2023北京初三二模数学试题汇编：二次函数

2023北京初三二模数学汇编

二次函数

一、单选题

1.（2023•北京顺义•统考二模）某超市一种干果现在的售价是每袋30元，每星期可卖出100袋，经市场调研

发现，如果在一定范围内调整价格，每涨价1元，每星期就少卖出5袋.已知这种干果的进价为每袋20

元，设每袋涨价X（元），每星期的销售量为y（袋），每星期销售这种干果的利润为z（元）.则y与X,

z与X满足的函数关系分别是（）

A.一次函数，二次函数B.一次函数，反比例函数

C.反比例函数，二次函数D.反比例函数，一次函数

二、解答题

2.（2023•北京西城・统考二模）在平面直角坐标系尤Oy中，点区,%）,（%，%）都在抛物线

2

y=ax-2czr+8（a<0）_h,且l-m<x2<m+7.

⑴当m=-2时，比较％,上的大小关系，并说明理由；

（2）若存在4，巧，满足/=%，求加的取值范围.

3.（2023•北京石景山•统考二模）2023年4月16日，世界泳联跳水世界杯首站比赛在西安圆满落幕，中国

队共收获9金2银，位列奖牌榜第一.赛场上运动员优美的翻腾、漂亮的入水令人赞叹不已.在10米跳

台跳水训练时，运动员起跳后在空中的运动路线可以看作是抛物线的一部分.建立如图所示的平面直角坐

标系，从起跳到入水的过程中，运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离X（单位：m）近似满足函

数关系y=a（^x-h）2+k（a<0）.

小意图

某跳水运动员进行了两次训练.

（1）第一次训练时，该运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下:

水平距离x/m00.20.40.60.81.62.0

竖直高度y/m10.0010.4510.6010.4510.005.201.00

①根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系y=a（x-/z『+Ma<0）；

②运动员必须在距水面5m前完成规定的翻腾动作并调整好入水姿势，否则就会出现失误.在这次训练

中，测得运动员在空中调整好入水姿势时，水平距离为1.6m,判断此次跳水会不会出现失误，并说明理

由；

（2）第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离X近似满足函数关系y=-4.16（x-0.38）2+10.60.如

图，记该运动员第一次训练的入水点为A,若运动员在区域48内（含A,8）入水能达到压水花的要求，

则第二次训练达到要求（填“能”或“不能”）.

4.（2023•北京平谷・统考二模）某公园有一座漂亮的五孔桥，如图所示建立平面直角坐标系，主桥洞右与

两组副桥洞分别位于y轴的两侧成轴对称摆放，每个桥洞的形状近似的可以看作抛物线，主桥洞右上，y

与x近似满足函数关系y=ax2+c（a^0）.经测量在主桥洞匕上得到x与y的几组数据：

AOBx

x（米）-1.4-1011.4

y（米）1.021.521.51.02

根据以上数据回答下列问题：

（1）求主桥洞乙的函数表达式；

2

（2）若％的表达式：%=W-5（X-4）2+0.98,右的表达式：y3=-0.5（x-/z2）+0.5,求五个桥洞的总跨度

A8的长.

5.（2023・北京顺义・统考二模）某架飞机着陆后滑行的距离》（单位：m）与滑行时间x（单位：s）近似

满足函数关系>=ox?+bx（aN0）.由电子监测获得滑行时间x与滑行距离》的几组数据如下：

滑行时间x/s0246810

滑行距离y/m0114216306384450

（1）根据上述数据，求出满足的函数关系式y=a^+bx（a丰0）；

（2）飞机着陆后滑行多远才能停下来？此时滑行的时间是多少？

6.（2023・北京大兴•统考二模）“急行跳远”是田径运动项目之一.运动员起跳后的腾空路线可以看作是抛物

线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到落入沙坑的过程中，运动员的竖直高度y（单位:

山）与水平距离尤（单位：加）近似满足函数关系y=。（尤+%（“<0）.

（1）第一次训练时，该运动员的水平距离尤与竖直高度y的几组数据如下:

水平距离x/m011.522.53

竖直高度y/m00.750.937510.93750.75

根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系y=a（x-/7）2+%（a<0）；

（2）第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y=-0.25（x-2.2）2+1.21.记该

运动员第一次训练落入沙坑点的水平距离为4,第二次训练落入沙坑点的水平距离为由，则4

d2（填或

7.（2023•北京朝阳•统考二模）在平面直角坐标系无Oy中，点（-1,乂）在抛物线y=Y-融上.

