2023北京初三二模数学试题汇编：锐角三角函数章节综合

2023北京初三二模数学汇编

锐角三角函数章节综合

一、单选题

1.（2023•北京石景山•统考二模）如图，在Rt^ACB中，ZACB=90°,G4=CB=10.点P是CB边上一

动点（不与C,8重合），过点尸作尸。，圆交于点Q.设CP=x,8。的长为y,V8PQ的面积为S,

则》与x,S与x满足的函数关系分别为（）

A.一次函数关系，二次函数关系B.反比例函数关系，二次函数关系

C.一次函数关系，反比例函数关系D.反比例函数关系，一次函数关系

二、填空题

2.（2023•北京顺义•统考二模）如图，将矩形纸片ABC。折叠，使点8与边的中点E重合，折痕恰好为

AF,则C会F的值为.

3.（2023•北京西城・统考二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（3,4）,设线段Q4与x轴正

4.（2023•北京大兴•统考二模）&-2sin45°+卜-夜'.

5.（2023•北京朝阳•统考二模）计算：［g）-4cos30°+7T2+（7r+l）°.

6.（2023•北京石景山•统考二模）计算：4sin60°+A/27-|-2|+|-

7.（2023•北京朝阳•统考二模）如图，在四边形ABCD中，AD//BC,AB=BC=AE=-AD.

2

（1）求证：四边形ABCE为菱形;

3,,

⑵右tanZ.ACB——,AC=8,求CD的长.

4

8.（2023•北京顺义・统考二模）计算：（万-4）°+卜①卜2cos60°-

9.（2023•北京房山・统考二模）如图，=90°,=AC,点。是出延长线上一点，连接。C,点

£和点3关于直线DC对称，连接BE交AC于点孔连接EC,ED,DF.

（1）依题意补全图形，并求/DEC的度数；

（2）用等式表示线段EC,ED和CF之间的数量关系，并证明.

10.（2023.北京西城.统考二模）如图，在AABC中，边A3绕点8顺时针旋转。（0。＜夕＜180。）得到线段

BD,边AC绕点C逆时针旋转180。-［得到线段CE,连接DE,点尸是七史的中点.

⑴以点尸为对称中心，作点C关于点厂的对称点G,连接3G,DG.

①依题意补全图形，并证明4C=DG；

②求证：/DGB=ZACB；

（2）若《=60。，且加，3c于H,直接写出用等式表示的FH与2C的数量关系.

11.（2023・北京海淀•统考二模）在平面直角坐标系尤Ov中，对于AOAB和点P（不与点0重合）给出如下定

义：若边。4,02上分别存在点点N,使得点。与点尸关于直线跖V对称，则称点P为的“翻

折点

（1）已知4（3,0）,8（0,36）.

①若点M与点A重合，点N与点B重合，直接写出的“翻折点”的坐标；

②P是线段AB上一动点，当P是AOAB的“翻折点”时，求AP长的取值范围；

⑵直线＞龙+6色＞0）与X轴，y轴分别交于A,8两点，若存在以直线A5为对称轴，且斜边长为2

的等腰直角三角形，使得该三角形边上任意一点都为AOAB的“翻折点”，直接写出6的取值范围.

12.（2023・北京房山・统考二模）计算：（；尸+屈+卜垃卜4cos45。.

13.（2023•北京昌平・统考二模）如图，A8是。。直径，C是。。上一点，过点A作直线R4,使

ZPAC^ZABC.

（1）求证：R4是的切线；

4

（2）点。是弧BC中点，连接。。并延长，分别交BCM于点旦尸，若BC=8,cosZPAC=-,求线段。产

的长.

14.（2023•北京西城・统考二模）计算：般-4cos45。+1[-|-2|.

15.（2023•北京昌平•统考二模）计算：（1-75）°+1-A/2|-2cos45°+.

16.（2023•北京海淀•统考二模）计算：+11--tan60°-（^-+2023）°.

