2023北京初三二模数学试题汇编：图形的变换章节综合

2023北京初三二模数学汇编

图形的变换章节综合

一、单选题

1.（2023•北京昌平・统考二模）船航行的海岸附近有暗礁，为了使船不触上暗礁，可以在暗礁的两侧建立

两座灯塔.只要留心从船上到两个灯塔间的角度不超过一定的大小，就不用担心触礁.如图所示的网格是正

方形网格，点A氏C,2P,M,N是网格线交点，当船航行到点P的位置时，此时与两个灯塔间的角度

（/MPN的大小）一定无触礁危险.那么，对于四个位置，船处于时，也一定无触

礁危险.（）

A.位置AB.位置8C.位置CD.位置Z）

2.（2023•北京海淀•统考二模）如图，在正方形网格中，以点0为位似中心，ABC的位似图形可以是

A.J）EFB./\DHFC./\GEHD.GDH

3.（2023•北京东城・统考二模）在平面直角坐标系中，已知点4（3,2）,3（5,2）,将线段A3平移得到线段

CD,若点A的对应点C的坐标是（-1,2）,则点8的对应点。的坐标是（）

A.（1,2）B.（2,-1）C.（9,2）D.（2,1）

4.（2023•北京昌平・统考二模）《墨子・天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆.”度方知圆，感悟数学之

美.如图，正方形ABCD的面积为4,以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形AB'C'D,若

AB:AB'=l:2,则四边形A'B'C'O的外接圆的半径为（）

A'

A.V2B.2C.2A/2D.4

5.（2023•北京房山•统考二模）下列图形中，点。是该图形的对称中心的是（）

二、解答题

6.（2023•北京西城・统考二模）在平面直角坐标系xOy中，给定圆C和点P,若过点P最多可以作出左条不

同的直线，且这些直线被圆C所截得的线段长度为正整数，则称点P关于圆C的特征值为％.已知圆。的

半径为2,

（1）若点M的坐标为。，1）,则经过点M的直线被圆。截得的弦长的最小值为，点M关于圆0

的特征值为;

（2）直线y=x+b分别与尤，y轴交于点A,B,若线段上总存在关于圆。的特征值为4的点，求b的取

值范围；

（3）点T是x轴正半轴上一点，圆T的半径为1,点R,S分别在圆。与圆T上，点R关于圆T的特征值记

为r,点S关于圆。的特征值记为s.当点T在x轴正轴上运动时，若存在点R,S,使得r+s=3,直接写

出点T的横坐标r的取值范围.

7.（2023•北京朝阳•统考二模）在ASC中，AC^BC,/ACB=90。，点。在3c边上（不与点8,C重

合），将线段AD绕点A顺时针旋转90。，得到线段AE,连接。E.

(1)根据题意补全图形，并证明：/EAC=ZADC；

(2)过点C作AB的平行线，交DE于点F,用等式表示线段所与DF之间的数量关系，并证明.

8.(2023•北京东城・统考二模)如图，在菱形ABCD中，ZBAD60°,E是AB边上一点(不与A,B重

合)，点P与点A关于直线DE对称，连接OP.作射线CP,交直线OE于点P,设NM>尸=«.

(1)用含a的代数式表示/DCP；

(2)连接AP,AF.求证：APF是等边三角形；

(3)过点B作BGJLDP于点G,过点6作8的平行线，交CP于点补全图形，猜想线段CH与PH之

间的数量关系，并加以证明.

9.(2023•北京东城•统考二模)已知线段「。是(G的弦，点K在直线尸。上.对于弦PQ和点K,给出如下

定义：若将弦尸。绕点K逆时针旋转a(0°</<180。)得到线段P'。，恰好也是G的弦，则称弦PQ关于点

K中心映射，点K叫做映射中心，a叫做映射角度.