（1）求％的值（用含a的式子表示）；

（2）若a<—l,试说明：％<0；

⑶点（1，%），5-2,〉3）在该抛物线上，若y?，片中只有一个为负数，求a的取值范围.

8.（2023•北京海淀・统考二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线丫=加+区+。+2（。>0）过点

（1,467+2）.

（1）求该抛物线的顶点坐标；

（2）过该抛物线与〉轴的交点作y轴的垂线/,将抛物线在y轴右侧的部分沿直线/翻折，其余部分保持不

变，得到图形G,N（-l+a,%）是图形G上的点，设

①当。=1时，求/的值；

②若6<f<9,求。的取值范围.

9.（2023•北京海淀•统考二模）小明发现某乒乓球发球器有“直发式”与“间发式”两种模式.在“直发式”模式

下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线；在“间发式”模式下，球从发球器出

口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，球第一次接触台面到第二次接触台面的运动轨迹近似为

一条抛物线.如图1和图2分别建立平面直角坐标系xOy.

图1直发式图2间发式

通过测量得到球距离台面高度y（单位：dm）与球距离发球器出口的水平距离X（单位：dm）的相关数

据，如下表所示：

表1直发式

x(dm)02468101620

y(dm)3.843.9643.96m3.642.561.44

表2间发式

x(dm)024681012141618

y(dm)3.36n1.680.8401.402.4033.203

根据以上信息，回答问题：

（1）表格中机=,"=;

（2）求“直发式”模式下，球第一次接触台面前的运动轨迹的解析式；

（3）若“直发式”模式下球第一次接触台面时距离出球点的水平距离为4“间发式”模式下球第二次接触台面时

距离出球点的水平距离为乙，则4d2（填，或

10.（2023•北京顺义统考二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线》=依2-2片》一3（。70）.

（1）求该抛物线的对称轴（用含。的式子表示）；

（2）若。=1,当-2<x<3时，求y的取值范围；

⑶已知A（2a-1，M）,C（a+2,%）为该抛物线上的点，若％<%<当，求。的取值范围.

11.（2023•北京平谷・统考二模）已知抛物线y=*+2fx,若点尸加（加,力）在抛物线

上.

（1）该抛物线的对称轴为（用含/的式子表示）；

⑵若当帆=2时，％=0，贝h的值为;

⑶若对于时，都有％<为<%，求/的取值范围.

12.（2023•北京朝阳•统考二模）图1是一块铁皮材料的示意图，线段A3长为4dm,曲线是抛物线的一部

分，顶点C在的垂直平分线上，且到A5的距离为4dm.以A8中点。为原点，建立如图2所示的平面

直角坐标系.

（1）求图2中抛物线的表达式（不要求写出自变量的取值范围）；

（2）要从此材料中裁出一个矩形，使得矩形有两个顶点在川上，另外两个顶点在抛物线上，求满足条件的

矩形周长的最大值.

13.（2023・北京大兴•统考二模）在平面直角坐标系无Oy中，点（2,1）在抛物线、=依2+施+1（。＞0）上.

（1）求抛物线的对称轴；

⑵已知点点8（3,〃）在抛物线上，若对于fVXoWf+1,都有机＜〃，求f的取值范围.

14.（2023•北京东城・统考二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=«?+笈+1（°关0）的对称轴是直线

x=3.

（1）求出该抛物线的顶点坐标（用含。的式子表示）；

⑵当。＞0时，对于任意的正数乙若点（3T,%）,（3+2/,%）在该抛物线上，贝I%%（填“或

"=”）；

（3）已知点A（0,3）,3（7,3）.若该抛物线与线段AB恰有一个公共点，求。的取值范围.

15.（2023•北京房山・统考二模）排球场的长度为18m,球网在场地中央且高度为2.24m.排球出手后的运

动路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，排球运动过程中的竖直高度y（单

位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系，=。食-//）2+笈（。＜0）.

