云南省泸水五中2024-2025学年高二下数学期末质量检测试题含解析

云南省泸水五中2024-2025学年高二下数学期末质量检测试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设i是虚数单位，则复数i3A．-i B．i C．1 D．-12．下列不等式成立的是（）A． B． C． D．3．若x1=，x2=是函数f(x)=(>0)两个相邻的极值点，则=A．2 B．C．1 D．4．用数学归纳法证明不等式“”时的过程中，由到时，不等式的左边（）A．增加了一项B．增加了两项C．增加了两项，又减少了一项D．增加了一项，又减少了一项5．给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.已知函数的拐点是，则（）A． B． C． D．16．在极坐标系中，圆的圆心的极坐标是（）A． B． C． D．7．已知椭圆（为参数）与轴正半轴，轴正半轴的交点分别为，动点是椭圆上任一点，则面积的最大值为（）A． B． C． D．8．已知一种元件的使用寿命超过年的概率为，超过年的概率为，若一个这种元件使用到年时还未失效，则这个元件使用寿命超过年的概率为（）A． B． C． D．9．已知是定义在上的偶函数，且当时，都有成立，设，，，则，，的大小关系为（）A． B． C． D．10．“”是“的展开式中含有常数项”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件11．已知集合，，则为（）A． B． C． D．12．在正方体中，E是棱的中点，点M，N分别是线段与线段上的动点，当点M，N之间的距离最小时，异面直线与所成角的余弦值为（）A． B． C．D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知定义在上的函数的图象关于点对称,,若函数图象与函数图象的交点为,则_____．14．已知点在椭圆上，垂直于椭圆焦点所在的直线，垂足为，并且为线段的中点，则点的轨迹方程是_____.15．已知，则_________.16．已知、满足约束条件，若目标函数的最大值为13，则实数______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知的极坐标方程为，,分别为在直角坐标系中与轴，轴的交点．曲线的参数方程为（为参数，且），为,的中点．（1）将，化为普通方程；（2）求直线（为坐标原点）被曲线所截得弦长．18．（12分）公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，（1）求数列{a（2）设bn=1Sn19．（12分）已知椭圆的右顶点为，定点，直线与椭圆交于另一点.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）试问是否存在过点的直线与椭圆交于两点，使得成立？若存在，请求出直线的方程；若不存在，请说明理由.20．（12分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），已知直线的方程为.（1）设是曲线上的一个动点，当时，求点到直线的距离的最小值；（2）若曲线上的所有点均在直线的右下方，求的取值范围.21．（12分）《中华人民共和国道路交通安全法》第47条的相关规定：机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行横道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线”，《中华人民共和国道路交通安全法》第90条规定：对不礼让行人的驾驶员处以扣3分，罚款50元的处罚．下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员不“礼让斑马线”行为统计数据：月份12345违章驾驶员人数1201051009085（Ⅰ）请利用所给数据求违章人数与月份之间的回归直线方程并预测该路口7月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数；（Ⅱ）交警从这5个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查了50人，调查驾驶员不“礼让斑马线”行为与驾龄的关系，得到如下列联表：不礼让斑马线礼让斑马线合计驾龄不超过1年22830驾龄1年以上81220合计302050能否据此判断有97.5%的把握认为“礼让斑马线”行为与驾龄有关？参考公式：，，（其中）0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82822．（10分）已知函数．（1）若函数在处取得极值，求的值和函数的单调区间；（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】分析：由条件利用两个复数代数形式的除法运算，虚数单位i的幂运算性质，计算求得结果．详解：i3∴复数i3故选C点睛：本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．2、B【解析】

利用指数函数与对数函数的单调性，即可得到判定，得出答案.【详解】由题意，指数函数时，函数是增函数，所以不正确，是正确的，又由对数函数是增函数，所以不正确；对数函数是减函数，所以不正确，故选B.本题主要考查了指数函数以及对数函数的单调性的应用，其中熟记指数函数与对数函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3、A【解析】

