四川省江油市太白中学2023-2024学年高一下学期6月月考 数学试题（含解析）

四川省江油市太白中学2023−2024学年高一下学期6月月考数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．下列几何体中为圆锥的是（

）A． B．C． D．2．已知向量，则（

）A．2 B．3 C．4 D．53．若一个球体的体积与其表面积的值相等，则该球体的半径为（

）A．1 B．2 C．3 D．4．已知向量，满足，，且，则向量，的夹角为（

）A． B． C． D．5．如图，在平行四边形中，，，则可以表示为（

）

A． B． C． D．6．已知正方体，直线与直线所成角的余弦值是（

）

A． B． C． D．7．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为3、圆心角为的扇形，则该圆锥的高是（

）A．1 B． C． D．8．的部分图象如图所示，则的图象可由的图象向（

）个单位A．右平移 B．左平移 C．右平移 D．左平移二、多选题（本大题共4小题）9．下列命题正确的是（

）A．一个棱柱至少有六个面B．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形C．棱台的各侧棱延长后交于一点D．圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线10．下列等式成立的是（

）A． B．C． D．11．在中，角的对边分别是.下面四个结论正确的是（

）A．，，则的外接圆半径是4B．若，则C．若，则一定是钝角三角形D．若，则12．已知△ABC中，角A，B．C所对的边分别是a，b，c，B=，2=，AP=则下列说法正确的是（

）A．=+ B．a+3c的最大值为C．△ABC面积的最大值为 D．a+c的最大值为2三、填空题（本大题共4小题）13．已知，则.14．已知一个三棱柱的高为3，如图是其底面用斜二测画法画出的水平放置的直观图，其中，则此三棱柱的体积是．15．已知，，则向量在向量方向上的投影向量为（用坐标表示）．16．已知三棱锥的顶点都在球的球面上，，，，，则球的表面积为．四、解答题（本大题共6小题）17．已知向量，．(1)求与的坐标；(2)求向量，的夹角的余弦值．18．在△ABC中，已知，b＝1，B＝30°．(1)求角A；(2)求△ABC的面积．19．已知函数.(1)把化为的形式，并求的最小正周期；(2)求的单调递增区间.20．如图，在正方体中，E是的中点.

(1)求证：平面；(2)设正方体的棱长为1，求三棱锥的体积．21．如图所示，在中，为边上一点，且，过的直线与直线相交于点，与直线相交于点（，两点不重合）.(1)用，表示；(2)若，，求的最小值.22．在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．问题：在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足___________．(1)求角A的大小；(2)若D为线段延长线上的一点，且，求的面积．