球网

O1

9m：9mI

左边界右边界

（1）某运动员第一次发球时，测得水平距离X与竖直高度y的几组数据如下:

水平距离x/m02461112

竖直高度y/m2.482.722.82.721.821.52

①根据上述数据，求这些数据满足的函数关系y=a{x-hY+k（a＜0）；

②判断该运动员第一次发球能否过网（填“能”或“不能”）.

（2）该运动员第二次发球时，排球运动过程中的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足

函数关系y=-0.025-4>+2.88,请问该运动员此次发球是否出界，并说明理由.

16.(2023•北京房山・统考二模)平面直角坐标系xOy中，抛物线y=依?-4x+3a的对称轴为直线X=".

(1)若抛物线经过点(1,0),求。和”的值；

(2)若抛物线上存在两点A(x1,/n)和B(x2,m+1),玉=".

①判断抛物线的开口方向，并说明理由；

②若I%-西区1,求。的取值范围.

参考答案

1.A

【分析】设每袋涨价x(元)，每星期的销售量为y(袋)，每星期销售这种干果的利润为z(元)根据题

意列出y与x,z与x的函数关系式，即可求解.

【详解】解：设每袋涨价x(元)，每星期的销售量为y(袋)，每星期销售这种干果的利润为z(元)根

据题意得，

y=100-5元是一次函数，

z=(30-20+x)(100-5x)=(10-x)(100-59=5/一150彳+1000是二次函数，

故选：A.

【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的应用，根据题意列出函数关系式解题的关键.

2.(1)%>旷2,理由见解析

(2)m>-2

【分析】(1)当“=-2时，3<%<5,将抛物线解析式化为顶点式，得到对称轴，根据々，巧的大小判断

与对称轴的距离，结合。<0,即可得出答案；

(2)根据二次函数图像开口向下，1-根<々<m+7,可得相>-3,再根据满足%=%，可得1-根<3,

由此即可求解.

【详解】(1)解：%>%，理由如下，

y=ax2_2ot+8=a(x-l)-+8-q,

.•.抛物线的对称轴是直线％=i,二次函数图像的开口向下，在对称轴的左边y随x的增大而增大，在对称

轴的右边y随x的增大而减小，

•.,当-1〈尤1<2时，％=—1时，%的值最小，

%>ax(—1)~—2ax(—1)+8,即%>3a+8,

当机=—2时，3<x2<5,

则当3<%<5时，x=3时，丫2有最大值，

。x3?—2。x3+8,艮口％<3。+8,

.•.当-1<%<2时的最小值大于3<%<5时的最大值，

>必.

(2)解：Vl-m<x2<m+1,

/.l—m<m+7,

m>-3,

:存在毛，巧，满足%=%，且-1<X]<2,

1—m<3,

m>-2,

综上所述，加的取值范围相>-2.

【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是根据二次函数的对称性找巧的取值范围.

3.⑴①10.60m,y=-3.75（x-0.4）2+10.60；②此次跳水不会出现失误，理由见解析

⑵不能

【分析】（1）①先根据对称性求出抛物线对称轴，进而求出顶点坐标，然后利用待定系数法求出抛物线解

析式，进而求出最高点的距离即可；②求出当x=1.6时，y的值即可得到答案；

（2）分别求出两次入水点的位置即可得到答案.

【详解】（1）解：①由表格中的数据可知当x=0.2时，）=1045,当x=0.6时，>=10.45,

抛物线对称轴为直线x=0-2+°-6=0.4,

2

.••抛物线顶点坐标为（0410.60）,

•*.抛物线解析式为y=a（x-0.4）2+10.60,

把x=0.2,y=10.45代入得：10.45=a（0.2-0.4）2+10.60,

角牟得a=—3.75,

/.抛物线解析式为y=-3.75（x-0.4）2+1060

•••抛物线开口向下，

,该运动员竖直高度的最大值为10.60m；

②此次跳水不会出现失误，理由如下：

当x=1.6时，y=-3.75（1.6-0.4）2+10.60=5.2,

5.2>5,

此次跳水不会出现失误；

（2）解：在y=-3.75（x-0.4y+10.60中，当y=0时，贝I]-3.75（x-0.4）2+10.60=0,

解得/2.08或x=-1.28（舍去），

4（2.08,0）

在丫=^.16（*-0.38）2+10.60中，当丫=0时，则Y16（X-0.38）2+10.60=0,

解得x=L98或xa—1.22（舍去），

第二次入水的位置的水平距离为1.98米，

V1.98<2.08,即第二次入水的位置在店A的左侧，

第二次训练不能达到要求，

故答案为：不能.

