2026版步步高大一轮数学江苏基础一轮复习第六章§6.4数列中的构造问题

§6.4数列中的构造问题(分值：70分)一、单项选择题(每小题5分，共20分)1.(2024·泸州模拟)已知数列{an}满足an+1=2an+2，a1=1，则此数列的通项公式为()A.an=1,B.an=1,C.an=3×2n-1-2D.an=3n-22.在数列{an}中，a1=1，a2=13，2anan+2=anan+1+an+1an+2，若ak=135，则A.18 B.24 C.30 D.363.已知数列{an}中，a1=1，a2=2，an+1-5an+4an-1=0(n∈N*，n≥2)，则a10等于()A.49−13 B.49+234.(2025·佛山模拟)设数列{an}的前n项之积为Tn，满足an+2Tn=1(n∈N*)，则T2024等于()A.-16132023C.14049 D.二、多项选择题(每小题6分，共12分)5.在数列{an}中，若a1=13，an+1=aA.数列1aB.数列1an的前n项和为Tn=3C.数列{an}的通项公式为an=1D.数列{an}的最小值为16.设首项为1的数列{an}的前n项和为Sn，若Sn+1=2Sn+n-1(n∈N*)，则下列结论正确的是()A.数列{Sn+n}为等比数列B.数列{an}的通项公式为an=2n-1-1C.数列{an+1}为等比数列D.Sn=2n-n三、填空题(每小题5分，共10分)7.若数列{an}满足a1=2，an+1=2an+2n+1，则数列{an}的通项公式为an=.

8.(2025·南京模拟)已知数列{an}满足a1=1，2an+1-an+anan+1=0(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为.

四、解答题(共28分)9.(13分)(2024·绍兴模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=2，Sn=nn+2an+1，设bn=(1)求数列{bn}的前2n项和T2n；(7分)(2)求数列{an}的通项公式.(6分)10.(15分)(2025·八省联考)已知数列{an}中，a1＝3，an＋1＝3a(1)证明：数列1−1(2)求{an}的通项公式；(3)令bn＝an＋1an，证明：bn<b

答案精析1.C[由an+1＝2an+2，有an+1+2＝2(an+2)，所以an+1+2an+2＝2，又a1＝1，所以数列{an+2}是以3为首项，2为公比的等比数列，所以an+2＝3×2n－1，即an＝3×2n－1－2，2.A[由2anan+2＝anan+1+an+1an+2且数列不存在为0的项，得2a所以数列1an是等差数列，且首项为1a1＝1所以1an＝1+(n－1)×2＝2n所以an＝12由ak＝12k−1＝3.B[因为当n≥2时，an+1－5an+4an－1＝0，所以an+1－an＝4(an－an－1)，又a1＝1，a2＝2，则a2－a1＝1，所以{an+1－an}是以1为首项，4为公比的等比数列，所以an+1－an＝4n－1，从而a10＝(a10－a9)+(a9－a8)+…+(a2－a1)+a1＝48+47+…+40+1＝1−491−4+1＝4.C[由an+2Tn＝1(n∈N*)，可得当n＝1时，a1+2T1＝3a1＝1，即有a1＝13当n≥2时，an＝Tn可得2Tn+TnT化为1Tn即数列1Tn是首项为公差为2的等差数列，可得1Tn＝3+2(n－1)＝2n即Tn＝12可得T2024＝12×5.BC[因为an+1＝an3an+1，易知an≠0，所以1an+1＝3an由A知，1an＝3+3(n－1)＝3所以数列1an的前n项和为Tn＝n(3+3由B可知1an＝3n，所以an＝13因为a1＝13，a2＝16<a1，故数列{an}的最小值不为13，故D6.AD[∵Sn+1＝2Sn+n－1，∴Sn+1+(n+1)＝2(Sn+n)，又S1+1＝2≠0，∴数列{Sn+n}是首项、公比都为2的等比数列，故选项A正确；∴Sn+n＝2n，∴Sn＝2n－n，故选项D正确；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1－1，当n＝1时，a1＝1，不满足上式，∴an＝1,n＝1,∵an+1＝2,n＝1,2n−1,n≥2,∴a2+1a7.n·2n解析在数列{an}中，由an+1＝2an+2n+1，得an+12n+1而a1＝2，a12于是数列an2n公差为1的等差数列，因此an2n＝1+(n－1)×即an＝n·2n.8.an＝1解析在数列{an}中，a1＝1，2an+1－an+anan+1＝0，显然an≠0，则有1an+1＝2·即1an+1+1＝21a因此数列1an+12为公比的等比数列，所以1an+1＝2n，即an＝9.解(1)Sn＝nn+2an+1＝nn+2(Sn+1－Sn)，即(n+2)Sn＝n(Sn+1即nSn+1＝(2n+2)Sn，则nS即Sn即bn+1＝2bn，又b1＝S11＝a1故数列{bn}是以2为首项，2为公比的等比数列，则bn＝2n，所以T2n＝b1+b2+b3+…+b2n＝21+22+23+…+22n＝21(1−22n(2)由bn＝2n，即Snn＝2n，得Sn＝n·2当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n·2n－(n－1)2n－1＝(n+1)2n－1，当n＝1时，a1＝2满足上式，故an＝(n+1)2n－1.10.(1)证明∵an+1＝3a∴1a∴1－