肇庆市重点中学2025届数学高二第二学期期末考试试题含解析

肇庆市重点中学2025届数学高二第二学期期末考试试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知复数的共轭复数为，则（）A．-1 B．1 C． D．2．设实数满足约束条件，则的最大值为()A． B．1 C．6 D．93．若,则()A． B． C． D．4．中，角、、的对边分别为，，，若，三角形面积为，，则()A．7 B．8 C．5 D．65．执行如图所示程序框图，输出的的值为（）A． B． C．3 D．46．已知，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件7．某校团委对“学生性别与中学生追星是否有关”作了一次调查，利用列联表，由计算得,参照下表:0.010.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828得到正确结论是()A．有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星无关”B．有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关”C．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星无关”D．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星有关”8．已知是定义在上的可导函数，的图象如图所示，则的单调减区间是（）A． B． C． D．9．如图是“向量的线性运算”知识结构，如果要加入“三角形法则”和“平行四边形法则”，应该放在（）A．“向量的加减法”中“运算法则”的下位B．“向量的加减法”中“运算律”的下位C．“向量的数乘”中“运算法则”的下位D．“向量的数乘”中“运算律”的下位10．某程序框图如图所示，若运行该程序后输出（）A． B． C． D．11．为虚数单位，复数的共轭复数是（）A． B． C． D．12．若实轴长为2的双曲线上恰有4个不同的点满足，其中，，则双曲线C的虚轴长的取值范围为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若的展开式中的系数是，则．14．从2个男生、3个女生中随机抽取2人，则抽中的2人不全是女生的概率是____.15．如图，正方体的棱长为1，E为线段上的一点，则三棱锥的体积为＿＿＿＿＿.16．组合恒等式，可以利用“算两次”的方法来证明：分别求和的展开式中的系数．前者的展开式中的系数为；后者的展开式中的系数为.因为，则两个展开式中的系数也相等，即．请用“算两次”的方法化简下列式子：______．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知，，为实数.（1）若，求；（2）若，求实数，的值.18．（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平形四边形，PA⊥平面ABCD，点M，N分别为BC,PA的中点，且AB=AC=1，AD=2（1）证明：MN∥平面PCD；（2）设直线AC与平面PBC所成角为α，当α在(0,π6)内变化时，求二面角P-BC-A的平面角β19．（12分）在中，角的对边分别是，且满足.（1）求角的大小；（2）若，边上的中线的长为，求的面积.20．（12分）为了实现绿色发展，避免能源浪费，某市计划对居民用电实行阶梯收费.阶梯电价原则上以住宅（一套住宅为一户）的月用电量为基准定价，具体划分标准如表：阶梯级别第一阶梯电量第二阶梯电量第三阶梯电量月用电量范围（单位：kW⋅h）(0,200](200,400](400,+∞]从本市随机抽取了100户，统计了今年6月份的用电量，这100户中用电量为第一阶梯的有20户，第二阶梯的有60户，第三阶梯的有20户.（1）现从这100户中任意选取2户，求至少1户用电量为第二阶梯的概率；（2）以这100户作为样本估计全市居民的用电情况，从全市随机抽取3户，X表示用电量为第二阶梯的户数，求X的概率分布列和数学期望.21．（12分）在一次抗洪抢险中，准备用射击的方法引爆从桥上游漂流而下的一个巨大的汽油灌，已知只有5发子弹，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆．每次射击相互独立，且命中概率都是，求（1）油罐被引爆的概率；（2）如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为，求的分布列．22．（10分）已知（为自然对数的底数），.（1）当时，求函数的极小值；（2）当时，关于的方程有且只有一个实数解，求实数的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

根据共轭复数的概念，可得，然后利用复数的乘法、除法法则，可得结果.【详解】，，，故选：C本题考查复数的运算，注意细节，细心计算，属基础题.2、D【解析】

作出不等式组表示的平面区域，作出目标函数对应的直线，结合图像求得结果【详解】解：画出实数满足约束条件表示的可行域，由得，则表示直线在轴上的截距，截距越大，越大，作出目标函数对应的直线由图可知将直线向上平移，经过点时，直线的截距最大，由，得点的坐标为所以的最大值为故选：D此题考查画不等式组表示的平面区域，考查数形结合求函数的最值.3、B【解析】