【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意求出对应的函数关系式是解题的关键.

4.⑴y=-0.5尤2+2

（2）五个桥洞的总跨度AB的长为13.6米

【分析】（1）由表可知，抛物线右的顶点坐标为（0,2）,设抛物线右的解析式为丁=依?+2待定系数法求二

次函数解析式即可求解；

（2）根据二次函数的平移，分别令>=。，y=L02,y=L5,求得每个桥洞的跨度即可求解.

【详解】（1）由表可知，抛物线右的顶点坐标为（0,2）

.••抛物线L的解析式为y=6?+2

•••抛物线过点（1,1.5）.解得a=-0.5

y=—0.5x?+2

⑵令y=0,-0.5d+2=0

解得：匕=-2,x2=2,

：.MN=4-,

22

：4的表达式：y2=-0.5（X-/?!）+0.98,4的表达式：y3=-0.5（%-^）+0.5

由题意抛物线L2与抛物线EF之间的部分重合，

即将>=-0.5/+2向下移动2-0.98=1.02

当y=1.02时，-0.5X2+2=1.02

解得：网=一1.4,尤？=L4,

:.EF=2.8；

由题意抛物线J与抛物线Lx上CD之间的部分重合，

即将y=-0.5x2+2向下移动2-0.5=1.5,

当y=L5时，-o.5d+2=1.5

解得：％=-1,x2=l,

：.CD=2

4+2x2.8+2x2=13.6

五个桥洞的总跨度43的长为13.6米.

【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用，画二次函数的图像，理解题意，灵活的运用抛物线的对称性

解题是关键.

3

5.（l）y=--X2+60X

（2）飞机着陆后滑行600m才能停下来，此时滑行的时间是20s

【分析】（1）利用待定系数法确定函数关系式；

（2）根据题意和二次函数的性质，当滑行距离取最大值时求出对应的滑行时间即可.

【详解】（1）解：根据表格可以得出函数图像过点（2,114）,（4,216）,

.卜。+26=114

,•116〃+4。=216'

3

ci=—

斛得：“2,

b=60

二函数关系式为：j=-1x2+60.r.

（2）根据题意，飞机着陆后滑行一段距离停下来，此时滑行距离y取得最大值，

.函数关系式为〉=一；/+60%，且一;<0,

工_60_203

当2x1—3]时，M^®^=--x202+60x20=600,

.•.飞机着陆后滑行600m才能停下来，此时滑行的时间是20s.

【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，求出二次函数的函数关系式.

6.（l）lm；y=-0.25（x-2）2+l

（2）<

【分析】（1）根据当x=l时与当x=3时所对应的函数值相等可知对称轴为直线x=2,从而得到该运动员

竖直高度的最大值为1米，利用顶点式可求函数关系式；

（2）分别求出4、d2,再比较大小即可.

【详解】（1）解：由表格可知，当x=l时与当x=3时所对应的函数值相等，

对称轴为：直线x=—1+3=2,

2

•••该运动员竖直高度的最大值为1.

抛物线的顶点为（2,1）.

则抛物线解析式为>=。（尤-2）2+1（a<0）.

：当x=0时，y=0,

0=a（0-2）2+l,解得a=-0.25.

二抛物线的解析式为y=-0.25（x-2）2+l.

（2）令y=-0.25（x-2y+l=0

解得：玉=0,%=4,

4=4.

又令y=_0.25（x-2.2）2+1.21=0,

x=

解得：i0,x2=4.4,

d2=4.4

4<4.4,

..,

故答案是：<.

【点睛】本题考查二次函数的应用，二次函数与无轴的交点问题，掌握待定系数法和求与尤轴的交点是解

题的关键.

7.⑴%=〃+1

（2）见解析

（3）a<-l或l<aV2

【分析】（1）直接把（-1,%）代入抛物线解析式中求解即可；

（2）先求出“+1<0,再由%=。+1,即可得到％<0；

（3）先求出%=1-小％=4-2〃，然后分类讨论。的取值范围，根据%,内，％中只有一个为负数进行

求解即可.