参考答案

1.A

【分析】先求出Z4=/B=45。，再求出族=10-x,然后解RS5PQ得到尸。=10—x,50=0(10—%),

进而得至ljy=—后+10&，5=|(10-x)2,由此即可得到答案.

【详解】解：・・・在RtA4C3中，ZACB=9Q°,CA=CB=10,

AZA=ZB=45°,

9：CP=x,

：.BP=BC-CP=10-xf

・.・PQLCB,

：.AQPB=90°,

在RtaBPQ中，PQ=BPtanB=10-x,3Q=-^-=0(lO—x),

cosB

/.j=A/2(10-x)=-A/2.X+1072,S=^BPPQ=^(10-x)2,

y与尤，s与x满足的函数关系分别为一次函数关系，二次函数关系，

故选A.

【点睛】本题主要考查了解直角三角形，等边对等角，列函数关系式，正确求出y=-6■龙+100,

1

S=：(10-x)92是解题的关键.

2.-/0.5

2

DF1

【分析】根据矩形的性质，N5=NC=NO=90。，根据折叠可得AE=AB,进而得出sinNZME=^二大，

AE2

贝|JNZXE=3O。，进而得出NCEF=30。，即可求解.

【详解】解：・・•四边形ABGD是矩形，

JZB=ZC=ZD=90°,

•・,将矩形纸片ABCD折叠，使点6与8边的中点E重合，

AE=AB

DF1

AsinZDAE=——=—,即ZDAE=30。，

AE2

：.ZDEA=60°

：.ZCEF=180°-60°-90°=30°

.CFCF.1

..==sinZCEF=—,

BFEF2

故答案为：

【点睛】本题考查了矩形与折叠问题，正弦的定义，熟练掌握折叠的性质是解题的关键.

【分析】取点3（3，。），则ABLx轴于8,根据点A的坐标求出02和AB,根据锐角正切函数的定义求出

即可.

【详解】取点3（3，°），则轴于"

AB4

tana=----

0B3

4

故答案为：—.

【点睛】本题考查了点的坐标和正切函数，能求出OB和的长是解此题的关键.

4.272-4

【分析】根据二次根式的运算法则，实数的运算法则，化简绝对值的方法，负整数指数幕，特殊角的三角

函数值计算即可.

【详解】解：原式=2痣一2x变+a-1-3

2

=2A/2-V2+A/2-1-3

=2>/2—4

【点睛】本题考查带特殊角的三角函数值的实数运算，化简二次根式，去绝对值，负整数指数募公式等知

识，掌握相关公式和运算法则是解题的关键.

5.3

【分析】根据负整数指数塞运算、特殊角的三角函数值运算、算术平方根运算及零指数数幕运算分别求解

后，由二次根式加减运算求解即可得到答案.

【详解】解：［31-4cos30°+712+（7i+l）°

=2-4x走+2用1

2

=2-2/+2指+1

=3.

【点睛】本题考查实数混合运算，涉及负整数指数累运算、特殊角的三角函数值运算、算术平方根运算、

零指数数嘉运算及二次根式加减运算等知识，熟练掌握实数混合运算各个相关法则是解决问题的关键.

6.5A/3

【分析】先计算特殊角三角函数、化简二次根式、去绝对值、计算负整数次累，再进行加减运算.

【详解】解：4sin600+V27-|-2|+Q^

=4*立+3若-2+2

2

=2百+3岔-2+2

=

【点睛】本题考查实数的混合运算，掌握特殊角的三角函数值、二次根式的性质、负整数次基的运算法则

是解题的关键.

7.(1)证明见解析

⑵6

【分析】(1)先根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形ABCE为平行四边形，再由

AB=BC,即可证明平行四边形ABCE为菱形；

(2)先证明AE=CE=Z)E=；A£),进而得到NEAC=NEG4,/EDC=NECD,利用三角形内角和定理

3

推出/ACD=90。，由平行线的性质得到tanND4C=tan/ACB=—,解即可得到

4

3

CD=-AC=6.

