云南省澄江一中2025届数学高二第二学期期末质量跟踪监视模拟试题含解析

云南省澄江一中2025届数学高二第二学期期末质量跟踪监视模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知双曲线的离心率为,过其右焦点作斜率为的直线，交双曲线的两条渐近线于两点（点在轴上方），则（）A． B． C． D．2．已知复平面内的圆：，若为纯虚数，则与复数对应的点（）A．必在圆外 B．必在上 C．必在圆内 D．不能确定3．下列函数中，是偶函数且在区间上单调递减的函数是（）A． B． C． D．4．若随机变量，且，则等于（）A． B． C． D．5．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好体育，得到表：参照附表，得到的正确结论是附：由公式算得：附表：0.250.150.100.050.0250.0100.0051.3232.7022.7063.8415.0246.6357.879A．有以上的把握认为“爱好体育运动与性别有关”B．有以上的把握认为“爱好体育运动与性别无关”C．在犯错误的概率不超过的前提下，认为“爱好体育运动与性别有关”D．在犯错误的概率不超过的前提下，认为“爱好体育运动与性别无关”6．甲球与某立方体的各个面都相切，乙球与这个立方体的各条棱都相切，丙球过这个立方体的所有顶点，则甲、乙、丙三球的半径的平方之比为（）A．1∶2∶3 B．1∶∶C．1∶∶ D．1∶2∶37．将函数的图象向左平移个单位，所得图象其中一条对称轴方程为（）A． B． C． D．8．设命题：，；命题：若，则，则下列命题为真命题的是（）A． B． C． D．9．若函数在为增函数，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．10．若对任意实数，有，则（）A． B． C． D．11．如图，网格纸的小正方形的边长是1，粗线表示一正方体被某平面截得的几何体的三视图，则该几何体的体积为A．2 B．4 C．6 D．812．已知函数的最小正周期为，且其图象向右平移个单位后得到函数的图象，则（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在空间四边形中，若分别是的中点，是上点，且，记，则_____.14．已知一组数据6,7,8，，的平均数是8，且，则该组数据的方差为_______.15．有甲、乙、丙三项不同任务，甲需由人承担，乙、丙各需由人承担，从人中选派人承担这三项任务，不同的选法共有__________种．（用数字作答）16．已知随机变量，则的值为__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，1，1．现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．（1）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（2）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．用X表示抽取的3人中睡眠充足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望.18．（12分）为调查某小区居民的“幸福度”．现从所有居民中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶），若幸福度分数不低于8.5分，则称该人的幸福度为“幸福”．（1）求从这16人中随机选取3人，至少有2人为“幸福”的概率；（2）以这16人的样本数据来估计整个小区的总体数据,若从该小区（人数很多）任选3人，记表示抽到“幸福”的人数，求的分布列及数学期望和方差．19．（12分）已知函数.（Ⅰ）当时，求的最大值；（Ⅱ）若对恒成立，求实数的取值范围.20．（12分）某校举办《国学》知识问答中，有一道题目有5个选项A，B，C，D，E，并告知考生正确选项个数不超过3个，满分5分，若该题正确答案为，赋分标准为“选对1个得2分，选对2个得4分，选对3个得5分，每选错1个扣3分，最低得分为0分”.假定考生作答的答案中的选项个数不超过3个.（1）若张小雷同学无法判断所有选项，只能猜，他在犹豫答案是“任选1个选项作为答案”或者“任选2个选项作为答案”或者“任选3个选项作为答案”，以得分期望为决策依据，则他的最佳方案是哪一种？说明理由.（2）已知有10名同学的答案都是3个选项，且他们的答案互不相同，他们此题的平均得分为x分.现从这10名同学中任选3名，计算得到这3名考生此题得分的平均分为y分，试求的概率.21．（12分）在平面直角坐标系中，直线经过点，其倾斜角为，以原点为极点，以轴为非负半轴为极轴，与坐标系取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线的极坐标方程为.(1)若直线与曲线有公共点，求倾斜角的取值范围；(2)设为曲线上任意一点，求的取值范围.22．（10分）已知圆C的圆心在x轴上，且经过两点，．（1）求圆C的方程；（2）若点P在圆C上，求点P到直线的距离的最小值．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