【详解】（1）解：把（一1,%）代入y=中得：x=（_l）2+a=a+i；

（2）解：由（1）得％=。+1,

•「QV-L,

Q+1<0,

・・・/<。；

（3）解：•.•点。,%），（。-2,必）在该抛物线上，

•■必=1—a，乃=（。—2）~—a（a—2）=4—2a；

当a<-L时，x<0符合题意；

当”=一1时，不符合题意；

当一1<。<0时，0<%<%<为，不符合题意；

当。=0时，。<%=%<%，不符合题意；

当0<°<1时，％>0,%>0,%>0,不符合题意；

当a=l时，Vi>0,j2=0,y3>0,不符合题意；

当1<。<2时，>0,y2<0,%>0,符合题意；

当a=2时，％>0,%<。，%=。，符合题意；

当。>2时，％>。，y2<0,%<。，不符合题意；

综上所述，a<-l^l<a<2.

【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，熟知二次函数图象上的点一定满足对应函数的函数解析式是解

题的关键.

8.⑴顶点为（-L2）,

⑵①f=6；②IWawg

【分析】（1）将点（1,4。+2）代入y=a/+6x+a+2中，得出6=2°,进而将解析式化为顶点式，即可求

解；

（2）①根据解析式得出抛物线与丫轴交点为（0,3）,当°=1时加（-2,%）,N（0,%）,进而求得

%=3,%=3,即可求解；

②y=+法+。+2与y轴交于点+2）,抛物线在y轴右侧的部分关于直线y=。+2翻折可得

y=-ax1-2ax+a+2（x>0）,M（T-a,yJ在对称轴的左侧，加（一1一。,M），N（-l+a,%）关于x=-l对

称，分0<aVl,«>1,分别求得力,力,根据题意解不等式即可求解.

【详解】（1）解：将点（l,4a+2）代入>=依2+爪+。+2中，得

〃+人+〃+2=4〃+2

解得：b=2a

抛物线解析式为y=必2+2ox+Q+2=a（%+l）2+2

・・・对称轴为直线x=-1,顶点为（-1,2）,

（2）①当a=l时，y=X2+2x+3,

当x=0时，y=3,

・,•抛物线与》轴交点为（0,3）,

•.•/（一1一/乂），N（—l+。,%）是图形G上的点，

即2,%）,N（0,%）

二.％=4-4+3=3,%=3

;・％=M+%=3+3=6；

②y=ax2+bx+a+2,当x=0时，y=a+2,

y=ax2+bx+Q+2与J7轴交于点（0,〃+2）,

・•・抛物线在>轴右侧的部分关于直线y=a+2翻折可得y=-ax2-2ax+a+2（x>0）

•・•对称轴为直线x=-1

.・."（-1-。,乂）在对称轴的左侧，

—1—a）+2Q（—1—a）+a+2=+2,

—N（—l+a,%）关于1=—1对称

/.当一1<一1+〃《0,即0<aW1时，即%=必=+2

.,./=%+%=2a3+4

,?0<a<l

t<6,

当—1+a>0,即a>1日寸，y,=—a(—1+a)—2a(—l+a)+a+2=—+2a+2,

f=y+%=2a+4,

6<t<9,

6<2a+4<9,

解得：IWaW：

【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.

9.(1)3.84,2.52

(2)y=-0.01(x-4)2+4

6)=

【分析】(1)根据直发式”模式下，表1数据，可知对称轴为直线x=4,根据对称性即可求得加的值，根

据在“间发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，待定系数法求直线

解析式，进而将x=2代入即可求解.

(2)根据题意设抛物线解析式为y=a(x-4y+4,将点(0,3.84)代入，待定系数法求二次函数解析式即可

求解.

(3)令，=0,即-0.01(x-4y+4=0,得出4=24,设抛物线解析式为％=q(x-16)2+3.20,将点(8,0)

代入，得出M=-0.05(x-16y+3.20,令y=0,BP-0.05(x-16)2+3.20=0,得出4=24,即可求解.

