2026版步步高大一轮数学江苏基础第六章§6.4数列中的构造问题（含答案或解析）

§6.4数列中的构造问题重点解读数列中的构造问题是历年高考的一个热点内容，主、客观题均可出现，一般通过构造新的数列求数列的通项公式.题型一待定系数法命题点1an+1＝pan+q(p≠0，1；q≠0)例1已知数列{an}中，a1＝5且an+1＝4an+6，则an＝.命题点2an+1＝pan+qn+c(p≠0，1；q≠0)例2已知数列{an}满足a1＝2，an+1＝2an－n+1，Sn为数列{an}的前n项和，则S8＝.命题点3an+1＝pan+qn(p≠0，1；q≠0，1)例3(2024·衡阳模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝an+1－2n+1，a1＝2，则an＝.思维升华形式构造方法an+1＝pan+q引入参数c，构造新的等比数列{an－c}an+1＝pan+qn+c引入参数x，y，构造新的等比数列{an+xn+y}an+1＝pan+qn两边同除以qn+1，构造新的数列a跟踪训练1(多选)已知数列{an}，下列结论正确的有()A.若a1＝2，2(n+1)an－nan+1＝0，则an＝n·2nB.在数列{an}中，a1＝1，且an＝2an－1+3(n≥2，且n∈N*)，则数列{an}的通项公式为an＝2n+1－3C.若a1＝2，an＝13an－1+13n(n≥D.已知数列{an}满足a1＝1，an+1＝2an+n－1，则数列{an}的通项公式为an＝2n－n+1题型二取倒数法和取对数法命题点1取倒数法例4已知数列{an}中，a1＝1，an+1＝anan+3(n∈N*)，则a命题点2取对数法例5(2025·岳阳模拟)已知数列{an}满足a1＝10，an+1＝10an2，则an＝思维升华(1)形如an+1＝tansan+r的递推公式，两边同时取倒数转化为1an+1＝rt·1an+st(2)形如an+1＝panq的递推公式，两边同取以p为底的对数，得logpan+1＝qlogpan+1，将logpan看成整体，运用待定系数法求得logpan的表达式，再得出a跟踪训练2(1)在数列{bn}中，b1＝－1，bn+1＝bn3bn+2，则数列{bn}的通项公式(2)设数列{an}满足a1＝10，an>0，且an＝an−12(n≥2)，则an

答案精析例17×4n－1－2解析因为an+1＝4an+6，所以an+1+2＝4an+8＝4(an+2)，又因为a1+2＝5+2＝7≠0，所以an+1所以数列{an+2}是以7为首项，4为公比的等比数列，所以an+2＝7×4n－1⇒an＝7×4n－1－2.例2291解析设an+1+λ(n+1)+u＝2(an+λn+u)，所以an+1＝2an+λn+u－λ，又an+1＝2an－n+1，所以λ＝−1,所以an+1－(n+1)＝2(an－n)，又a1－1＝1，因此数列{an－n}是以1为首项，2为公比的等比数列，故an－n＝2n－1，因此an＝n+2n－1，所以S8＝(1+2+…+8)+(20+21+…+27)＝8+20×例3(n+1)2n－1解析因为Sn＝an+1－2n+1，Sn－1＝an－2n(n≥2)，两式相减得Sn－Sn－1＝(an+1－2n+1)－(an－2n)，即an+1＝2an+2n.两边同除以2n+1可得an+12n+1又S1＝a2－22＝2，得a2＝6，满足a2所以数列an2n是首项为公差为12故an2n即an＝(n+1)2n－1.跟踪训练1AB[∵2(n+1)an－nan+1＝0，∴an∴ann是首项为a公比为2的等比数列，∴ann＝2·2n－1，∴an＝n·2n，故由an＝2an－1+3(n≥2)，得an+3＝2(an－1+3)，即an+3又a1+3＝1+3＝4，∴数列{an+3}是首项为4，公比为2的等比数列，∴an+3＝4×2n－1，即an＝2n+1－3，∴数列{an}的通项公式为an＝2n+1－3，故B正确；根据题意，an＝13an－1+⇔an13n－a又a113＝6，∴a公差为1的等差数列，故C错误；设an+1+k(n+1)+b＝2(an+kn+b)，∴an+1＝2an+kn+b－k，由an+1＝2an+n－1，得k＝1,∴an+1即{an+n}是首项为a1+1＝2，公比为2的等比数列.∴an+n＝2×2n－1＝2n，故an＝2n－n，故D错误.]例42解析因为an+1＝anan+3(n所以1an设1an+1+t所以3t－t＝1，解得t＝12所以1an+1+1又1a1+12所以数列1an+12是以32为首项，3为公比的等比数列，所以1an+12＝32例510解析由an+1＝10an2可得anlgan+1＝lg(10an2)＝2lgan故lgan+1+1＝2(lgan+1)，又lga1+1＝2，故数列{lgan+1}是首项为2，公比为2的等比数列，则lgan+1＝2n，故an＝102跟踪训练2(1)1解析bn+1＝bn得1bn+1＝因此1bn+1又1b1故1bn+3是以2则1bn+3＝2·2n－1＝2可得bn＝12(2)10解析∵an>0，且an＝an两边取对数有lgan＝lgan−12＝2lga∴lganlgan−1∴数列{lgan}是以lga1＝1为首项，2为公比的等比数列，∴lgan＝2n－1，∴an＝102