参考答案1．【答案】A【分析】根据圆锥的特征直接判定.【详解】由图形知，A是圆锥，B是圆台，C是圆柱，D是球.故选A.2．【答案】D【分析】根据向量坐标进行线性运算，再由模长公式即可求解.【详解】，故选D.3．【答案】C【分析】由球的体积公式、表面积公式列式即可求解.【详解】设该球体的半径为，由题意，解得.故选C.4．【答案】A【分析】根据平面向量的几何意义求得，结合数量积的定义计算即可求解.【详解】由题意知，，又，所以，又，所以，即的夹角为.故选A.5．【答案】B【分析】根据向量减法运算法则直接计算.【详解】由题意得，，因为，，所以.故选B.6．【答案】D【分析】根据线线平行得异面直线所成的角，即可由三角形边角关系求解.【详解】由于,所以即为直线与直线所成的角或其补角，不妨设正方体的棱长为，则，所以,故选D.7．【答案】C【分析】设此圆的底面半径为，高为，母线为，根据底面圆周长等于展开扇形的弧长，建立关系式解出，再根据勾股定理，即可求出此圆锥高．【详解】设此圆的底面半径为，高为，母线为，∵圆锥的侧面展开图是一个半径为，圆心角为的扇形，∴，又，解得，因此，此圆锥的高．故选C．8．【答案】A【解析】由函数图象求得，再将点代入函数的解析式可得，得到函数，将，可得选项.【详解】由函数图象可得，解得，再将点代入函数的解析式得，所以，解得，又，所以，所以，又，所以的图象向右平移个长度单位即可得到函数的图象.故选A.9．【答案】BCD【分析】根据棱柱、正棱锥，棱台、圆锥的定义或性质即可对选项一一判断.【详解】对于A项，三棱柱只有5个面，故A项错误；对于B项，因正棱锥的底面是正多边形，顶点在底面的射影是正多边形的中心，故侧棱都相等，从而每个侧面都是全等的等腰三角形，故B项正确；对于C项，因棱台即是用平行于棱锥底面的平面截得的，故各侧棱延长后交于一点，故C项正确；对于D项，根据圆锥母线的定义可知，圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线必是圆锥的母线，故D项正确.故选BCD.10．【答案】BCD【分析】A选项，逆用余弦二倍角公式进行求解；B选项，逆用正弦二倍角公式进行求解；C选项，利用辅助角公式和诱导公式求出答案；D选项，将换为，逆用正切差角公式进行求解.【详解】A选项，，A错误；B选项，，B正确；C选项，，C正确；D选项，，D正确.故选BCD.11．【答案】BCD【分析】根据正弦定理可得，即可判断A；由正弦定理即可求解BD，利用余弦定理，判断出为钝角，即可判断C.【详解】A．，，设的外接圆半径是，则，解得，故A错误；对于B，由可得，由正弦定理可得，故B正确，对于C．，则，为钝角，故一定是钝角三角形，因此C正确；对于D，由以及正弦定理可得：，，因为，故D正确；故选BCD．12．【答案】AD【分析】利用平面向量基底表示向量可判断A；利用正弦定理、余弦定理、面积定理借助三角恒等变换可计算判断B，C，D.【详解】对于A，在△ABC中，因2=，则，A正确；在△ABP中，由余弦定理得：，当且仅当时取“=”，于是得当时，，，C错误；在△ABP中，令，则，，由正弦定理得：，则，，其中锐角由确定，而，则当时，，取最大值，D正确；而，则的最大值应大于的最大值，又，即a+3c的最大值为是不正确的，B错误.故选AD.13．【答案】/【分析】直接运用二倍角余弦公式进行求解即可.【详解】因为，所以，故答案为：/.14．【答案】6【分析】首先还原底面，根据几何关系，计算底面积和体积.【详解】根据直观图的画法规则，还原三棱柱的底面，得，，且，所以底面的面积，三棱柱的高为3，所以三棱柱的体积.故答案为：6.15．【答案】【分析】利用向量的数量积定义,可得向量在向量方向上的投影向量为，代入坐标计算即得.【详解】因向量在向量方向上的投影向量为，由，可得，，故向量在向量方向上的投影向量为.故答案为：.16．【答案】【分析】由已知可知为直角三角形，平面，设球的半径为，进而利用勾股定理求出的值，即可求出球的表面积.【详解】如图，取中点，连接，，则由已知可得，为直角三角形，，因为，所以，.因为，所以为直角三角形，则，因为，所以平面.球心为上一点，设球的半径为，连接，即，则由，可知，解得，所以表面积．故答案为：.17．【答案】(1)，．(2)【分析】（1）利用平面向量线性运算的坐标表示运算；（2）利用平面向量夹角的坐标表示运算.【详解】（1），．（2），，．18．【答案】(1)A＝90°或A＝30°；(2)或．【分析】（1）由正弦定理可得，根据三角形大边对大角确定角C大小，进而可得角A；（2）根据（1）所得角A，应用三角形面积公式求△ABC的面积.【详解】（1）由得：．由且C为三角形内角，则，故或，而B＝30°，所以A＝90°或A＝30°．（2）当A＝90°时，．当A＝30°时，，所以△ABC的面积为或．19．【答案】(1)，(2)【分析】（1）先降幂，由两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数性质求解；（2）由正弦函数的单调区间可得．【详解】（1）（1），所以最小正周期为．（2）由，，解得，，所以的增区间为．20．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）先证，再用直线与平面平行的判定定理证明平面；（2）利用等体积法，求三棱锥的体积.【详解】（1）证明：因为在正方体中，，，所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面.（2）因为正方体的棱长是1，E是的中点，所以，三角形ABC的面积，三棱锥的体积.21．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据平面向量线性运算法则计算可得；（2）根据（1）的结论，转化用，表示，根据、、三点共线找出等量关系，再利用基本不等式计算可得；【详解】（1）因为，所以，化简得；（2）因为，，，所以，由图可知，又因为、、三点共线，所以，所以，当，即时，取最小值.22．【答案】(1)条件选择见解析，(2)【分析】（1）选择①：由正弦定理边化角得方程，求解即可.选择②：由正弦定理角化边得关于三边的方程，代入余弦定理可得.选择③：由正弦定理边化角，再由展开计算可得结果