【详解】(1)解：：直发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线;

由表1数据，可知对称轴为直线x=4,

...当x=8时的函数值与x=0时的函数值相等，

m—3.84,

:在“间发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，设直线解析式为

y=kx-\-b,

将点（0,3.36）,（4,1.68）代入得，

=3.36

14左+8=1.68'

y=-0.42%+3.36,

当％=2时，y——0.42x2+3.36=2.52,

故答案为：3.84,2.52.

（2）“直发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线；

由（1）可得对称轴为x=4,顶点坐标为（4,4）,

设抛物线解析式为y=a（x-4y+4,将点（0,3.84）代入，

得，3.84=16。+4

解得：a=—0.01

/.抛物线解析式为y=-0.01（x-4）2+4

（3）解：♦.•“直发式”模式下，球第一次接触台面前的运动轨迹的解析式为y=-0.01（x-4）2+4,

令y=0,BP-0.01（X-4）2+4=0,

解得了=-16（舍去）或x=24

工4=24,

•・,在“间发式”模式下，球第一次接触台面到第二次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线，

由表2可得抛物线的顶点坐标为（16,3.20）

设抛物线解析式为％=«（X-16）2+3.20,将点（8,0）代入，

得，0=64a+3.20

解得：a=-0.05

抛物线解析式为X=-0.05（元-16）2+3.20

令y=0,即-0.05（x-16）2+3.20=0,

解得九=8（舍去）或x=24

=24,

..4=4,

故答案为：=.

【点睛】本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的

关键.

10.(1)直线无=。

⑵-4Vy<5

(3)a<-l

【分析】(1)根据对称轴公式即可求解；

(2)根据-2<x<3,x=-2比x=3距离对称轴远，分别求得彳=1,-2时的函数值即可求解；

(3)根据题意得出8(。，为)为抛物线的顶点，a<0,C(a+2,%)在对称轴的右侧，分当A(2a-1，X)在对称

轴的左侧时，当在对称轴的右侧时，列出不等式，解不等式即可求解.

【详解】⑴解：抛物线尸加一2a2尸3("0)的对称轴为直线了=-彳，=%

(2)解：'：a=1,

•••抛物线解析式为y=/-2x-3,对称轴为直线x=l,开口向上，

-2<x<3,x=-2比x=3是巨离对称车由远，

...尤=1时，y的最小值为1—2—3=T,

当x=-2时，y=5,

...当—2<x<3时，求y的取值范围为T4y<5；

(3)解：：/<为<%，8(°,%),对称轴为直线x=a,

・・・贝〃,%)为抛物线的顶点，a<0,。(。+2,%)在对称轴的右侧，

当A(2a—1,在对称轴的左侧时,ci—(2a—l)>(a+2)—a

av—1

当A(2a—I,%)在对称轴的右侧时，2a-\>a+2

a>3,不合题意，舍去

・・QV—1.

【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.

11.(l)x=Z

(2)1

4

或(>6

【分析】(1)将抛物线解析式化成顶点式，即可得出抛物线对称轴；

(2)把M(2,0)代入户-/+2比，得0=_22+%X2,求解即可；

(3)分类讨论：当三一1时，当-14仁0时，当0</<2时，当出2时，分别求解即可.

【详解】(1)解：y=—f+2tr=—(X?—2zx)=—(x—f)—t2,

...抛物线的对称轴为直线x=r.

（2）解：当〃7=2时，%=0,

M（2,0）,

把M（2,0）代入y=-犬+2及，得

0=-22+2/x2,解得：t=\.

（3）解：当，<-1时，：。=-1<0,

.,.在对称轴右侧，y随尤的增大而减小，

V2<m<3,尸M（m,y3）,

A-l<m,即点P和点M在对称轴右侧，

.,.%>%，不符合题意；

当一1V/V0时，Va=-l<0,

X'-'2<m<3,尸M（w,y3）,

...点P在对称轴左侧，点M在对称轴右侧，点P到对称轴的距离比点M到对称轴的距离近，

二%>丫3，不符合题意；

当0</<2时，：a=-L<0,P（T，M）,。\，必），

若X<%<%，则点M到对称轴的距离大于点Q到对称轴的距离，小于点P到对称轴的距离,

t—<m—t<1+1,

2

2<m<3,

4

•二1</<—；

3

当才22时，,.・〃=—1<0,P（T，X）,M（m,y3）,

若％<%<%，则点〃到对称轴的距离大于点Q到对称轴的距离,

2<m<3,

t>69

,4.

