襄阳市第四中学2025届高二数学第二学期期末监测模拟试题含解析

襄阳市第四中学2025届高二数学第二学期期末监测模拟试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点,点是原点,若;则的面积为（）A． B． C． D．2．如图，函数的图象在点P处的切线方程是，则（）A．4 B．3 C． D．3．若(3x-1x)A．-5B．5C．-405D．4054．对于实数，，若或，则是的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．若的展开式中的第五、六项二项式系数最大，则该展开式中常数项为（）A． B．84 C． D．366．如图，在直角梯形中，，是的中点，若在直角梯形中投掷一点，则以，，2为三边构成的三角形为钝角三角形的概率为（）A． B． C． D．7．以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形”．该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为（）A． B．C． D．8．在一个棱长为的正方体的表面涂上颜色，将其适当分割成棱长为的小正方体，全部放入不透明的口袋中，搅拌均匀后，从中任取一个，取出的小正方体表面仅有一个面涂有颜色的概率是（）A． B． C． D．9．已知某生产厂家的年利润（单位：万元）与年产量（单位：万件）的函数关系式为，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为A．13万件 B．11万件C．9万件 D．7万件10．已知随机变量X的分布列如下表所示则的值等于A．1 B．2 C．3 D．411．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（）A．144 B．120 C．72 D．2412．若，则复数在复平面上对应的点在A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．湖面上有个相邻的小岛，，，，，现要建座桥梁，将这个小岛连接起来，共有__________不同方案．（用数字作答）14．现在“微信抢红包”异常火爆．在某个微信群某次进行的抢红包活动中，若所发红包的总金额9元，被随机分配为元，元，元，元，元，共5份，供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于5元的概率是__________．15．若从4名男生和3名女生中任选2人参加演讲比赛，则至少选出1名女生的概率为_______（结果用分数表示）．16．5名学生站成一排拍照片，其中甲乙两名学生不相邻的站法有_______种．（结果用数值表示）三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在空间四边形OABC中，已知E是线段BC的中点，G在AE上，且．试用向量，，表示向量；若，，，，求的值．18．（12分）已知函数，（其中,为自然对数的底数）.（1）讨论函数的单调性；（2）若分别是的极大值点和极小值点，且，求证：.19．（12分）如图,在四棱锥中,已知平面,且四边形为直角梯形,，是中点。(1)求异面直线与所成角的大小；(2)求与平面所成角的大小。20．（12分）已知函数．（1）解不等式；（2）若对恒成立，求实数的取值范围．21．（12分）设为关于的方程的虚根，虚数单位．（1）当时，求、的值；（2）若，在复平面上，设复数所对应的点为，复数所对应的点为，试求的取值范围．22．（10分）某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米。要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个桶圆形状（如图）。（1）若最大拱高为6米，则隧道设计的拱宽是多少米？（2）若最大拱高不小于6米，则应如何设计拱高和拱宽，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小，并求出最小土方量？（已知：椭圆的面积公式为，本题结果拱高和拱宽精确到0.01米，土方量精确到1米3）

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

试题分析：抛物线焦点为，准线方程为，由得或所以，故答案为C．考点：1、抛物线的定义；2、直线与抛物线的位置关系．2、A【解析】

由条件可得，【详解】因为函数的图象在点P处的切线方程是所以，所以4故选：A本题考查的是导数的几何意义，较简单.3、C【解析】由题设可得2n=32⇒n=5，则通项公式Tr+1=C5r4、B【解析】

分别判断充分性和必要性，得到答案.【详解】取此时不充分若或等价于且，易知成立，必要性故答案选B本题考查了充分必要条件，举出反例和转化为逆否命题都可以简化运算.5、B【解析】

先由的展开式中的第五、六项二项式系数最大，求解n,写出通项公式，令，求出r代入，即得解.【详解】由于的展开式中的第五、六项二项式系数最大，故，二项式的通项公式为：令可得：故选：B本题考查了二项式定理的应用，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.6、C【解析】

根据，，2为三边构成的三角形为钝角三角形建立不等式，其几何意义为以原点为圆心，半径为2的圆在第一象限的部分，用此部分去掉即为符合条件的的运动区域，作出面积比即可【详解】由题，，，故设为最长边长，以，，2为三边构成的三角形为钝角三角形，即以原点为圆心，半径为的圆，，故选本题考查钝角三角形的三边关系，几何意义转化的能力及几何概型7、B【解析】试题分析：由题意得，数表的每一行都是等差数列，且第一行公差为，第二行公差为，第三行公差为，第行公差为，第一行的第一个数为；第二行的第一个数列为；第三行的第一个数为；；第行的第一个数为，第行只有，故选B.考点：数列的综合应用.【方法点晴】本题主要考查了数列的综合问题，其中解答中涉及到等差数列的概念与通项公式，等比数列的通项公式等知识点应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及学生的转化与化归思想的应用，本题的解答中正确理解数表的结构，探究数表中数列的规律是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题.8、C【解析】

由在27个小正方体中选一个正方体，共有27种结果，满足条件的事件是取出的小正方体表面仅有一个面涂有颜色，有6种结果，根据古典概型及其概率的计算公式，即可求解．【详解】由题意，在27个小正方体中，恰好有三个面都涂色有颜色的共有8个，恰好有两个都涂有颜色的共12个，恰好有一个面都涂有颜色的共6个，表面没涂颜色的1个，可得试验发生包含的事件是从27个小正方体中选一个正方体，共有27种结果，满足条件的事件是取出的小正方体表面仅有一个面涂有颜色，有6种结果，所以所求概率为．故选：C．本题主要考查了古典概型及其概率的计算公式的应用，其中解答根据几何体的结构特征，得出基本事件的总数和所求事件所包含基本事件的个数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．9、C【解析】解：令导数y′=-x2+81＞0，解得0＜x＜9；令导数y′=-x2+81＜0，解得x＞9，所以函数y=-x3+81x-234在区间（0，9）上是增函数，在区间（9，+∞）上是减函数，所以在x=9处取极大值，也是最大值，故选C．10、A【解析】

