2024-2025学年高中数学第二章圆锥曲线与方程习题课-双曲线的综合问题课后训练案巩固提升含解析新人教A版选修1-1

PAGEPAGE1习题课——双曲线的综合问题课后训练案巩固提升一、A组1.设P是双曲线x2a2-y29=1(a>0)上一点,双曲线的一条渐近线方程为3x-2y=0,F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,若|PF1|=A.1或5 B.7 C.8 D.9解析:因为双曲线x2a2-y29=1的渐近线方程为y=±3ax依据双曲线的定义||PF1|-|PF2||=4,又|PF1|=3,从而解得|PF2|=7,或|PF2|=-1(舍去).答案:B2.设F1,F2是双曲线C:x216-y2b2=1(b>0)的两个焦点,P是双曲线C上一点,若∠F1PF2=90°,且△PF1A.53 B.54 C.2 D解析:由已知得||解得b2=9,于是离心率e=16+94答案:B3.设F1,F2是双曲线x24-y2=1的左、右焦点,点P在双曲线上,当△F1PF2的面积为1时,PF1·A.0 B.1C.12 D.解析:不妨设P(xP,yP)(xP,yP>0),由12×2c×yP=1,得yP=55,∴P∴PFPF∴PF1·答案:A4.设F1,F2分别是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点P,使|OP|=|OF1|(O为坐标原点),且|PF1A.3-12 B.C.3+12 D.3解析:∵|OP|=|OF1|,|OF1|=|OF2|,∴PF1⊥PF2.设|PF2|=d,则|PF1|=3d,由PF1⊥PF2,得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,即(3d)2+d2=(2c)2,∴d=c.又点P在双曲线的右支上,∴|PF1|-|PF2|=2a,即3d-d=2a.∴双曲线的离心率e=2c2a答案:D5.已知双曲线C:x2-y24=1,过点P(1,1)作直线l,使l与C有且只有1个公共点,则满意上述条件的直线l的条数为(A.1 B.2 C.3 D.4解析:由图数形结合,可得与渐近线平行的直线l有2条,与双曲线相切的直线l有2条,所以满意条件的直线l共有4条.答案:D6.(2024安徽蚌埠高二月考)若双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)截直线x=-解析:将直线x=-1代入双曲线x2a2-y2b2=1可得y=±b1a2答案:27.直线y=x+1与双曲线x22-y23=1相交于A,解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),联立方程得y得x2-4x-8=0,有x1+x2=4,x1·x2=-8,所以|AB|=(1+k2)[(答案:468.(2024四川绵阳高二月考)若点P在双曲线x2-y29=1上,则点P到双曲线的渐近线的距离的取值范围是解析:双曲线的一条渐近线方程为3x-y=0,由渐近线的性质,知当点P是双曲线的一个顶点时,点P到渐近线的距离最大,双曲线的顶点坐标是(±1,0),所以P到渐近线的最大距离为|±3又双曲线与渐近线没有交点,所以点P到双曲线的渐近线的距离的取值范围是0,答案:09.已知动圆M与圆C1:(x+4)2+y2=2外切,与圆C2:(x-4)2+y2=2内切,求动圆圆心M的轨迹方程.解:设动圆M的半径为r,则由已知|MC1|=r+2,|MC2|=r-2(如图所示).所以|MC1|-|MC2|=22.又C1(-4,0),C2(4,0),所以|C1C2|=8.由于22<|C1C2|,依据双曲线的定义知,点M的轨迹是以C1(-4,0),C2(4,0)为焦点的双曲线的右支.因为a=2,c=4,所以b2=c2-a2=14.故点M的轨迹方程为x22-y214=10.(2024高新一中)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,(1)求双曲线C的标准方程;(2)若点P在双曲线C上,且|PF1|=2|PF2|,求△F1PF2的面积.解:(1)因为实轴长为22,所以2a=22,即a=2.又e=ca=2,所以从而b2=c2-a2=4-2=2.故双曲线C的标准方程为x22-(2)因为|PF1|=2|PF2|,所以点P在双曲线的右支上.则有|PF1|-|PF2|=2a=22,所以|PF2|=22,|PF1|=42.又|F1F2|=4,由余弦定理,得cos∠F1PF2=(2所以sin∠F1PF2=74故△F1PF2的面积为S△F1PF2=12|PF1=12×42×22×74二、B组1.已知双曲线x2m-y27=1,直线l过其左焦点F1,交双曲线左支于A,B两点,且|AB|=4,F2为双曲线的右焦点,△ABFA.8 B.9 C.16 D.20解析:由已知,|AB|+|AF2|+|BF2|=20.又|AB|=4,则|AF2|+|BF2|=16.依据双曲线的定义,2a=|AF2|-|AF1|=|BF2|-|BF1|,所以4a=|AF2|+|BF2|-(|AF1|+|BF1|)=16-4=12,即a=3,所以m=a2=9.答案:B2.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2,A,B为左、右顶点,点P为双曲线C在第一象限的随意一点,点O为坐标原点.若PA,PB,PO的斜率分别为k1,k2,k3,m=k1kA.(0,33) B.(0,3)C.0,39解析:因为e=ca=2,所以b=3a.设P(x,y则x2a2-y2b2=1,k又双曲线渐近线为y=±3x,所以0<k3<3,故0<m<33.答案:A3.在双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)中,F1,F2是两焦点,点P在双曲线上,若PF1·PF2解析:因为点P在双曲线上,且PF1所以△PF1F2是直角三角形.又因为tan∠PF1F2=2,所以|PF2|=2|PF1|.而依据双曲线的定义有|PF2|-|PF1|=2a,所以|PF2|=4a,|PF1|=2a.于是|F1F2|=25a,即2c=25a,所以c=5a.于是b=2a,故a-ba答案:-14.过双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线,交C于点P.若点P解析:双曲线x2a2-y不妨设所作直线与双曲线的渐近线y=bax平行,其方程为y=ba(x-c),代入x2a2-y2b2=1求得点P的横坐标为x=a2+c22c.由a2+c22c=2a,得ca2-答案:2+35.导学号59254027已知双曲线的中心在原点,一条渐近线方程为y=43x,右焦点为F(5,0),双曲线的左、右顶点分别为A1,A2,P为双曲线上一点(不同于A1,A2),直线A1P,A2P分别与直线l:x=95交于M,N两点(1)求双曲线的方程;(2)求证:FM·FN解:(1)由题意可设双曲线的方程为x2a2