新疆生产建设兵团一师高中2025届高二下数学期末统考试题含解析

新疆生产建设兵团一师高中2025届高二下数学期末统考试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．2．甲、乙、丙三位同学独立的解决同一个间题，已知三位同学能够正确解决这个问题的概率分别为、、，则有人能够解决这个问题的概率为（）A． B． C． D．3．已知定义域为正整数集的函数满足，则数列的前项和为（）A． B． C． D．4．下面是关于复数（i为虚数单位）的四个命题：①对应的点在第一象限；②；③是纯虚数；④．其中真命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．45．已知定义在R上的奇函数，满足，且在上是减函数，则（）A． B．C． D．6．（）A．0 B． C．1 D．27．已知函数，且，则=（）A． B．2 C．1 D．08．若函数在其定义域内的一个子区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．9．已知函数的导函数为，若，则函数的图像可能是()A． B． C． D．10．已知点，则它的极坐标是（）A． B．C． D．11．是（）A．最小正周期为的偶函数 B．最小正周期为的奇函数C．最小正周期为的偶函数 D．最小正周期为的奇函数12．用数学归纳法证明过程中，假设时，不等式成立，则需证当时，也成立，则（）A． B．C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．一个总体有200个个体，利用系统抽样的方法抽取一个容量为20的样本，则分组间隔为___________.14．复数（是虚数单位）的虚部是______．15．曲线在处的切线方程为__________.16．，，则__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知，其前项和为.（1）计算；（2）猜想的表达式，并用数学归纳法进行证明.18．（12分）第18届国际篮联篮球世界杯将于2019年8月31日至9月15日在中国北京、广州等八座城市举行.届时，甲、乙、丙、丁四名篮球世界杯志愿者将随机分到、、三个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者.（1）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；（2）设随机变量为这四名志愿者中参加岗位服务的人数，求的分布列及数学期望.19．（12分）如图，在四棱锥中，四边形为平行四边形，，平面，，.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值.20．（12分）某校开设的校本课程分别有人文科学、自然科学、艺术体育三个课程类别，每种课程类别开设课程数及学分设定如下表所示：人文科学类自然科学类艺术体育类课程门数每门课程学分学校要求学生在高中三年内从中选修门课程，假设学生选修每门课程的机会均等.（1）求甲三种类别各选一门概率；（2）设甲所选门课程的学分数为，写出的分布列，并求出的数学期望.21．（12分）若一圆锥的底面半径为4，体积是.（1）求该圆锥的母线长；（2）已知该圆锥的顶点为，并且、为圆锥的两个母线，求线段长度为何值时，△的面积取得最大值？22．（10分）甲、乙两队进行一场排球比赛，根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为.本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束.设各局比赛相互间没有影响且无平局.求：（1）前三局比赛甲队领先的概率；（2）设本场比赛的局数为，求的概率分布和数学期望.(用分数表示)

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

对任意的，恒成立对任意的，恒成立，对任意的，恒成立，参变分离得到恒成立，再根据对勾函数的性质求出在上的最小值即可．【详解】解：对任意的，，即恒成立对任意的，恒成立，对任意的，恒成立，恒成立，又由对勾函数的性质可知在上单调递增，，，即．故选：．本题考查了导数的应用，恒成立问题的基本处理方法，属于中档题．2、B【解析】试题分析：此题没有被解答的概率为，故能够将此题解答出的概率为．故选D．考点：相互独立事件的概率乘法公式．点评：本题考查相互独立事件的概率乘法公式、互斥事件的概率和公式、对立事件的概率公式；注意正难则反的原则，属于中档题．3、A【解析】分析：通过求出，再利用等差数列的求和公式即可求得答案.详解：当时，有；当时，有；当时，有；…...，.故答案为：A.点睛：本题主要考查了数列求和以及通项公式的求法，考查计算能力与分析能力，属于中档题.4、B【解析】

求出z的坐标判断①；求出判断②；求得的值判断③；由两虚数不能进行大小比较判断④．【详解】∵，∴z对应的点的坐标为（1，1），在第一象限，故①正确；，故②错误；，为纯虚数，故③正确；∵两虚数不能进行大小比较，故④错误．∴其中真命题的个数为2个．故选：B．本题考查复数的基本概念，考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，是基础题．5、D【解析】

根据条件，可得函数周期为4，利用函数期性和单调性之间的关系，依次对选项进行判断，由此得到答案。【详解】因为，所以，，可得的周期为4，所以，，.又因为是奇函数且在上是减函数，所以在上是减函数，所以，即，故选D.本题主要考查函数值的大小比较，根据条件求出函数的周期性，结合函数单调性和奇偶性之间的关系是解决本题的关键。6、C【解析】

根据定积分的意义和性质，，计算即可得出.【详解】因为，故选C.本题主要考查了含绝对值的被积函数的定积分求值，定积分的性质，属于中档题.7、D【解析】

求出函数的导数，结合条件，可求出实数的值．【详解】因为，所以，解得，故选D．本题考查导数的计算，考查导数的运算法则以及基本初等函数的导数，考查运算求解能力，属于基础题．8、B【解析】分析：求出导函数，求得极值点，函数在含有极值点的区间内不单调．详解：，此函数在上是增函数，又，因此是的极值点，它在含有的区间内不单调，此区间为B．故选B．点睛：本题考查用导数研究函数的极值，函数在不含极值点的区间内一定是单调函数，因此此只要求出极值点，含有极值点的区间就是正确的选项．9、D【解析】