由双曲线的离心率可得a＝b，求得双曲线的渐近线方程，设右焦点为（c，0），过其右焦点F作斜率为2的直线方程为y＝2（x﹣c），联立渐近线方程，求得B，C的坐标，再由向量共线定理，可得所求比值．【详解】由双曲线的离心率为，可得ca，即有a＝b，双曲线的渐近线方程为y＝±x，设右焦点为（c，0），过其右焦点F作斜率为2的直线方程为y＝2（x﹣c），由y＝x和y＝2（x﹣c），可得B（2c，2c），由y＝﹣x和y＝2（x﹣c）可得C（，），设λ，即有0﹣2c＝λ（0），解得λ＝1，即则1．故选：B．本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率和渐近线方程，考查方程思想和运算能力，属于中档题．2、A【解析】

设复数,再利用为纯虚数求出对应的点的轨迹方程,再与圆：比较即可.【详解】由题,复平面内圆：对应的圆是以为圆心,1为半径的圆.若为纯虚数,则设,则因为为纯虚数,可设,.故故,因为,故.当有.当时,两式相除有,化简得.故复数对应的点的轨迹是.则所有的点都在为圆心,1为半径的圆外.故选：A本题主要考查复数的轨迹问题,根据复数在复平面内的对应的点的关系求解轨迹方程即可.属于中等题型.3、D【解析】

由奇函数和偶函数图象的对称性，根据的图象和的定义域便可判断出错误，而由的单调性便可判断选项错误，从而得出正确．【详解】选项：根据的图象知该函数非奇非偶，可知错误；选项：的定义域为，知该函数非奇非偶，可知错误；选项：时，为增函数，不符合题意，可知错误；选项：，可知函数为偶函数，根据其图象可看出该函数在上单调递减，可知正确.本题正确选项：本题考查奇函数和偶函数图象的对称性，函数单调性的问题，属于基础题．4、A【解析】

由正态密度曲线的对称性得出，由此可得出结果.【详解】由于，则正态密度曲线关于直线对称，所以，故选A.本题考查正态分布在指定区间上概率的计算，解题时要确定正态密度曲线的对称轴，利用对称性列等式计算，考查计算能力，属于中等题.5、A【解析】

根据参照表和卡方数值判定，6.635<7.8<7.879,所以有以上的把握认为“爱好体育运动与性别有关”.【详解】因为6.635<7.8<7.879,所以有以上的把握认为“爱好体育运动与性别有关”，故选A.本题主要考查独立性检验，根据数值所在区间能描述统计结论是求解关键.6、A【解析】

设立方体为以2为边长的正方体，分别求出甲乙丙的半径，即可得出答案。【详解】设立方体为以2为边长的正方体，则，，所以设立方体为以2为边长的正方体，分别求出甲乙丙的半径，即可得出答案。7、B【解析】试题分析：，向左平移个单位后所得函数解析式为，所以函数对称轴方程为，所以，当时，．考点：三角函数图象及性质．8、D【解析】分析：先判断命题的真假，进而根据复合命题真假的真值表，可得结论.详解：因为成立，所以，不存在，，故命题为假命题，为真命题；当时，成立，但不成立，故命题为假命题，为真命题；故命题均为假命题，命题为真命题，故选D.点睛：本题通过判断或命题、且命题以及非命题的真假，综合考查不等式的性质以及特称命题的定义，属于中档题.解答非命题、且命题与或命题真假有关的题型时，应注意：（1）原命题与其非命题真假相反；（2）或命题“一真则真”；（3）且命题“一假则假”.9、A【解析】

利用函数的导函数在区间恒为非负数列不等式，用分离常数法求得的取值范围.【详解】依题意，在区间上恒成立，即，当时，，故，在时为递增函数，其最大值为，故.所以选A.本小题主要考查利用导数求解函数单调性有关的问题，考查正切函数的单调性，属于中档题.10、B【解析】分析：根据，按二项式定理展开，和已知条件作对比，求出的值，即可求得答案.详解：，且，.故选：B.点睛：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数.11、B【解析】

由题意，直观图如图所示，由图可知该几何体的体积为为正方体的一半．【详解】由题意，直观图如图所示，由图可知该几何体的体积为为正方体的一半，即为2×2×2＝1．故选B．本题考查由三视图求体积，考查学生的计算能力，确定几何体的形状是关键．12、C【解析】