对求导,在导函数里取,解得,代入函数,再计算【详解】答案为B本题考查了导数的计算,属于简单题.4、A【解析】分析：由已知及三角形的面积公式可求bc，然后由a+b+c=20以及余弦定理，即可求a．详解：由题意可得，S△ABC=bcsinA=bcsin60°∴bcsin60°=10∴bc=40∵a+b+c=20∴20﹣a=b+c．由余弦定理可得，a2=b2+c2﹣2bccos60°=（b+c）2﹣3bc=（20﹣a）2﹣120解得a=1．故选A．点睛：本题综合考查正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式等知识的综合应用，解题的关键是灵活利用公式．考查计算能力．5、B【解析】分析：根据判断框的条件确定退出循环体的k值，再根据框图的流程确定算法的功能，利用约分消项法求解．详解：由题可知：此时输出S=故选B.点睛：本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能以及对对数公式的准确运用是关键．属于基础题.6、B【解析】

首先判断充分性可代特殊值，然后再判断必要性.【详解】当时，令，此时，所以不是充分条件；反过来，当时，可得，且，即，所以是必要条件，是的必要不充分条件，故选B.本题考查必要不充分条件，根据必要不充分条件的判断方法判断即可.7、B【解析】

通过与表中的数据6.635的比较，可以得出正确的选项.【详解】解:，可得有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关”，故选B.本题考查了独立性检验的应用问题，属于基础题.8、B【解析】分析：先根据图像求出，即得，也即得结果.详解：因为当时，，所以当时，，所以的单调减区间是，选B.点睛：函数单调性问题，往往转化为导函数符号是否变号或怎样变号问题，经常转化为解方程或不等式.9、A【解析】

由“三角形法则”和“平行四边形法则”是向量的加减法的运算法则，由此易得出正确选项．【详解】因为“三角形法则”和“平行四边形法则”是向量的加减法的运算法则，故应该放在“向量的加减法”中“运算法则”的下位．故选A．本题考查知识结构图，向量的加减法的运算法则，知识结构图比较直观地描述了知识之间的关联，解题的关键是理解知识结构图的作用及知识之间的上下位关系．10、D【解析】

通过分析可知程序框图的功能为计算，根据最终输出时的值，可知最终赋值时，代入可求得结果.【详解】根据程序框图可知其功能为计算：初始值为，当时，输出可知最终赋值时本题正确选项：本题考查根据程序框图的功能计算输出结果，关键是能够明确判断出最终赋值时的取值.11、B【解析】分析：直接利用复数的除法的运算法则化简求解即可．详解：则复数的共轭复数是.故选C.点睛：本题考查复数的除法的运算法则的应用，复数的基本概念，是基础题．12、C【解析】

设点，由结合两点间的距离公式得出点的轨迹方程，将问题转化为双曲线与点的轨迹有个公共点，并将双曲线的方程与动点的轨迹方程联立，由得出的取值范围，可得出答案．【详解】依题意可得，设，则由，得，整理得.由得，依题意可知，解得，则双曲线C的虚轴长.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、1【解析】

先求出二项式的展开式的通项公式，令的指数等于，求出的值，即可求得展开式中的项的系数，再根据的系数是列方程求解即可.【详解】展开式的的通项为，令，的展开式中的系数为，故答案为1.本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题.二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.14、【解析】

基本事件总数n＝＝10，抽中的2人不全是女生包含的基本事件个数m＝＝7，由此能求出抽中的2人不全是女生的概率．【详解】解：从2个男生、3个女生中随机抽取2人，基本事件总数n＝＝10，抽中的2人不全是女生包含的基本事件个数m＝＝7，∴抽中的2人不全是女生的概率p＝．故答案为：．本题考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15、【解析】以△为底面，则易知三棱锥的高为1，故16、【解析】

