解：由外若可得7=°K时电子的分布。

f=1，€<M0)=£)

/=0,£>£f

%=*其中%是费米能级，尸尸是费米动量。

2m

由于在体积V内，动量大小在P-P+"范围内的量子态数为:

旨x2xFdP,考虑到电子自旋在动量方向的投影有两个也

许值。

殍「PP2dpIP；鼻

因此，动量的平均值为:八工±_____=4^=2

8亚『6加4

h3°3

由：9=而可得，平均速率为：万=也

四、推论题

1、设系统具有两种粒子，其粒子数分别为N和少一粒子间的

互相作用很弱，可看作是近独立的。假设粒子可分辨，处在一

个个体量子态的粒子数不受限制。试证明，在平衡态下两种粒

子的最概然分布分别为：%=叫厂-%和W。其中匕和

/是两种粒子的能级，助和/是能级简并度。

解：粒子A能级，粒子数分布：Q——{〃/}——简并度切

粒子B能级，粒子数分布：£；——{〃/}——简并度幼’

体系两种粒子分布要满足的条件为：

£%=N,X。向+ZOE

II//

分布M},相应的微观状态数为

5偎。嫁

I

分布E},相应的微观状态数为

5M

I

则系统的微观态数为C=C-Q2

上式表白：当第一类粒子的分布为｛〃/｝,而同时第二类粒子的分

布为｛〃/｝时系统的微观态数。

在平衡下两种粒子的最可几分布是相应于在限制条件=N,

i

=Mz。声I+=E下使InC=lnC[为极大的分布。运

///

用斯特林公式可得：

r

InQ=InQ2=NinN-工卬In由+工4Inq+N'lnNIna]Inco\

iiii

由blnQ1.%=（），得

JinQj-Q2=—In为卜;=0

而由限制条件可得：

ZM=o,ZM=O

IiII

引入拉氏不定乘子a