先求出b的值，再利用期望公式求出E(X)，再利用公式求出.【详解】由题得，所以所以.故答案为：A(1)本题主要考查分布列的性质和期望的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)若(a、b是常数)，是随机变量，则也是随机变量，，.11、D【解析】试题分析：先排三个空位，形成4个间隔，然后插入3个同学，故有种考点：排列、组合及简单计数问题12、D【解析】分析：利用二次函数的性质可判定复数的实部大于零，虚部小于零，从而可得结果.详解：因为，，所以复数在复平面上对应的点在第四象限，故选D.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、135【解析】分析：个相邻的小岛一共可座桥梁，选座，减去不能彼此连接的即可。详解：个相邻的小岛一共可座桥梁，选座不能彼此连接，共135种。点睛：转化问题为组合问题。14、【解析】

分析：基本事件总数，再利用列举法求出其中甲、乙二人抢到的金额之和不低于元的情况种数，能求出甲、乙二人抢到的金额之和不低于元的概率.详解：所发红包的总金额为元，被随机分配为元，元，元，元，元，共份，供甲、乙等人抢，每人只能抢一次，基本事件总数，其中甲、乙二人抢到的金额之和不低于元的情况有，种，甲、乙二人抢到的金额之和不低于元的概率，故答案为.点睛：本题考查古典概型概率公式的应用，属于简单题.在解古典概型概率题时，首先求出样本空间中基本事件的总数，其次求出概率事件中含有多少个基本事件，然后根据公式求得概率.15、.【解析】分析：从4名男生和3名女生中任选2人参加演讲比赛，则所有可能结果共有种，设事件A“所选2人都是男生”，则A事件“所选2人都是男生”包含的基本事件个数有种，即可求出A事件的概率，从而利用即可.详解：从4名男生和3名女生中任选2人参加演讲比赛，则所有可能结果共有种，设事件A“所选2人都是男生”，则A事件“所选2人都是男生”包含的基本事件个数有种，，故至少选出1名女生的概率为.故答案为：.点睛：本题考查概率的求法，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式、对立事件概率计算公式的合理运用.16、72【解析】

首先对除甲乙外的三名同学全排列，再加甲乙插空排入，根据分步乘法计数原理可得到结果.【详解】将除甲乙外的三名同学全排列，共有：种排法甲、乙插空排入，共有：种排法根据分步乘法计数原理可得排法共有：种排法本题正确结果：本题考查排列问题中的不相邻问题的求解，关键是明确解决不相邻的问题可采用插空的方式来进行求解.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解析】

又，由此即可求出结果；（2）利用，和数量及的定义，代入得结果．【详解】解：又由问知．本题考查平面向量的基本定理，和平面向量的数量积的运算公式及平面向量基本定理的应用．18、(1)见解析；(2)证明见解析【解析】

（1）讨论，和三种情况，分别计算得到答案.（2）根据题意知等价于，设，计算得到使，计算得到得到证明.【详解】（1）当时，，的单调递增区间是，单调递减区间是；时，，①时，由解得或；由解得，的单调递增区间是和，单调递减区间是②时，由解得；由解得或，的单调递增区间是，单调递减区间是和；综上所述：时，单调递增区间是，单调递减区间是；时，单调递增区间是和，单调递减区间是；时，单调递增区间是，单调递减区间是和；（2）由已知和（1）得，当时满足题意，此时，，令，则.令则恒成立，在上单调递增，使，即从而当时，单调递减，当时，单调递增，在上单调递减，，即，本题考查了函数的单调性，利用导数证明不等式，将不等式等价于是解题的关键.19、(1)(2)【解析】

（1）推导出PA⊥AB，PA⊥AD．以A为原点，AB，AD，AP分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，利用向量法能求出异面直线DP与CQ所成角的余弦值．(2)设平面法向量，与平面所成角,由得出，代入即可得解.【详解】（1）以A为原点，AB，AD，AP分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，，设与所成角是所以与所成角是.（2）设平面法向量，与平面所成角令,所以与平面所成角.本题考查异面直线所成角的余弦值、线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20、（1）；（2）.【解析】

（1）利用分段讨论法去掉绝对值，求出不等式f（x）-f（2x+4）＜2的解集；（2）由绝对值不等式的意义求出f（x）+f（x+3）的最小值，得出关于m的不等式，求解即可．【详解】解：（1）由题知不等式，即，等价于，或，或；解得或或，即或，原不等式的解集为，，；（2）由题知，的最小值为3，，解得，实数的取值范围为，．本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，也考查了不等式恒成立问题，是基础题．21、（1）,（2）【解析】

（1）,则,则可确定方程两根为,由韦达定理即可求得;（2）可确定,为方程的两根,设,由韦达定理可得,即,,,用两点间距离公式可表示出,用三角函数的知识求得其范围.【详解】（1）当,则方程的两根分别为:,即,（2）当时，方程为,为方程的两根设，则，设，，故复数所对应的点为,可得根据两点间距离公式:其中，即的取值范围为:.本题考查复数的定义,几何意义的应用,关键是能够通过方程的一个虚根确定方程两根,利用韦达定理建立等量关系.22、(1)33.26；(2)拱高约为6.36米、拱宽约为31.11米时，土方工程量最小．最小土方量为立方米.【解析】

（1）根据题意，建立坐标系，可得的坐标