结合所给信息，构造，利用系数相等可求.【详解】因为，则两个展开式中的系数也相等，在中的系数为，而在中的系数为，所以可得.本题主要考查二项式定理的应用，精准理解题目所给信息是求解关键，侧重考查数学抽象和数学建模的核心素养.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）-3，2【解析】分析：（1）利用复数乘法的运算法则以及共轭复数的定义化简，利用复数模的公式求解即可；（2）利用复数除法的运算法则将，化为，由复数相等的性质可得，从而可得结果.详解：（1）∵，∴.∴，∴；（2）∵，∴.∴，解得，∴，的值为：-3，2.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分18、(1)见解析;(2)(0，【解析】试题分析：（Ⅰ）根据直线与平面平行的判定定理，需在平面PCD内找一条与MN平行的直线.结合题设可取取PD中点Q，连接NQ,CQ，易得四边形CQNM为平行四边形，从而得MN//CQ，问题得证.（Ⅱ）思路一、首先作出二面角的平面角，即过棱BC上一点分别在两个平面内作棱BC的垂线.因为AB=AC=1，点M分别为BC的中点，则AM⊥BC.连接PM，因为PA⊥平面ABCD，所以AM是PM在面ABC内的射影，所以PM⊥BC，所以∠PMA即为二面角P-BC-A的平面角.再作出直线AC与平面PBC所成的角，即作出AC在平面PBC内的射影.由PM⊥BC，AM⊥BC且AM∩PM=M得BC⊥平面PAM，从而平面PBC⊥平面PAM.过点A在平面PAM内作AH⊥PM于H，根据面面垂直的性质知AH⊥平面PBC．连接CH，于是∠ACH就是直线AC与平面PBC所成的角．在Rt△AHM及Rt△AHC中，找出∠PMA与α的关系，即可根据α的范围求出∠PMA的范围.思路二、以所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量亦可求解.试题解析：（Ⅰ）证明：取PD中点Q，连接NQ,CQ，因为点M,N分别为BC,PA的中点，所以NQ//AD//CM,四边形CQNM为平行四边形，则MN//CQ又MN⊆平面PCD，CQ⊆所以MN//平面PCD.（Ⅱ）解法1：连接PM，因为AB=AC=1，点M分别为BC的中点，则AM⊥BC又PA⊥平面ABCD，则PM⊥BC所以∠PMA即为二面角P-BC-A的平面角又AM∩PM=M，所以BC⊥平面PAM，则平面PBC⊥平面PAM过点A在平面PAM内作AH⊥PM于H，则AH⊥平面PBC．连接CH，于是∠ACH就是直线AC与平面PBC所成的角，即∠ACH=α．在Rt△AHM中，AH=2在Rt△AHC中，CH=sinα，∵0<α<π∴0<sinθ<1又0<φ<π2，即二面角P-BC-A取值范围为(0，解法2：连接PM，因为AB=AC=1，点M分别为BC的中点，则AM⊥BC又PA⊥平面ABCD，则PM⊥BC所以∠PMA即为二面角P-BC-A的平面角，设为θ以所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0于是，PM=(12，1设平面PBC的一个法向量为n=(x，则由n·BC得-x+y=0可取n=(1，1，于是sinα=|∵0<α<π∴0<sinθ<1又0<φ<π2，即二面角P-BC-A取值范围为(0，考点：1、空间直线与平面的位置关系；2、二面角.19、（1）（2）【解析】

（1）先后利用正弦定理余弦定理化简得到，即得B的大小；（2）设，则，所以，利用余弦定理求出m的值，再求的面积.【详解】解：（1）因为，由正弦定理，得，即.由余弦定理，得.因为，所以.（2）因为，所以.设，则，所以.在中，由余弦定理得，得，即，整理得，解得.所以.本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角形的面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.20、（1）P(A)=139165【解析】分析：（1）设“从100户中任意抽取2户，至少1户月用电量为第二阶梯”为事件A，利用对立事件可求P(A).（2）从全市任取1户，抽到用电量为第二阶梯的概率P=6则X～B(3,35)，即可求出详解：（1）设“从100户中任意抽取2户，至少1户月用电量为第二阶梯”为事件A，则P(A)=1-C（2）从全市任取1户，抽到用电量为第二阶梯的概率P=6所以X～B(3,35)X的分布列为X0123P(X=k)8365427E(X)=3×3点睛：本题考查离散型随机变量分布列及其期望的求法，考查古典概型，属基础题.21、（1）；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）由题意便知需命中2次引爆油罐，且第二次命中时停止射击，这样可设Ai=“射击i+1次引爆油罐”，i=1，2，3，4，根据符合二项分布的变量的概率的求法及独立事件同时发生的概率的求法即可求出油罐被引爆的概率；

（2）根据题意知变量ξ的取值为2，3，4，5