综上，或方>6.

【点睛】本题考查抛物线的图象性质，熟练掌握根据抛物线的函数值大小和增减性求参数取值范围是解题

的关键.

12.（l）y=——+4

⑵10

【分析】（1）先求出抛物线顶点C的坐标为（0,4）,A的坐标为（-2,0）,然后利用待定系数法求解即可；

（2）先证明G、“关于抛物线对称轴对称，则E、/关于抛物线对称轴对称，设点尸的坐标为（桃0）,则

G（m,-m2+4）,求出所=2版GF=-m2+4,根据矩形周长公式列出矩形周长与小的二次函数关系式，

利用二次函数的性质求解即可.

【详解】（1）解：由题意得抛物线顶点C的坐标为（0,4）,A的坐标为（-2,0）,

设抛物线解析式为y=a/+4,

4a+4=0,

解得。=-1,

.♦・抛物线解析式为y=-V+4；

（2）解：如图所示，：四边形EFGH是矩形，

/.EF//GH,

,:E、1都在x轴上,

GH〃x轴，

；.G、“关于抛物线对称轴对称，

；.E、/关于抛物线对称轴对称，

设点F的坐标为（加,0）,则G^nb-m2+4）,

E（-加,0）,H+4）,

EF=2m,G歹=-〃/+4,

矩形EFGH的周长=2EF+IGF

=—2m2+8+4m

=-2（/H-1）2+10,

V-2<0,

.•.当m=1时，矩形£FG”的周长有最大值10.

【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，矩形的性质，正确理解题意并熟练掌握二次函数的相关知

识是解题的关键.

13.（l）x=l

⑵-l<r<2

【分析】（1）将点（2,1）代入〉=办2+法+1（。>0）,得到6=_2a,即可求得抛物线的对称轴；

（2）根据抛物线对称性可得点B关于对称轴的对称点坐标为（T"），根据抛物线的性质可得-1</<3,

即可求得.

【详解】（1）解：将点（2,1）代入丁=依2+版+1（°>0）

得：4。+26+1=1

整理得：b^-2a

.,.对称轴为：x=-，=--='=1

2a2a

...抛物线的对称轴为直线x=l.

⑵解：•.•B（3,w）

；•点B关于对称轴的对称点坐标为（-1.«）,

'：a>0

•••抛物线开口向上，

;点A（Xo，〃z）,3（3,〃）在抛物线上，且根<"

—1<x0<3,

t<xQ<t+l

[?+l<3

解得—l<t<2.

【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，根据二次函数的对称性求值，二次函数的图象和性

质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质.

14.⑴（3,-9。+1）

Q）<

2、2

（3）a=--^a>—

【分析】（1）根据抛物线,="2+陵+1（々。0）的对称轴是直线％=3,可得出：b=-6a,再计算当X=3

时，丁的值即可得出答案；

（2）根据>=加+笈+1（。>0）,抛物线开口向上，即可得出抛物线上的点距离抛物线对称轴越远，函数

值越大，分别算出点（3T,y）和点（3-2r,%）距离对称轴x=3的距离即可比较%、X的大小；

（3）由6=-6“可以得出y=办2-6办+1（。力0）,再分〃<（）、a>0,进行讨论即可得出答案.

【详解】（1）...抛物线y="2+Zzx+l（awO）的对称轴是直线尤=3,

2a

••b——6a,

当x=3时，y=9a+3〃+l=9Q+3M-6a）+l=—9a+l,

2

，抛物线y=ax+bx+l(a^0)的顶点坐标是(3,-9a+1)；

(2)Vy-ax2+bx+l(^a>0),

•••抛物线开口向上，

距离抛物线对称轴越远，函数值越大，

点(3-")距离对称轴x=3的距离为：|3--3|=f,

点(3-2t,%)距离对称轴x=3的距离为:|3-2/-3|=卜24=2/,

Vf>0,

2t>t,

A(3-2t,%)距离对称轴x=3比(3T,y)距离对称轴x=3更远，

J必<必，

故填：<:

(3)Vb=—6a,

/.y=ax1-6ox+l(aw0),

当a<0时，

・・・抛物线y=a?—6办+1(。w。