从极值点可得函数的周期，结合周期公式可得.【详解】由题意知，的周期，得．故选A．本题考查三角函数的极值、最值和周期，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取公式法，利用方程思想解题．4、C【解析】解：n=k时，左边="1"/k+1+1/k+2++1/k+k，n=k时，左边="1"/(k+1)+1+1/(k+1)+2++1/(k+1)+(k+1)="(1/"k+1+1/k+2++1/k+k)-1/k+1+1/2k+1+1/2k+2故选C5、D【解析】

遇到新定义问题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，在该题中求出原函数的导函数，再求出导函数的导函数，由导函数的导函数等于0，即可得到拐点，问题得以解决．【详解】解：函数，，，因为方程有实数解，则称点，为函数的“拐点”，已知函数的“拐点”是，所以，即，故选：．本题考查导数的运算．导数的定义，和拐点，根据新定义题，考查了函数导函数零点的求法；解答的关键是函数值满足的规律，属于基础题6、B【解析】

先把圆的极坐标方程化为直角坐标方程，确定其圆心的直角坐标再化成极坐标即可．【详解】圆化为,，配方为，因此圆心直角坐标为，可得圆心的极坐标为故选B本题考查极坐标方程与直角坐标方程的转化，点的直角坐标与极坐标的转化，比较基础．7、B【解析】分析：根据椭圆的方程算出A（4，1）、B（1，3），从而得到|AB|=5且直线AB：3x+4y﹣12=1．设点P（4cosθ，3sinθ），由点到直线的距离公式算出P到直线AB距离为d=|sin﹣1|，结合三角函数的图象与性质算出dmax=（），由此结合三角形面积公式，即可得到△PAB面积的最大值．详解：由题得椭圆C方程为：，∴椭圆与x正半轴交于点A（4，1），与y正半轴的交于点B（1，3），∵P是椭圆上任一个动点，设点P（4cosθ，3sinθ）（θ∈[1，2π]）∴点P到直线AB：3x+4y﹣12=1的距离为d==|sin﹣1|，由此可得：当θ=时，dmax=（）∴△PAB面积的最大值为S=|AB|×dmax=6（）.点睛：(1)本题主要考查椭圆的参数方程和三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力计算能力.(2)对于|sin﹣1|，不是sin=1时，整个函数取最大值，而应该是sin=-1，要看后面的“-1”.8、A【解析】

记事件该元件使用寿命超过年，记事件该元件使用寿命超过年，计算出和，利用条件概率公式可求出所求事件的概率为.【详解】记事件该元件使用寿命超过年，记事件该元件使用寿命超过年，则，，因此，若一个这种元件使用到年时还未失效，则这个元件使用寿命超过年的概率为，故选A.本题考查条件概率的计算，解题时要弄清楚两个事件的关系，并结合条件概率公式进行计算，考查分析问题和计算能力，属于中等题.9、B【解析】

通过可判断函数在上为增函数，再利用增函数的性质即可得到，，的大小关系.【详解】由于当时，都有成立，故在上为增函数，,,而，所以，故答案为B.本题主要考查函数的性质，利用函数性质判断函数值大小，意在考查学生的转化能力，分析能力和计算能力，难度中等.10、A【解析】

根据二项展开式的通项可知当时，只需即可得到常数项，可知充分条件成立；当时，展开式均含有常数项，可知必要条件不成立，从而得到结果.【详解】展开式的通项公式为：当时，通项公式为：令，解得：，此时为展开式的常数项，可知充分条件成立令，解得：当时，展开式均含有常数项，可知必要条件不成立“”是“的展开式中含有常数项”的充分不必要条件本题正确选项：本题考查充分条件与必要条件的判定，涉及到二项式定理的应用；关键是能够熟练掌握二项展开式通项公式的形式，进而确定当幂指数为零时所需要的条件，从而确定是否含有常数项.11、A【解析】

利用集合的交集运算进行求解即可【详解】由题可知集合中，集合中求的是值域的取值范围，所以的取值范围为答案选A求解集合基本运算时，需注意每个集合中求解的是x还是y,求的是定义域还是值域，是点集还是数集等12、A【解析】