6.4数列中的构造问题重点解读数列中的构造问题是历年高考的一个热点内容，主、客观题均可出现，一般通过构造新的数列求数列的通项公式.题型一待定系数法命题点1an+1=pan+q(p≠0，1；q≠0)例1已知数列{an}中，a1=5且an+1=4an+6，则an=.

答案7×4n-1-2解析因为an+1=4an+6，所以an+1+2=4an+8=4(an+2)，又因为a1+2=5+2=7≠0，所以an+1所以数列{an+2}是以7为首项，4为公比的等比数列，所以an+2=7×4n-1⇒an=7×4n-1-2.命题点2an+1=pan+qn+c(p≠0，1；q≠0)例2已知数列{an}满足a1=2，an+1=2an-n+1，Sn为数列{an}的前n项和，则S8=.

答案291解析设an+1+λ(n+1)+u=2(an+λn+u)，所以an+1=2an+λn+u-λ，又an+1=2an-n+1，所以λ=−1,u所以an+1-(n+1)=2(an-n)，又a1-1=1，因此数列{an-n}是以1为首项，2为公比的等比数列，故an-n=2n-1，因此an=n+2n-1，所以S8=(1+2+…+8)+(20+21+…+27)=8×(1+8)2命题点3an+1=pan+qn(p≠0，1；q≠0，1)例3(2024·衡阳模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=an+1-2n+1，a1=2，则an=.