利用函数的周期求出的值，利用逆向变换将函数的图象向左平行个单位长度，得出函数的图象，根据平移规律得出的值.【详解】由于函数的周期为，，则，利用逆向变换，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，所以，因此，，故选：C.本题考查正弦型函数周期的计算，同时也考查了三角函数图象的平移变换，本题利用逆向变换求函数解析式，可简化计算，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

由条件可得【详解】因为，分别是的中点所以所以故答案为：本题考查的是空间向量的线性运算，较简单.14、2【解析】

根据题意，列出关于的等量关系式，结合，求得的值，利用方差公式求得结果.【详解】一组数据的平均数是8，且，所以，化简得，又，所以的值分别为或，所以该组数据的方差为：，故答案是：2.该题考查的是有关求一组数据的方差的问题，涉及到的知识点有方差公式，属于简单题目.15、60【解析】分析：先从5人中选4人（组合），再给4个人分派3项任务，甲需2人，乙、丙各需由人。详解：先从5人中选4人（组合），再给4个人分派3项任务，甲需2人，乙、丙各需由人（乙、丙派的人不一样故要排列）。共有60种。点睛：分配问题，先分组（组合）后分派（排列）。16、【解析】

根据二项分布的期望公式求解.【详解】因为随机变量服从二项分布，所以.本题考查二项分布的性质.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）3人，2人，2人；（2）分布列见解析，.【解析】

(1)由甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为，利用分层抽样的方法，即可求得从甲、乙、丙三个部门的员工人数；(2)由题意，随机变量的所有可能取值为，求得相应的概率，得出其分布列，利用期望的公式，即可求解.【详解】(1)由题意知，某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，1，1，可得甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，所以应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．(2)随机变量的所有可能取值为，则，所以，随机变量的分布列为0123所以随机变量的数学期望．本题主要考查了分层抽样的应用，以及离散型随机变量的分布列与数学期望的求解，其中解答中认真审题，准确得到随机变量的可能取值，求得相应的概率是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.18、（1）；（2）的分布列见解析；数学期望为；方差为【解析】

首先由茎叶图统计出“幸福”的人数和其他人数，再计算概率．由茎叶图知任选一人，该人幸福度为“幸福”的概率为，知道在该小区中任选一人该人幸福度为“幸福”的概率为，再计算即可．【详解】(1)由茎叶图可知，抽取的16人中“幸福”的人数有12人，其他的有4人；记“从这16人中随机选取3人，至少有2人是“幸福”，”为事件.由题意得(2)由茎叶图知任选一人，该人幸福度为“幸福”的概率为，的可能取值为0,1,2,3,显然则；；；；所以的分布列为0123本题考查茎叶图、样本估计总体、分布列、数学期望，属于基础题．19、（Ⅰ）1；（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）当时求出的单调性，根据单调性即可求出最大值．（Ⅱ）求出的单调性．当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以，再判断出的单调性即可．【详解】（Ⅰ）当时，，定义域为..令，得.当时，，单调递增，当时，，单调递减.所以.（Ⅱ），.令，得.当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以.依题意有，设，则，所以在上单调递增.又，故，即实数的取值范围为.本题考查了利用函数的单调性求最值、求含参数的范围、恒成立的问题．是高考中的必考点，也是高考中的压轴题．在解答时应该仔细审题．20、（1）他的最佳方案是“任选1个选项作为答案”或者“任选2个选项作为答案”，理由见解析；（2）.【解析】

（1）分情况讨论：当任选1个选项的得分为X分，可得X可取0，2，利用组合运算算出概率，并计算出期望；当任选2个选项的得分为Y分，可得Y可取0，4，利用组合运算算出概率，并计算出期望；当任选3个选项的得分为Z分，则Z可取0，1，5，利用组合运算算出概率，并计算出期望；比较数值大小即可.（2）由题意可得这10名考生中有3人得分为0分，6人得分为1分，1人得分为5分，可得，由，、可得3人得分总分小于3.3，即可求解.【详解】（1）设任选1个选项的得分为X分，则X可取0，2，，，设任选2个选项的得分为Y分，则Y可取0，4，设任选3个选项的得分为Z分，则Z可取0，1，5，，，所以他的最佳方案是“任选1个选项作为答案”或者“任选2个选项作为答案”（2）由于这10名同学答案互不相同，且可能的答案总数为10，则这10名考生中有3人得分为0分，6人得分为1分，1人得分为5分，则有，则3人得分总分小于3.3，则本题考查了古典概型的概率计算公式、组合数的