广西2025届高中毕业班4月适应性测试数学数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广西2025届高中毕业班4月适应性测试数学试卷一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由，解得，所以，因为，所以.故选：B.2.已知复数满足，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设复数，则其共轭复数，所以，则，解得.所以.故选：C.3.在公差不为0的等差数列中，若是与的等差中项，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为在公差不为0的等差数列中，是与的等差中项，所以，所以，所以，当且仅当，即，时等号成立，所以的最小值为.故选：.4.已知向量，，若，则在上的投影向量的坐标为（）A B. C. D.【答案】D【解析】由，则，解得，即，所以在上的投影向量为.故选：D.5.已知，，，则，，的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】；所以故选：B.6.某校新闻社团负责报道采访本校田径运动会，社团派出甲、乙、丙、丁四名成员到跳高、跳远、短跑三个比赛场地进行现场报道，且每个场地至少安排一人，则甲不在短跑场地的不同安排的方法数为（）A.12 B.18 C.24 D.32【答案】C【解析】当甲单独一人进行现场报道时，甲有种选择，再将乙、丙、丁分配到其他两个地方，情况数为，则此时总的情况数为；当甲与人组队进项现场报道时，先从乙、丙、丁中选出一人与甲组队，则情况数为，再在跳高、跳远选一个去进行现场报道，则情况数为，最后剩下的两人安排去其他两个地方，则情况数为，所以此时总的情况数为；综上，符合题意的情况数为.故选：C.7.已知抛物线：的焦点为，双曲线：经过点，且双曲线与抛物线交于，两点，若为等腰直角三角形，其中为坐标原点，则双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】抛物线：的焦点为，双曲线：经过点，即点为双曲线的上顶点，可得，即.双曲线与抛物线交于，两点，且为等腰直角三角形，设点，代入抛物线方程，得.将点代入双曲线方程，，化简得.则，所以渐近线方程为.故选：C.8.如图，在棱长为的正方体中，点是平面内的一个动点，当时，点的轨迹长度是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设平面，连接，，，，因为，，所以三棱锥为正三棱锥，因为平面，平面，所以，因为，，所以平面，又平面，所以，同理可证，又，平面，所以平面，则为正三角形的中心，则，所以，因为，所以，因为平面，平面，所以，即，，因为，即，因为，解得，所以点的轨迹是半径为的圆，所以点的轨迹长度是.故选：.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.某超市在两周内的车厘子每日促销量如下图，根据此折线图，下面结论正确的有（）A.这两周的日促销量低于200盒的比例低于50%B.这两周的日促销量的众数是214C.这两周的日促销量的极差是195D.这两周的日促销量的第30百分位数是155【答案】BC【解析】对于A，日促销量低于200盒的有：80,83,138,155,157,165,179共7个，所以日促销量低于200盒的比例为50%，A不正确；对于B，由图中数据可知众数是214，B正确；对于C，由图中数据可知极差是,C正确；对于D，由知，日促销量的第30百分位数是从小到大排列的第5个数据，即157，D不正确.故选：BC10.在平面直角坐标系中，曲线上任意一点到点的距离等于1，若直线与曲线交于不同的两点，，则（）A.当时， B.线段中点轨迹长度为C.的取值范围为 D.【答案】ABD【解析】由题意，曲线为圆，如图：对于选项A，圆的圆心坐标为，半径为，若直线，圆心C到直线的距离为，则，故A正确；对于选项B，如图线段中点M满足，所以M的轨迹是以OC为直径的圆圆C内部部分，所以线段中点的轨迹长度为，故B正确；对于选项C，，因为点A，B不重合，所以，故C错误；对于选项D，，故D正确.故选：ABD11.已知首项为1的正项数列满足，若数列前项和为，且，则下列结论正确的有（）A.是等差数列 B.C. D.【答案】ACD【解析】对于A，因为，所以，即等差数列，A正确；对于B，设的公差为，则，即，，所以，因为，所以，解得，所以，，B不正确；对于C，由B可知，C正确；对于D，令，则，即为增函数，所以，即，所以，又，所以，D正确.故选：ACD三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，则圆锥的体积为______.【答案】【解析】设圆锥的底面半径为，母线为，高为，因为圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，所以，，，则，则这个圆锥的体积为.故答案为：.13.已知函数，若函数为偶函数，则的最大负值是______.【答案】【解析】由，则，由函数为偶函数，则轴为该函数图象的对称轴，即，，化简可得，，当时，取得最大负值为.故答案为：14.设函数，若有两个极值点，，且，则的最小值是______.【答案】【解析】定义域为，，有两个极值点等价于在上有两个不等实根，，，，，；设，则，在上单调递减，，即，的最小值为.故答案为：四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知的内角，，的对边分别为，，.已知.（1）求角；（2）若，，求边.解：（1）由，根据正弦定理，则，由，则，化简可得，易知，则，解得.（2）由，化简可得，解得，由余弦定理可得，解得.16.如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，，，为线段的中点.（1）证明：直线平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.（1）证明：连接BD交AC于点H，连接HE.因为四边形ABCD是正方形，根据正方形对角线性质，可知H是BD的中点.又因为E为线段PD的中点，在△PBD中，可得.由于平面ACE，平面ACE，所以直线平面ACE.（2）解：因为底面ABCD是边长为2的正方形，所以AB⊥AD.又因为AB⊥PD，AD∩PD=D，且AD、PD⊂平面PAD，所以AB⊥平面PAD.在平面PAD内作Ax⊥AP，分别以Ax，AP，AB为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系A−xyz.又底面ABCD为边长为2的正方形，，则，，；；设平面PAC的一个法向量为，则，即，令，得，设直线AE与平面PAC所成角为θ，，即直线AE与平面PAC所成角正弦值为.17.已知函数.（1）当时，求函数的单调区间；（2）对任意的，当时，都有，求实数的取值范围.解：（1）函数定义域为，.当时，由得，由得.此时函数的增区间为，减区间为.综上所述，当时，函数的增区间为，减区间为.（2）由，化简为，即.令，因为，则，所以函数在上单调递增，故在上恒成立，即在上恒成立，设，，在单调递增，所以.综上所述，实数的取值范围为.18.已知点和直线：，点到的距离，记点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）过点作斜率不为0的直线与曲线交于，不同的两点，再过点作直线的平行线与曲线交于不同的两点，.①证明：为定值；②求面积的取值范围.解：（1）设，由题意，，整理可得.（2）设直线方程为，则直线的方程为.联立，得，可得.设，则.联立，得，，设，则.①证明：因为，所以，故为定值.②因为的面积,,.设，则.由对勾函数的性质可得，所以.19.我国广西某自然保护区分布着国家一级保护动物白头叶猴，为了研究空气质量与白头叶猴分布数量的相关性，将该保护区分为面积大小相近的多个区域，用简单随机抽样的方法抽取其中20个区域进行编号，统计抽取到每个区域的某空气指标和区域内白头叶猴分布的数量，得到数组.已知，，.（1）求样本的相关系数；（2）假设白头叶猴的寿命为随机变量（可取任意正整数）.研究人员统计大量数据后发