答案(n+1)2n-1解析因为Sn=an+1-2n+1，Sn-1=an-2n(n≥2)，两式相减得Sn-Sn-1=(an+1-2n+1)-(an-2n)，即an+1=2an+2n.两边同除以2n+1可得an+12n+1-an2又S1=a2-22=2，得a2=6，满足a222-a所以数列an2n是首项为a12=1，公差为12的等差数列，故即an=(n+1)2n-1.思维升华形式构造方法an+1=pan+q引入参数c，构造新的等比数列{an-c}an+1=pan+qn+c引入参数x，y，构造新的等比数列{an+xn+y}an+1=pan+qn两边同除以qn+1，构造新的数列a跟踪训练1(多选)已知数列{an}，下列结论正确的有()A.若a1=2，2(n+1)an-nan+1=0，则an=n·2nB.在数列{an}中，a1=1，且an=2an-1+3(n≥2，且n∈N*)，则数列{an}的通项公式为an=2n+1-3C.若a1=2，an=13an-1+13n(n≥D.已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+n-1，则数列{an}的通项公式为an=2n-n+1答案AB解析∵2(n+1)an-nan+1=0，∴an+1n∴ann是首项为a11∴ann=2·2n-1，∴an=n·2n，故由an=2an-1+3(n≥2)，得an+3=2(an-1+3)，即an+3又a1+3=1+3=4，∴数列{an+3}是首项为4，公比为2的等比数列，∴an+3=4×2n-1，即an=2n+1-3，∴数列{an}的通项公式为an=2n+1-3，故B正确；根据题意，an=13an-1+⇔an13n-an−1又a113=6，∴an13n设an+1+k(n+1)+b=2(an+kn+b)，∴an+1=2an+kn+b-k，由an+1=2an+n-1，得k=1,b∴an+1即{an+n}是首项为a1+1=2，公比为2的等比数列.∴an+n=2×2n-1=2n，故an=2n-n，故D错误.题型二取倒数法和取对数法命题点1取倒数法例4已知数列{an}中，a1=1，an+1=anan+3(n∈N*)，则an答案2解析因为an+1=anan+3(n所以1an+1=设1an+1+t所以3t-t=1，解得t=12所以1an+1+1又1a1+12=1+1所以数列1an+12是以32为首项，3为公比的等比数列，所以1an+12所以an=23命题点2取对数法例5(2025·岳阳模拟)已知数列{an}满足a1=10，an+1=10an2，则an=答案10解析由an+1=10an2可得anlgan+1=lg(10an2)=2lgan故lgan+1+1=2(lgan+1)，又lga1+1=2，故数列{lgan+1}是首项为2，公比为2的等比数列，则lgan+1=2n，故an=102思维升华(1)形如an+1=tansan+r的递推公式，两边同时取倒数转化为1an+1=rt·1an+st的形式，化归为b(2)形如an+1=panq的递推公式，两边同取以p为底的对数，得logpan+1=qlogpan+1，将logpan看成整体，运用待定系数法求得logpan的表达式，再得出a跟踪训练2(1)在数列{bn}中，b1=-1，bn+1=bn3bn+2，则数列{bn}的通项公式b答案1解析bn+1=bn得1bn+1=3bn+2因此1bn+1又1b1故1bn+3是以2则1bn+3=2·2n-1=2n，可得bn=(2)设数列{an}满足a1=10，an>0，且an=an−12(n≥2)，则an=答案10解析∵an>0，且an=an两边取对数有lgan=lgan−12=2lga∴lganlgan−1∴数列{lgan}是以lga1=1为首项，2为公比的等比数列，∴lgan=2n-1，∴an=102课时精练(分值：70分)一、单项选择题(每小题5分，共20分)1.(2024·泸州模拟)已知数列{an}满足an+1=2an+2，a1=1，则此数列的通项公式为()A.an=1,B.an=1,C.an=3×2n-1-2D.an=3n-2答案C解析由an+1=2an+2，有an+1+2=2(an+2)，所以an+1+2an+2=2，又a1=1，所以数列{an+2}是以3为首项，2为公比的等比数列，所以an+2=3×2n-1，即an=3×2n-1-22.在数列{an}中，a1=1，a2=13，2anan+2=anan+1+an+1an+2，若ak=135，则A.18 B.24 C.30 D.36答案A解析由2anan+2=anan+1+an+1an+2且数列不存在为0的项，得2an+1=1所以数列1an是等差数列，且首项为1a1=1，公差为1a2-1a1=2，所以1an所以an=12由ak=12k−1=13.已知数列{an}中，a1=1，a2=2，an+1-5an+4an-1=0(n∈N*，n≥2)，则a10等于()A.49−13 B.49+23答案B解析因为当n≥2时，an+1-5an+4an-1=0，所以an+1-an=4(an-an-1)，又a1=1，a2=2，则a2-a1=1，所以{an+1-an}是以1为首项，4为公比的等比数列，所以an+1-an=4n-1，从而a10=(a10-a9)+(a9-a8)+…+(a2-a1)+a1=48+47+…+40+1=1−491−44.(2025·佛山模拟)设数列{an}的前n项之积为Tn，满足an+2Tn=1(n∈N*)，则T2024等于()A.-16132023C.14049 D.答案C解析由an+2Tn=1(n∈N*)，可得当n=1时，a1+2T1=3a1=1，即有a1=13当n≥2时，an=TnTn−1，可得2Tn化为1Tn-1即数列1Tn是首项为3，公差为可得1Tn=3+2(n-1)=2n+1，即Tn=可得T2024=12×2024+1二、多项选择题(每小题6分，共12分)5.在数列{an}中，若a1=13，an+1=aA.数列1aB.数列1an的前n项和为Tn=3C.数列{an}的通项公式为an=1D.数列{an}的最小值为1答案BC解析因为an+1=an3an+1，易知an≠0，所以1an+1=3an+1a由A知，1an=3+3(n-1)=3n，所以数列1an的前n项和为Tn=n(3+3n)由B可知1an=3n，所以an=13因为a1=13，a2=16<a1，故数列{an}的最小值不为13，故6.设首项为1的数列{an}的前n项和为Sn，若Sn+1=2Sn+n-1(n∈N*)，则下列结论正确的是()A.数列{Sn+n}为等比数列B.数列{an}的通项公式为an=2n-1-1C.数列{an+1}为等比数列D.Sn=2n-n答案AD解析∵Sn+1=2Sn+n-1，∴Sn+1+(n+1)=2(Sn+n)，又S1+1=2≠0，∴数列{Sn+n}是首项、公比都为2的等比数列，故选项A正确；∴Sn+n=2n，∴Sn=2n-n，故选项D正确；当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n-1-1，当n=1时，a1=1，不满足上式，∴an=1,n=1,2∵an+1=2,n=1,2n−1,n≥2,∴a2+1a三、填空题(每小题5分，共10分)7.若数列{an}满足a1=2，an+1=2an+2n+1，则数列{an}的通项公式为an=.

答案n·2n解析在数列{an}中，由an+1=2an+2n+1，得an+12n+1=an2而a1=2，a12于是数列an2n是首项为1因此an2n=1+(n-1)×1=n，即an=n·8.(2025·南京模拟)已知数列{an}满足a1=1，2an+1-an+anan+1=0(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为.

答案an=1解析在数列{