福州三中高三数学试题及答案

福州三中高三数学试题及答案

一、单项选择题（每题2分，共10题）1.已知集合\(A=\{1,2,3\}\)，\(B=\{2,3,4\}\)，则\(A\capB\)等于（）A.\(\{1,2,3,4\}\)B.\(\{2,3\}\)C.\(\{1,4\}\)D.\(\varnothing\)2.函数\(y=\log_{2}(x+1)\)的定义域是（）A.\((-1,+\infty)\)B.\([-1,+\infty)\)C.\((0,+\infty)\)D.\((1,+\infty)\)3.若\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi)\)，则\(\cos\alpha\)的值为（）A.\(\frac{4}{5}\)B.\(-\frac{4}{5}\)C.\(\frac{3}{4}\)D.\(-\frac{3}{4}\)4.等差数列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{1}=1\)，\(a_{3}=5\)，则\(a_{5}\)等于（）A.\(9\)B.\(10\)C.\(11\)D.\(12\)5.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow{b}=(-2,m)\)，若\(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow{b}\)，则\(m\)的值为（）A.\(-1\)B.\(1\)C.\(-4\)D.\(4\)6.双曲线\(\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1\)的渐近线方程为（）A.\(y=\pm\frac{3}{4}x\)B.\(y=\pm\frac{4}{3}x\)C.\(y=\pm\frac{3}{5}x\)D.\(y=\pm\frac{5}{3}x\)7.若函数\(f(x)=x^{3}+ax^{2}+bx+c\)在\(x=1\)处有极值，则\(f^\prime(1)\)的值为（）A.\(0\)B.\(1\)C.\(-1\)D.\(2\)8.已知\(a=\log_{3}2\)，\(b=\log_{5}3\)，\(c=\log_{7}4\)，则\(a\)，\(b\)，\(c\)的大小关系为（）A.\(a\ltb\ltc\)B.\(a\ltc\ltb\)C.\(c\lta\ltb\)D.\(c\ltb\lta\)9.直线\(3x+4y-5=0\)与圆\(x^{2}+y^{2}=1\)的位置关系是（）A.相交B.相切C.相离D.无法确定10.已知\(x\)，\(y\)满足约束条件\(\begin{cases}x+y\geqslant1\\x-y\leqslant1\\y\leqslant1\end{cases}\)，则\(z=2x+y\)的最大值为（）A.\(3\)B.\(4\)C.\(5\)D.\(6\)二、多项选择题（每题2分，共10题）1.下列函数中，是偶函数的有（）A.\(y=x^{2}\)B.\(y=\cosx\)C.\(y=\sinx\)D.\(y=|x|\)2.一个正方体的棱长为\(2\)，则下列说法正确的是（）A.正方体的表面积为\(24\)B.正方体的体积为\(8\)C.正方体的外接球直径为\(2\sqrt{3}\)D.正方体的内切球半径为\(1\)3.已知复数\(z=a+bi\)（\(a,b\inR\)），则下列说法正确的是（）A.若\(z=1+2i\)，则\(a=1\)，\(b=2\)B.若\(z\)为实数，则\(b=0\)C.若\(z\)为纯虚数，则\(a=0\)且\(b\neq0\)D.\(|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\)4.下列关于椭圆的说法正确的是（）A.椭圆\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\)（\(a\gtb\gt0\)）的长轴长为\(2a\)B.椭圆\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\)（\(a\gtb\gt0\)）的离心率\(e=\frac{c}{a}\)（\(c^{2}=a^{2}-b^{2}\)）C.椭圆\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\)（\(a\gtb\gt0\)）的焦点在\(x\)轴上D.椭圆\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\)（\(a\gtb\gt0\)）与\(\frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{b^{2}}=1\)（\(a\gtb\gt0\)）的形状相同5.以下哪些是基本不等式的应用（）A.求\(y=x+\frac{1}{x}\)（\(x\gt0\)）的最小值B.已知\(a+b=1\)，求\(ab\)的最大值C.求\(y=\sinx+\frac{4}{\sinx}\)（\(0\ltx\lt\pi\)）的最小值D.已知\(x+y=2\)，求\(x^{2}+y^{2}\)的最小值6.已知函数\(y=A\sin(\omegax+\varphi)\)（\(A\gt0\)，\(\omega\gt0\)）的部分图象，则下列说法正确的是（）A.\(A\)是振幅B.\(\omega\)决定周期\(T=\frac{2\pi}{\omega}\)C.\(\varphi\)是初相D.由图象可确定\(A\)、\(\omega\)、\(\varphi\)的值7.关于直线的斜率，下列说法正确的是（）A.直线的斜率\(k=\tan\alpha\)（\(\alpha\)为倾斜角）B.倾斜角\(\alpha=90^{\circ}\)时，直线斜率不存在C.若直线过\(A(x_{1},y_{1})\)，\(B(x_{2},y_{2})\)，则斜率\(k=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\)（\(x_{1}\neqx_{2}\)）D.