4

【详解】(1)证明：•・•

:.AE//BC,

BC=AE,

・・・四边形ABCE为平行四边形，

又AB=BC,

・・・平行四边形ABCE为菱形；

(2)解：VBC=AE=^AD,

：.AE=CE=DE=-AD

2f

：.ZEAC=ZECA,/EDC=/ECD,

ZEAC+ZECA+ZEDC+ZECD=180°,

JZEC4+ZECD=90°,

・•・ZACD=90°,

・：AD〃BC,

：.ZDAC=ZACBf

3

tanZDAC=tanZACB=—,

4

CD3

在RtAADC中，tanND4c=——,

AC4

33

：.CD=-AC=-xS=6,

44

【点睛】本题主要考查了菱形的判定，平行线的性质，解直角三角形，等边对等角，三角形内角和定理等

等，灵活运用所学知识是解题的关键.

8.-272

【分析】先化简各式，再进行加减运算.

【详解】解：原式=1+a-2xg_3Q

=1+友-1-30

=-2A/2-

【点睛】本题考查零指数塞，特殊角的三角函数值，开方运算，实数的混合运算.熟练掌握相关运算法

则，熟记特殊角的三角函数值，是解题的关键.

9.(1)图见解析，45°

Q)ED+CF=^EC，证明见解析

【分析】(1)根据题意补全图形，连接CB,根据等腰直角三角形的性质及轴对称的性质，全等三角形的

判定和性质求解即可；

(2)根据轴对称的性质得出/SF=90o=SlC,再由全等三角形的判定和性质得出小＞=AF,即可求

解.

【详解】(1)解：补全图形，如图所示：

连接CB,

VABAC=90°,AB=AC

：./ABC=45°

;点E和点2关于直线DC对称

:.EC=BC,ED=BD

'：DC=DC

:.AEDC*BDC〈SSS),

；./DEC=/DBC=45°；

（2）ED+CF=6EC,证明如下:

；点、E、8关于直线C。对称

AEB1CD,设垂足为H

贝|/C〃F=90o=154C

•••/HFC=/AFB

：.N1=N2

VAC=AB,ZDAC^ZFAB=9G°

/.^DAC=^FAB

AD=AF

：.ED=BD=AD+AB=AF+AC=AC-CF+AC=2AC-CF

,/AC=cos45°BC=—BC=-EC

22

/.ED=2x—EC-CF=y[2EC-CF

2

即ED+CF=y/2EC.

【点睛】题目主要考查轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，解三角形，理解题意，作出相应辅助

线，综合运用这些知识点是解题关键.

10.（1）①补全图形见解析，证明见解析；②见解析

Q）FH=^BC

4

【分析】（1）①依题意补全图形如图所示，先证明G三△瓦C,推出DG=CE,然后结合旋转的性质

可得结论；②根据对称的性质可证明ABDG三ABAC,可得结论；

（2）连接产，如图，根据等边三角形的性质结合（1）②的结论可得ABGC是等边三角形，可得

NBCF=60。,再根据等边三角形的性质、30度角的直角三角形的性质以及三角函数即可得出结论.

【详解】（1）①依题意补全图形如图所示：

证明：♦.,点尸是DE的中点，

/.DF=EF,

•・,点。关于点尸的对称点为G,

：.CF=GF,

又,：NDFG=NEFC,

・•・ADFG=AEFC,

：.DG=CE,

由旋转的性质可得：AC=CE,

：.AC=DG；

②证明：丁点C关于点尸的对称点为G,

JBG=BC,

・.・BD=BA,DG=ACf

：.^BDG=^BAC,

：.ZDGB=ZACB；

(2)解：连接却"如图，由题意得NOB4=a=60。,

•；&BDG*BAC,

：.ZDBG=NCBA,

：.ZGBC=ZDBA=60°f

•；BG=BC,

・・・△3GC是等边三角形，

：.ZBCF=ZGBC=60°,

•・,点/是CG的中点，

BF±CG,ZCBF=-/CBG=30°,

2

CF=-BC,

2

VFH1BC,ZBCF=60°,

・•・FH=CF,sin600=—CF=—BC；

24

・••方”与BC的数量关系是

4

B

【点睛】本题考查了对称变换、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、30度角的直角三角

形的性质以及三角函数等知识，熟练掌握相关图形的判定和性质是解题的关键.

