山东省烟台市2024-2025学年高一下学期期中学业水平诊断试题 数学 含解析VIP

2024～2025学年度第二学期期中学业水平诊断高一数学注意事项：1.本试题满分150分，考试时间为120分钟.2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上.3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰；超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知复数z满足，则z的虚部为（）A. B. C. D.【答案】B【详解】设，由，得，所以，即，解得所以，所以复数的虚部为.故选：B.2.若，则（）A. B. C. D.【答案】B【详解】由，因为，所以上式，故选：B.3.在平面直角坐标系中，已知，则向量在上的投影向量为（）A. B.C. D.【答案】C【详解】由已知得：根据在投影向量公式可得：，故选：C.4.在中，，M是AN上一点，且，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】D【详解】因为三点共线，设，又因为，可得，因为，可得，可得.故选：D.5.斜拉桥（如图1）是我国常见的桥型之一，是由许多斜拉索直接连接到主塔吊起桥面形成的一种桥梁.已知主塔AB垂直于桥面，斜拉索AD，AC与桥面所成角（如图2），主塔AB的高度为h，则间的距离为（）A. B.C. D.【答案】A【详解】在中，，在中，，所以，故选：A．6.若函数在上的最小值为，则t的最大值为（）A. B. C. D.【答案】D【详解】由，可得，因为，要使得上最小值为，则满足，解得，所以，所以的最大值为.故选：D.7.若，则（）A. B. C. D.【答案】C【详解】由题得，所以，整理得，解得或（舍），所以，故选：C．8.的内角的对边分别为，已知，且，边上的中线相交于点P，且，则四边形的面积为（）A.1 B. C.2 D.【答案】D【详解】由，结合正弦定理边化角得：，因为，所以上式化为，再由内角和为可化为，利用三角恒等变形得：，因为，所以，即上式变形为，又因为，所以，再由余弦定理得：即，解得，可得或，因为，所以，则的面积为，因为边上的中线相交于点P，所以点P是的重心，即，，由，所以，即四边形的面积为，故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的有（）A.若向量满足且，则B.对于任意向量，都有C.对于任意向量，都有D.若向量共线，则存在实数，使得【答案】BC【详解】对于A，若，则，若，则，显然，故A错误；对于B，，因为，所以，所以，故B正确；对于C，根据向量三角不等式，，故C正确；对于D，若，则不存在实数，使得，故D错误；故选：BC．10.函数的部分图象如图所示，则（）A.函数图象关于点对称B.函数在上单调递减C.函数在上恰有6个零点D.若，在上有n个不同的解，则【答案】ABD【详解】由图象可得：，因为，由，可得，所以，再代入最高点可得：，即因为，所以，即，对于A，当时，，故A正确；对于B，当，则，满足正弦函数的递减区间，故B正确；对于C，当，则，根据正弦函数在该区间内有个零点，故C错误；对于D，当，作图分析可知;方程在上存在四个解，可知它们分别关于直线对称，即有所以有即故D正确；故选：ABD.11.已知的面积为S，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则下列说法正确的有（）A. B.若，则C.若，则 D.的最小值为【答案】ACD【详解】对于A中，由余弦定理得，因为，可得和，可得，又由正弦定理，可得，即，所以，所以A正确；对于B中，由，可得，解得，因为，所以或，所以B不正确；对于C中，由，且，可得，所以，因为，由正弦定理，可得，又由，所以的面积为，所以C正确；对于D中，由，可得可得，则，当且仅当时，即时，即，等号成立，所以D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量，且，则_________．【答案】【详解】因为，所以，解得，所以，则，故答案为：．13.已知，则_________.【答案】【详解】由，可得，因，可得，又由.故答案为：.14.如图，在四边形ABCD中，，，设.①当时，BF的长为______，②四边形BFDE面积的最大值为__________.【答案】①.②.【详解】解：由，且，所以为的中点，且为的平分线，因为，可得，所以，则，所以.由，可得，且，所以，，因为为的中点，可得，所以，因为，可得，则，当时，即时，可得的最大值为.四、解答题.本题共5小题，共7分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知复数.（1）若为纯虚数，求复数的值；（2）若为虚数且在复平面内对应的点在直线上，求的值.【答案】（1）;（2）.【小问1详解】由为纯虚数，可得，解得，此时，则.【小问2详解】由为虚数且在复平面内对应的点在直线上，则，解得或，由于为虚数，所以舍去，故则，则.16.一条东西方向河流两岸平行，河宽800m，水流的速度为向东.河南岸有一码头A，码头A正对面有一货站B（AB与河的方向垂直），B的正西方向且与B相距600m另有货站C，已知一货船匀速航行，当货船自码头A航行到货站C航程最短时，合速度为.（1）求货船航行速度的大小；（2）若货船从A出发垂直到达正对岸的货站B处，求货船到达B处所需时间.【答案】（1）（2）【小问1详解】以为坐标原点，以东向方向为轴，以垂直对岸的方向为轴建立直角坐标系如图所示.货船从码头航行到货站的最短路径要求合速度方向由指向.设货船在静水中的速度为，水流速度为4km/h向东，即,合速度为水流速度与船速的矢量和：由题意，合速度方向与向量同向，且大小为.设合速度为，则：因此，合速度为.联立方程：货船速度大小为：【小问2详解】货船要垂直到达正对岸，需使合速度的东向分量为0.设船速为，则：由（1）知船速大小为，故：合速度的北向分量为，河宽，所需时间为：17.已知函数图象的相邻两条对称轴间的距离为.（1）求的值及函数的单调递增区间；（2）将函数的图象向右平移个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）;（2）【小问1详解】由，由其图象的相邻两条对称轴间的距离为，可知最小正周期为，因为，所以，即，由，，解得，，所以函数的单调递增区间为，.【小问2详解】将函数的图象向右平移个单位长度可得，，再把各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，即，对任意的，有，此时，此时有，要使得不等式恒成立，则只需要满足，解得或，故实数的取值范围这.18.在中，内角所对的边分别为a，b，c.从下面两个条件中任选一个作答，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.①；②.（1）求角B；（2）若，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【小问1详解】选①：由，利用正弦定理边化角得：，因为，所以有，可得，因为，所以；选②：由，利用正弦定理边化角得：，因为，所以有，可得：因，所以，且；【小问2详解】若，求的取值范围.用正弦定理边化角可得：，因为，所以，即，则，所以，即，则.19.在中，.（1）求；（2）若的面积为18，的平分线与边BC交于点D，求AD的长