根据导数的几何意义和，确定函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，即可得出结论．【详解】函数的导函数为，，∴函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，故选：D．本题考查函数的图象与其导函数的关系，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．10、C【解析】

由计算即可。【详解】在相应的极坐标系下，由于点位于第四象限，且极角满足，所以.故选C.本题考查极坐标与直角坐标的互化，属于简单题。11、D【解析】

整理,即可判断选项.【详解】由题,因为,所以该函数是奇函数,周期为,故选:D本题考查三角函数的奇偶性和周期性的判定,考查正弦的二倍角公式的应用.12、C【解析】故选二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、10【解析】

系统抽样的抽样间隔为200÷20=10，可得答案．【详解】利用系统抽样的方法抽取一个容量为20的样本.所以应该将总体编号后分成20组，每组200÷20=10个所以分组间隔为10.故答案为：10.本题考查系统抽样的定义和方法，考查系统抽样的抽样间隔，属于基础题.14、【解析】

分子和分母同时乘以分母的共轭复数,化简复数,即可求得虚部.【详解】复数的虚部是:.故答案为:.本题主要考查了复数的四则运算,以及复数的基本概念的应用,其中解答中熟练应用复数的运算法则化简是解答的关键,属于基础题.15、y=2【解析】分析：求函数的导数，计算和，用点斜式确定直线方程即可.详解：，，又，故切线方程为.故答案为.点睛：本题考查函数导数的几何意义即函数的切线方程问题，切线问题分三类：（1）点在曲线上，在点处的切线方程①求导数；②切线斜率；③切线方程.（2）点在曲线上，过点处的切线方程①设切点；②求导数；③切线斜率；④切线方程；⑤将点代入直线方程求得；⑥确定切线方程.（3）点在曲线外，步骤同（2）.16、2【解析】分析：由，可得，直接利用对数运算法则求解即可得，计算过程注意避免计算错误.详解：由，可得，则，故答案为.点睛：本题主要考查指数与对数的互化以及对数的运算法则，意在考查对基本概念与基本运算掌握的熟练程度.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2），证明见解析.【解析】

（1）由题可得前4项，依次求和即可得到答案；（2）由（1）得到前四项和的规律可猜想，由数学归纳法，即可做出证明，得到结论。【详解】（1）计算，.（2）猜想.证明：①当时，左边，右边，猜想成立.②假设猜想成立，即成立，那么当时，，而，故当时，猜想也成立.由①②可知，对于，猜想都成立.本题主要考查了归纳、猜想与数学归纳法的证明方法，其中解答中明确数学归纳证明方法：（1）验证时成立；（2）假设当时成立，证得也成立；（3）得到证明的结论．其中在到的推理中必须使用归纳假设．着重考查了推理与论证能力．18、(1)(2)见解析【解析】

（1）先记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件，根据题意求出，再由，即可得出结果；(2)根据题意，先确定可能取得的值，分别求出对应概率，即可得出分布列，从而可计算出期望.【详解】解：（1）记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件，那么.所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是.（2）由题意，知随机变量可能取得的值为1，2.则.所以.所以所求的分布列是所以.本题主要考查古典概型以及离散型随机变量的分布列与期望，熟记概念以及概率计算公式即可，属于常考题型.19、（1）见解析；（2）【解析】

（1）由题意知为，利用等腰三角形三线合一的思想得出，由平面可得出，再利用直线与平面垂直的判定定理可得出平面；（2）以点为坐标原点，、所在直线分别为轴、轴建立空间直角坐标系，计算出平面和平面的法向量，然后利用空间向量法计算出二面角的余弦值.【详解】（1）因为四边形是平行四边形，，所以为的中点.又，所以.因为平面，平面，所以.又，平面，平面，故平面；（2）因为，以为原点建立空间直角坐标系如下图所示，设，则、、、，所以，，，设平面的一个法向量为，则，所以，得，令，则，，所以.同理可求得平面的一个法向量，所以.又分析知，二面角的平面角为锐角，所以二面角的余弦值为.本题考查直线与平面垂直的判定，同时也考查了二面角的计算，解题的关键在于建立空间直角坐标系，利用空间向量法来求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.20、(1)(2)见解析【解析】

（1）记事件{甲三种类别各选一门}，则根据排列组合公式得到答案.（2）的取值有：，分别计算对应概率得到分布列，再计算数学期望.【详解】解：（1）记事件{甲三种类别各选一门}则（2）的取值有：，则所以分布列为所以期望本题考查了概率的计算，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力.21、（1）5；（2）.【解析】

（1）先根据体积求高，再根据母线与高的关系求结果；（2）先确定△的面积最大值何时取得，再根据勾股定理求长度.【详解】（1）因为圆锥的底面半径为4，体积是，所以因此母线长为；（2）△的面积因为，所以当时，△的面积取最大值，此时本题考查圆锥的体积以及截面积，考查基本分