以A为坐标原点，以，，为x，y，z轴正向建系，设，，,,,设，得，求出取最小值时值，然后求的夹角的余弦值．【详解】以A为坐标原点，以，，为x，y，z轴正向建系，设，，,,,设，由得，则，当即，时，取最小值.此时，，令．得．故选：A.本题考查求异面直线所成的角，解题关键求得的取最小值时的位置．解题方法是建立空间直角坐标系，用空间向量法表示距离、求角．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、4038.【解析】

由函数图象的对称性得：函数图象与函数图象的交点关于点对称，则，,即，得解．【详解】由知：得函数的图象关于点对称又函数的图象关于点对称则函数图象与函数图象的交点关于点对称则故，即本题正确结果：本题考查利用函数图象的对称性来求值的问题，关键是能够根据函数解析式判断出函数的对称中心，属中档题．14、【解析】设P（x，y），则M（x，）．∵点M在椭圆上，∴，即P点的轨迹方程为x2+y2=1．故填.15、【解析】

根据二项式定理，，推导出，由，能求出．【详解】解：，，，由，解．故答案为1．本题考查实数值的求法，考查组合数公式等基础知识，考查推理能力与计算能力，考查函数与方程思想，是基础题．16、1【解析】

在平面直角坐标系内,画出不等式组所表示的平面区域.平移直线,找到使直线在纵轴上的截距最大时,所经过的点坐标,把这个点的坐标代入目标函数解析式中，可以求出的值.【详解】在平面直角坐标系内，画出不等式组所表示的平面区域如下图所示：平移直线,∵，所以当直线经过点时,直线在纵轴上的截距最大,解方程组：,把点的坐标,代入目标函数中，,解得.故答案为：1本题考查了已知目标函数的最值求参数问题,正确画出不等式组所表示的平面区域是解题的关键.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)：；(2)【解析】

（1）将曲线的极坐标方程利用两角差的余弦公式展开，利用将曲线的极坐标方程化为普通方程，在曲线的参数方程中消去参数可得出曲线的普通方程；（2）求出点的坐标，可得出直线的方程，再将直线的方程与曲线的普通方程联立，求出交点、的坐标，再利用两点间的距离公式可得出.【详解】（1）的极坐标方程为，即，∴化为普通方程是：；曲线的参数方程为消去参数t得：普通方程：．（2）因为，，∴，所以直线．设直线与交于A，B两点，直线与联立得：，∴，，所以.本题考查极坐标方程、参数方程与普通方程的互化，考查直线截二次曲线所得弦长的计算，可以利用直线参数方程的几何意义，也可以利用弦长公式来计算，都是常考题型，考查计算能力，属于中等题．18、（1）an【解析】试题分析：（1）由已知S22=S1S4，把此等式用公差d表示出来，解得d后可得通项公式；（2）由（1）计算出Sn=n2试题解析：（1）设数列{an由题S∵a1=1,d≠0,d=2（2）由（1）得Sn=n2，∴bn当n≥2时，bn∴b1所以对任意的正整数n，不等式成立．考点：等差数列的通项公式，放缩法证明不等式．19、（Ⅰ）；（Ⅱ）存在，或【解析】

（1）由已知可得，再将点代入椭圆方程，求出即可；（2）设，由已知可得，结合，可得，从而有，验证斜率不存在时是否满足条件，当斜率存在时，设其方程为，与椭圆方程联立，根据根与系数关系，得出关系式，结合，即可求解.【详解】（Ⅰ）由椭圆的右顶点为知，.把点坐标代入椭圆方程，得.解得.所以椭圆的标准方程为.（Ⅱ），所以.由，得，即，所以.设，，则，，所以.①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，，这与矛盾.②当直线的斜率存在时，设直线的方程为.联立方程得.，.由可得，，即.整理得.解得.综上所述，存在满足条件的直线，其方程为或.本题考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系，要熟练应用根与系数关系设而不求方法解决相交弦问题，考查计算求解能力，属于中档题.20、（1）.（2）.【解析】试题分析：（1）求出直线的普通方程，设，则点到直线的距离的距离，即可求点到直线的距离的最小值；

（Ⅱ）若曲线上的所有点均在直线的右下方则，有恒成立，即恒成立，恒成立，即可求的取值范围．试题解析：（Ⅰ）依题意，设，则