山西省长治市2023-2024学年高一下学期7月期末考试 数学试题（含解析）

山西省长治市2023−2024学年高一下学期7月期末考试数学试题一、单选题1．设复数，则（

）A． B． C． D．2．已知的内角的对边分别为，，，且，，则（

）A． B． C． D．3．某公司共有940名员工，其中女员工有400人.为了解他们的视力状况，用分层随机抽样（按男员工、女员工进行分层）的方法从中抽取一个容量为47的样本，则男员工的样本量为（

）A．21 B．24 C．27 D．304．若某圆台的上底面半径、下底面半径分别为1，2，高为5，将该圆台的下底面半径扩大为原来的2倍，上底面半径与高保持不变，则新圆台的体积比原圆台的体积增加了（

）A．1倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍5．若非零向量，满足，，则（

）A．的最大值为 B．的最大值为1C．的最小值为 D．的最小值为16．如图，在四棱锥中，侧棱长均为，正方形的边长为，，分别是线段，上的一点，则的最小值为（

）A．2 B．4 C． D．7．从正四面体的6条棱中任选2条，这2条棱所在直线互相垂直的概率为（

）A． B． C． D．8．苏州双塔又称罗汉院双塔，位于江苏省苏州市凤凰街定慧寺巷的双塔院内，二塔“外貌”几乎完全一样（高度相等，二塔根据位置称为东塔和西塔）.某测绘小组为了测量苏州双塔的实际高度，选取了与塔底，（为东塔塔底，为西塔塔底）在同一水平面内的测量基点，并测得米.在点测得东塔顶的仰角为，在点测得西塔顶的仰角为，且，则苏州双塔的高度为（

）A．30米 B．33米 C．36米 D．44米二、多选题9．在正中，为的中点，则（

）A． B．C． D．在上的投影向量为10．若，则（

）A．B．的虚部为8C．D．在复平面内对应的点位于第二象限11．在正四棱柱中，，，则（

）A．正四棱柱的侧面积为24B．与平面所成角的正切值为C．异面直线与所成角的余弦值为D．三棱锥内切球的半径为三、填空题12．若一组数据3，4，6，，8，3，7，9的第40百分位数为6，则正整数的最小值为.13．已知向量，，，且与的夹角为锐角，则t的取值范围是（用区间表示）.14．在底面为正方形的四棱锥中，平面，，，，平面，则，四面体的外接球的表面积为.四、解答题15．已知某校初二年级有1200名学生，在一次数学测试中，该年级所有学生的数学成绩全部在内.现从该校初二年级的学生中随机抽取100名学生的数学成绩，按，，，，分成5组，得到如图所示的频率分布直方图.(1)求的值；(2)估计该校初二年级学生这次数学测试的平均分（各组数据以该组数据的中点值作代表）；(3)记这次测试数学成绩不低于85分为“优秀”，估计该校初二年级这次测试数学成绩为“优秀”的学生人数.16．如图，在各棱长均为2的正三棱柱中，，，分别为，，的中点，.(1)求点到平面的距离；(2)证明：平面平面.17．甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中，则此人继续投篮，若未命中，则换对方投篮.已知甲每次投篮的命中率均为0.7，乙每次投篮的命中率均为0.5，甲、乙每次投篮的结果相互独立.(1)若第1次投篮的人是甲，求第3次投篮的人是甲的概率；(2)若第1次投篮的人是乙，求前5次投篮中乙投篮次数不少于4的概率.18．在锐角中，，，分别是内角，，的对边，且.(1)若，求周长的最大值.(2)设，.（ⅰ）求外接圆的半径；（ⅱ）求的面积.19．如图，在正四棱锥中，.(1)证明：平面平面.(2)若以为球心，半径为的球与直线只有1个公共点，求二面角的正切值.(3)已知当时，取得最小值.请根据这条信息求正四棱锥体积的最大值.

