广东省深圳市2023-2024学年高二下学期期末调研考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省深圳市2023-2024学年高二下学期期末调研考试数学试题一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】集合，则.故选：B.2.若复数满足，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以，得到，所以，故选：C.3.已知向量为非零向量，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为，得到，所以当时，有，当时，成立，但得不出，所以“”是“”的充分不必要条件，故选：A.4.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中为真命题的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】D【解析】对于选项A，如图，在正方体中，取面为平面，直线为直线，直线为直线，显然有，但不平行，所以选项A错误，对于选项B，如图，在正方体中，取面为平面，直线为直线，面为平面，有，但，所以选项B错误，对于选项C，取面为平面，直线为直线，直线为直线，因为，显然有，但，所以选项C错误，对于选项D，因为，在内任取一点，过直线与点确定平面，则，由线面平行的性质知，又，所以，又，所以，所以选项D正确，故选：D.5.已知均为不等于1的正实数，若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，，故选：D6.从9名同学中选出4人去参加环保活动，若甲、乙两名同学至少有1名位参加，则选派方案共有（）A.56种 B.70种 C.91种 D.126种【答案】C【解析】从9名同学中选出4人去参加环保活动共有种，甲、乙两名同学都不参加共有种，若甲、乙两名同学至少有1名位参加有种，故选：C7.分别是抛物线和轴上的动点，，则的最小值为（）A.5 B. C. D.2【答案】D【解析】设抛物线的焦点为，无论在何处，PQ的最小值都是到轴的距离，所以的最小值⇔和到轴的距离之和的最小值⇔和到准线的距离之和减去最小，根据抛物线的定义问题转化为最小，显然当三点共线时最小，最小值为.故选：D8.已知，且，则的值为（）A. B. C. D.7【答案】B【解析】因为①，所以，得到，所以，又，②，联立①②得到，，所以，得到，则，故选：B.二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知互不相等的一组数据的平均数为，记为，则这组新数据与原数据相比，一定不变的量有（）A.极差 B.中位数 C.平均数 D.标准差【答案】AC【解析】设中的最大数为，最小数为，因为，显然有，所以选项A正确，新数据的平均数为，所以选项C正确，不妨取这组数据为，此时，中位数为，标准差为，则这组新数据为，此时平均数为，中位数为，标准差为，所以选项B和D错误，故选：AC.10.已知函数，则（）A.最小正周期为 B.的图象关于对称C.在区间上单调递增 D.在区间上有4个零点【答案】ABD【解析】由，的最小正周期为，故A对，，对应的函数值是最值，故B对；时，，此时t关于x单调递增，在不单调，故在区间上不单调递增，故C错；时，，此时t关于x单调递增，即t与x是一一对应，，而关于t的三角函数方程在时，恰好有4个根：，又t与x是一一对应的，所以在区间上有4个零点，故D对，故选:ABD11.已知点为圆上两动点，且，点为直线:上动点，则（）A.以为直径的圆与直线相离 B.的最大值为C.的最小值为8 D.的最小值为112【答案】ACD【解析】对于A，设的中点为，连接，则，所以，所以点在以为圆心，为半径的圆上，所以点到直线的距离的最小值为，因为，所以以为直径的圆与直线相离，所以A正确，对于B，如图，当直线与直线平行，且共线时，则为等腰三角形，此时，则，所以，所以，所以B错误，对于C，因为,所以,因为，所以，当，共线，且在之间时取等号，所以的最小值为8，所以C正确，对于D，因为，所以，所以，当，共线，且在之间时取等号，所以的最小值为112，所以D正确，故选：ACD三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为______________.【答案】【解析】设圆锥的底面圆的半径为，母线为，高为，由题有，解得，，所以，所以圆锥的体积为，故答案为：.13.已知函数，则不等式的解集为________.【答案】【解析】由可得：，所以函数是上的增函数，又由可得：函数是奇函数，则，即，解得.故答案：.14.已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与的右支交于两点，若，则的离心率为_________.【答案】【解析】令，则，在中，由余弦定理得，解得，则，令，在中，由余弦定理得，解得，所以双曲线的离心率.故答案为：四解答题:本题共9小题，共77分、解答应笃出文学说明、证明过程或演算步骤.15.设数列满足.（1）求数列的通项公式;（2）求数列的前项和.解：（1）可知上式相加得所以数列an的通项公式（2），所以所以数列的前n项和.16.在三棱锥中，平面分别是的中点，点在棱上，且.（1）求证:平面;（2）若，求平面与平面夹角的余弦值.解：（1）连接AP并延长交BD于点N，连接NC，过点M作BD的平行线交AN于点E，因为，且M，P分别是的中点，，即，又因为，所以，又因为平面，平面，所以平面；（2）取CD的中点T，连接，则，设，以T为坐标原点，分别以TB，TD，垂直于平面的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，那么，设平面的法向量为m=x,y,z，，所以，令，则，所以平面的一个法向量为，设平面与平面的夹角为，因为平面的法向量为，，所以平面与平面夹角的余弦值为17.某同学参加射击比赛，每人配发颗子弹.射击靶由内环和外环组成，若击中内环得分，击中外环得分，脱靶得分.该同学每次射击，脱靶的概率为，击中内环的概率为，击中外环的概率为，每次射击结果相互独立.只有前一发中靶，才能继续射击，否则结束比赛.（1）若已知该同学得分为分的情况下，求该同学只射击了发子弹的概率；（2）设该同学最终得分为，求的分布列和数学期望.解：（1）记事件：该同学得分为分，事件：该同学只射击了发子弹，由题知，,所以.（2）由题知可能取值为，，，，，，，，所以的分布列为.18.已知函数.（1）讨论函数的单调性;（2）当时，证明：函数有且仅有一个零点.解：（1）易知函数的定义域为0,+∞，，令，，，对称轴为，（1）当，即时，方程有两根为，，（i）时，，时，，即，时，，即，（ii）时，，时，，即，时，，即，（2）当，即时，方程的根为，此时在区间0,+∞上恒成立，当且仅当取等号，（3）当，即时，在区间0,+∞上恒成立，综上所述，当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，时，函数的单调递增区间为0,+∞，无减区间.（2）由（1）知当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，当时，，又，又，所以，，则，，得到，而时，，由零点存在性原理知时，函数有且仅有一个零点，当时，函数的单调递增区间为0,+∞，又，而时，，由零点存在性原理知时，函数有且仅有一个零点，综上，函数有且仅有一个零点.19.已知椭圆的焦距为，直线过点，且与椭圆相交于两点，是线段的中点，为坐标原点.（1）求椭圆的方程；（2）若梯形的顶点都在椭圆上，且，对角线和交于点，线段的中点分别为.(i)证明：四点共线；(ii)试探究直线与直线的交点是否为定点，若是，请求出该定点并证明；若不是，请说明理由.解：（1）由直线过点，得，联立，消得：，易知，设，则，整理得：，又因为，所以，解得，即椭圆.（2）(i)不妨设的中点为，的中点为，再设由题可知直线斜率必存在，且，以上两式相减得，即，同理，因为可得：，则