斜率相等的两条直线一定平行8.已知\(\{a_{n}\}\)是等比数列，公比为\(q\)，则下列说法正确的是（）A.若\(q\gt1\)，则\(\{a_{n}\}\)是递增数列B.若\(a_{1}\gt0\)，\(0\ltq\lt1\)，则\(\{a_{n}\}\)是递减数列C.\(a_{n}=a_{1}q^{n-1}\)D.\(S_{n}=\frac{a_{1}(1-q^{n})}{1-q}\)（\(q\neq1\)）9.已知\(f(x)\)是定义在\(R\)上的函数，且满足\(f(x+2)=-f(x)\)，则下列说法正确的是（）A.\(f(x)\)的周期为\(4\)B.\(f(x)\)是奇函数C.\(f(2)=-f(0)\)D.\(f(x+4)=f(x)\)10.已知空间向量\(\overrightarrow{a}=(1,0,1)\)，\(\overrightarrow{b}=(0,1,-1)\)，则（）A.\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=0\)B.\(|\overrightarrow{a}|=\sqrt{2}\)C.\(|\overrightarrow{b}|=\sqrt{2}\)D.\(\overrightarrow{a}\)与\(\overrightarrow{b}\)夹角为\(90^{\circ}\)三、判断题（每题2分，共10题）1.空集是任何集合的子集。（）2.函数\(y=x^{3}\)在\(R\)上是增函数。（）3.若\(a\gtb\)，则\(a^{2}\gtb^{2}\)。（）4.平面内到两个定点\(F_1,F_2\)的距离之和等于常数（大于\(|F_1F_2|\)）的点的轨迹是椭圆。（）5.直线\(Ax+By+C=0\)（\(A,B\)不同时为\(0\)）的斜率为\(-\frac{A}{B}\)。（）6.若\(\sin\alpha=\sin\beta\)，则\(\alpha=\beta+2k\pi\)，\(k\inZ\)。（）7.等差数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和\(S_{n}=na_{1}+\frac{n(n-1)}{2}d\)。（）8.复数\(z=3+4i\)的共轭复数是\(3-4i\)。（）9.若\(a\)，\(b\)，\(c\)成等比数列，则\(b^{2}=ac\)。（）10.函数\(y=\log_{a}x\)（\(a\gt0\)且\(a\neq1\)）的图象恒过点\((1,0)\)。（）四、简答题（每题5分，共4题）1.求函数\(y=2\sin(2x+\frac{\pi}{6})\)的最小正周期和单调递增区间。答案：最小正周期\(T=\frac{2\pi}{2}=\pi\)。由\(2k\pi-\frac{\pi}{2}\leqslant2x+\frac{\pi}{6}\leqslant2k\pi+\frac{\pi}{2}\)，\(k\inZ\)，解得\(k\pi-\frac{\pi}{3}\leqslantx\leqslantk\pi+\frac{\pi}{6}\)，\(k\inZ\)，所以单调递增区间是\([k\pi-\frac{\pi}{3},k\pi+\frac{\pi}{6}]\)，\(k\inZ\)。2.已知数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和\(S_{n}=n^{2}+n\)，求\(a_{n}\)。答案：当\(n=1\)时，\(a_{1}=S_{1}=1^{2}+1=2\)；当\(n\geqslant2\)时，\(a_{n}=S_{n}-S_{n-1}=n^{2}+n-[(n-1)^{2}+(n-1)]=2n\)。\(n=1\)时也满足\(a_{n}=2n\)，所以\(a_{n}=2n\)。3.求过点\((1,2)\)且与直线\(2x-y+1=0\)平行的直线方程。答案：直线\(2x-y+1=0\)斜率为\(2\)，所求直线与之平行，斜率也为\(2\)。由点斜式\(y-y_{0}=k(x-x_{0})\)（\((x_{0},y_{0})=(1,2)\)，\(k=2\)）可得\(y-2=2(x-1)\)，即\(2x-y=0\)。4.已知\(a\)，\(b\)，\(c\)分别为\(\triangleABC\)内角\(A\)，\(B\)，\(C\)的对边，\(a=2\)，\(b=\sqrt{2}\)，\(A=45^{\circ}\)，求\(B\)。答案：由正弦定理\(\frac{a}{\sinA}=\frac{b}{\sinB}\)，得\(\sinB=\frac{b\sinA}{a}=\frac{\sqrt{2}\times\sin45^{\circ}}{2}=\frac{1}{2}\)。因为\(a\gtb\)，所以\(A\gtB\)，又\(B\)为三角形内角，所以\(B=30^{\circ}\)。五、讨论题（每题5分，共4题）1.讨论函数\(y=x^{2}-2x+3\)在不同区间上的单调性。答案：函数\(y=x^{2}-2x+3=(x-1)^{2}+2\)，对称轴为\(x=1\)。在\((-\infty,1)\)上，\(x\)增大时\(y\)减小，函数单调递减；在\((1,+\infty)\)上，\(x\)增大时\(y\)增大，函数单调递增。2.探讨在立体几何中，如何判断直线与平面垂直的方法有哪些？答案：可通过定义判断，即直线与平面内任意一条直线都垂直；也可用判定定理，若直线与平面内两条相交直线都垂直，则直线与平面垂直；还能根据面面垂直性质，若两个平面垂直，直线垂直于交线，则直线垂直于另一个平面。3.讨论在解析几何中，椭圆、双曲线、抛物线的性质有哪些联系与区别？答案：联系：都是圆锥曲线，研究方法类似。区别：椭圆有两个焦点，到两焦点距离和为定值；双曲线到两焦点距离差的绝对值为定值；抛物线只有一个焦点和准线。离心率上，椭圆\(0\lte\lt1\)，双曲线\(e\gt1\)，抛物线\(e=1\)。4.结合实际，讨论数学在生活中的应用场景及重要性。答案：应用场景如购物算账、建筑设计、投资理财等。重要性在于帮助我们解