参考答案1．【答案】A【分析】根据共轭复数的定义，结合复数的四则运算即可求解.【详解】由得，故故．故选A2．【答案】A【分析】由正弦定理计算即得.【详解】由正弦定理得,，则.故选A.3．【答案】C【分析】根据分层抽样的定义列方程求解即可.【详解】设男员工的样本量为，由分层随机抽样的定义可得，解得．故选C.4．【答案】B【分析】根据圆台体积公式即可求解.【详解】设新圆台与原圆台的体积分别为，，则，所以新圆台的体积比原圆台的体积增加了倍．故选B5．【答案】C【分析】由两边平方化简可得，再根据数量积的不等式关系，结合为非零向量，得出答案；【详解】因为，所以，则，即.又为非零向量，.所以，所以的最小值为，无最大值.故选C.6．【答案】A【分析】利用四棱锥的侧面展开图，由余弦定理求解，即可得，进而可求解.【详解】如图，将正四棱锥的侧面展开，则的最小值为，在中，，，所以，故，则.故选A7．【答案】D【分析】列举所有基本事件，根据线面垂直可得线线垂直，即可利用古典概型概率公式求解.【详解】从正四面体的6条棱中任选2条的所有情况为，，，，，，，，，，，，，，共有15种情况，取中点连接，由于均为等边三角形，所以，又平面，故平面，而平面，故，同理可得,故，，这3对棱互相垂直，其余组合对应夹角都是，所以这2条棱所在直线互相垂直的概率为．故选D.8．【答案】B【分析】根据锐角三角函数可得，，即可根据余弦定理求解.【详解】设苏州双塔的高度为h米，依题意可得米，米.因为，所以由余弦定理得，解得.故选B.9．【答案】BCD【分析】利用图形求向量夹角判断选项A；利用向量数量积的运算验证选项B；由向量的线性运算验证选项C；由投影向量的计算验证选项D.【详解】正中，为的中点，如图所示，，A错误；，则，正确．，C正确．在上的投影向量为，正确．故选BCD.10．【答案】BC【分析】根据化简复数得，即可由模长公式求解A，根据复数的乘方可得，根据虚部的概念即可求解B，根据复数的除法运算即可求解C，根据复数对应的点为即可求解D.【详解】，故，A错误.，B正确.，C正确.在复平面内对应的点位于第四象限，D错误.故选BC11．【答案】ABD【分析】由侧面积公式即可求解A，根据线面垂直可得与平面所成的角为，即可由三角形的边角关系求解B，根据线线平行可得异面直线与所成的角为或其补角，由三角形的边角关系求解C，利用等体积法即可求解D.【详解】正四棱柱的侧面积为，正确．设，由于四边形为正方形，故，又平面，平面，故，由平面，故平面，则与平面所成的角为，且，，则，B正确．在正方体中，，则异面直线与所成的角为或其补角，，则，C错误．三棱锥的表面积，三棱锥的体积，所以三棱锥内切球的半径为，D正确．故选ABD12．【答案】6【详解】剔除，将剩余7个数按照从小到大的顺序排列为3，3，4，6，7，8，9，因为，且数据3，4，6，m，8，3，7，9的第40百分位数为6，所以．故整数的最小值为6.13．【答案】【详解】因为与的夹角为锐角，故与数量积为正，且两向量不同向共线，所以，解得.14．【答案】/0.5【详解】连接交于点，连接，因为，共面，且平面，平面,平面平面，所以.由于O为的中点，所以E为的中点，所以.四面体可以补形为一个长方体，所以四面体的外接球的半径，故四面体的外接球的表面积为.15．【答案】(1)(2)73(3)180【分析】（1）根据频率分布直方图中，频率之和为1即可求解，（2）根据频率分布直方图中平均数的计算公式即可求解，（3）根据频率估计概率，即可求解人数.【详解】（1）由频率分布直方图可得，解得．（2）由题意，估计平均分分.（3）由频率分布直方图可知这次测试数学成绩为“优秀”的频率为，则该校初二年级这次测试数学成绩为“优秀”的频率为0.15，故估计该校初二年级这次测试数学成绩为“优秀”的学生人数为．16．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）利用等体积法即可求解，或者由线面垂直的判定得平面，进而由等面积法求解距离，（2）根据线线平行证明线面平行，即可由面面平行的判定求证.【详解】（1）（方法一）在正三棱柱中，侧棱垂直底面，底面，则，.依题意得，，则，所以的面积.设点B到平面的距离为h，则由，得，解得.（方法二）取的中点M，连接，.因为，所以.因为底面，底面，所以.因为，平面，所以平面.过B作于H，平面，则.因为，平面,所以平面.因为，，，所以点B到平面的距离.（2）证明：因为D，E分别为，的中点，所以.又，所以.因为平面，平面，所以平面.取的中点N，连接.因为，所以F为的中点.又D为的中点，所以.由于,故四边形为平行四边形，故，所以.因为平面，平面，所以平面.又，平面，所以平面平面.17．【答案】(1)0.64(2)0.2375【分析】（1）根据独立事件的概率乘法公式即可求解.（2）由独立事件概率乘法公式，结合分类即可求解.【详解】（1）若第1次投篮的人是甲，且第3次投篮的人是甲，则甲第1次和第2次投篮都命中或第1次未命中、第2次乙也未命中，故所求概率为．（2）前5次投篮中乙投篮次数为5的概率．若前5次投篮中乙投篮次数为4，则乙前3次投篮均命中且第4次投篮未命中或中间3次（第2，3，4次）乙有1次投篮未命中且甲也有1次投篮未命中，所以前5次投篮中乙投篮次数为4的概率是．故所求概率为．18．【答案】(1)6(2)，【分析】（1）根据余弦定理得，利用基本不等式即可求解，（2）（ⅰ）利用正弦定理边角互化可得，（ⅱ）根据正弦定理可得，进而由同角关系可得，，由和差角公式可得，即可由面积公式求解.【详解】（1）由余弦定理得，即，所以，因为，所以，则，当且仅当时，等号成立，所以周长的最大值为6.（2）（ⅰ）由正弦定理得，，代入，得，即.因为，所以.（ⅱ）的面积.因为，所以.因为是锐角，所以，则，所以.因为，所以.又因为是锐角，所以，所以，所以，则，所以故.19．【答案】(1)证明见解析(2)4(3)【分析】（1）与交于点，由正四棱锥结构特征，有，，可证平面，则有平面平面；（2）的中点为，依题意有，且为二面角的平面角，利用勾股定理求出，可求；（3）设，有，由已知得当时，正四棱锥的体积取得最大值，代入求值即可.【