11.⑴①尸||，孚）②6-&&PA43

（2）62匕立

2

【分析】（1）①根据已知条件得出以=30。，则/区40=60。，点M与点A重合，点N与点8重合，则

OA=PA=3,ZOAP=120°,过点尸作PDLx轴于点。，依题意则PA=OA=3,NPOA=30°,进

而求得产。=[6，即可求解；

2

②根据心得与得出M7V为线段。尸的垂直平分线，当点N运动到点5时，NO=NP=36，点”运动至点

A时，AP=Q4=3即可求得以的范围；

（2）根据一次函数得出4。）,3（0力），对于RMQ4B中，先固定N点，当M运动时始终由

NO=NP,进而得出以A为圆心，为半径的。A与以8为圆心，6为半径的。3的两圆的公共部分，当

以直线为对称轴时，斜边为2的等腰直角三角形边上任意一点都是的“翻折点”，即该等腰直角三

角形在上述封闭图形内，进而根据勾股定理，求得力的值，结合图形即可求解.

【详解】（1）①：4（3,0）,8（0,38）

04=3,08=3百，则AB=6

taaZOBA=—=^==—,

OB3A/33

AZOBA=30°,则/B4O=60。

•・•点M与点A重合，点N与点3重合，

・•.OA=PA=3,ZOAP=120°

过点尸作轴于点O,

依题意CM，"，则R1=OA=3,NPOA=30。

••・尸"，AB=|

9

OD=OA+AD=-,

2

AOAB的“翻折点”的坐标为P

②；点、。与点P关于MN对称,

/.MN为线段0P的垂直平分线，

当点N运动到点3时，NO=NP=3上

•*.AP=6-3y/3

当点M运动到点A时，AP=OA=3

：.6-A/3<PA<3

y轴分别交于A,3两点,

4

令％=0,则y="，令y=。，解得％=

二A[:40),3(0,6)

对于RtAOAB中，先固定N点，当“运动时始终由NO=NP,

...在M运动时，P点到轨迹为以N为圆心，NO为半径的一段圆弧上，临界点分母是M与点。与点A重

合时，

当点N运动时，这段圆弧也随之运动，形成封闭的图形，如图所示，

4

该图形为：以A为圆心，为半径的。A与以B为圆心，6为半径的。B的两圆的公共部分，

当以直线为对称轴时，斜边为2的等腰直角三角形边上任意一点都是AOAB的“翻折点”，即该等腰直角

三角形在上述封闭图形内

A的半径大于的半径，

当等腰直角三角形的斜边刚好在。A上（即为0A的弦）时，可得b的最大值

解得…?

・7J+近

••b>---------

2

【点睛】本题考查了几何新定义，折叠的性质，一次函数与直线的交点坐标，解直角三角形，等腰三角形

的性质与判定，熟练掌握折叠的性质是解题的关键.

12.3+2百

>0)

【分析】根据/，=十(。*0)、二次根式化简、H=-0(«=°)、特殊角三角函数值进行计算即可.

-<0)

【详解】解：原式=3+30+Q4X1

=3+4忘-2近

=3+2亚

【点睛】本题考查了负指数幕、二次根式化简、去绝对值、特殊角三角函数值，掌握公式及具体三角函数

值是解题的关键.

13.(1)见解析

【分析】(1)首先根据直径的性质得到NC=90。，然后利用余角的性质得到NC4B+NR4c=90。，即可证

明出上4是。。的切线；

(2)首先根据题意画出图形，然后根据三角函数得到，cos/8-4一I1进而得到

5

4

OA=OB=OD=5f然后根据垂径定理得到QD，,进而得到344网>=85/24。=1，利用三角函

25

数求出。尸=§,即可求解.

【详解】(1),・•A5是直径，

・•・ZC=90°,

JZCAB+ZB=90°f

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