(1)如图1,点G是等边ABC的中心，作(G交A3于点尸,。.在A,B,C三点中，弦PQ关于点

中心族射；

3

(2)如图2,在平面直角坐标系xQy中，直线>=-^X+3与x轴交于点E,与>轴交于点尸，NOEP的角平

分线交y轴于点。.若。与线段所相交所得的弦关于点E中心映射，直接写出。的半径厂的取值范

围；

(3)在平面直角坐标系中，。的半径为2,线段是。的弦.对于每一条弦MN,都有相应的点

H,使得弦关于点H中心映射，且映射角度为60。.设点H到点。的距离为d,直接写出d的取值范

围.

10.(2023•北京顺义•统考二模)已知：ZABC=120°,D,E分别是射线54,2c上的点，连接。E,以

点。为旋转中心，将线段OE绕着点。逆时针旋转60。，得到线段。尸，连接所，BF.

(1)如图1,当=时，求证：BF=2BD；

图1

(2)当助力历时，依题意补全图2,用等式表示线段BO,BF,BE之间的数量关系，并证明.

图2

11.(2023•北京房山•统考二模)如图，^BAC=90°,AB=AC,点。是班延长线上一点，连接。C,点

E和点8关于直线DC对称，连接鹿交AC于点F连接EC,ED,DF.

(1)依题意补全图形，并求/DEC的度数；

(2)用等式表示线段EC,ED和CF之间的数量关系，并证明.

12.(2023•北京西城・统考二模)如图，在ABC中，边绕点8顺时针旋转。(0。<&<180。)得到线段

BD,边AC绕点C逆时针旋转180。-1得到线段CE,连接DE,点尸是OE的中点.

(1)以点尸为对称中心，作点C关于点尸的对称点G,连接BG,DG.

①依题意补全图形，并证明AC=DG；

②求证：/DGB=ZACB；

(2)若(z=60。，且5c于直接写出用等式表示的FH与BC的数量关系.

参考答案

1.B

【分析】先利用格点找出△肱VP的外接圆的圆心，再判断哪个点在△MNP的外接圆上即可.

【详解】解：如图，

由网格可知，点。是和垂直平分线的交点，

即点。是△MVP的外接圆的圆心，

OAf=OS=Vl2+22=75-

.•.点M在AWP的外接圆上，

ZMPN=ZMBN,

二船处于位置B时，也一定无触礁危险，

故选B.

【点睛】本题考查圆周角定理，三角形的外心，勾股定理与网格问题等，解题的关键有两个，一是找出

△WP的外接圆的圆心，二是掌握同弧所对的圆周角相等.

2.C

【分析】根据位似的性质，连接O8,OAOC并延长，观察交点即可求解.

【详解】解：如图所示，连接08,04,OC并延长，

.ABC的位似图形是.GEH.

故选：C.

【点睛】本题考查了位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键.

3.A

【分析】根据点A、C的坐标确定出平移规律，再根据平移规律解答即可.

【详解】解：：点4(3,2)的对应点C的坐标为(-1,2),

平移规律为向左平移4个单位，

8(5,2)的对应点D的坐标为(1,2).

故选：A.

【点睛】本题考查了坐标与图形变化-平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移

加，下移减.

4.C

【分析】如图，连接3'。，利用相似多边形的性质求出正方形A3'C'D'的面积，求出夕。可得结论.

【详解】解：如图，连接375'.

••,正方形ABCD与四边形是位似图形，AB:A3'=1:2,正方形ABCD的面积为4,

二四边形A'3'C'。'是正方形，面积为4x22=16,

AB'=4D=4,ZB'Aiy=90°,

•e•B'D'=42A'B'=472，

二四边形AEC'D的外接圆的半径为2夜.

故选C.

【点睛】本题考查位似变换，相似多边形的性质等知识，解题的关键是掌握位似图形的概念.

5.B

【分析】根据中心对称图形的概念进行判断即可.

【详解】解：A、图形绕点。旋转72度与自身重合，点。是旋转中心，故此选项不符合题意；

B、图形绕点。旋转181度与自身重合，是中心对称图形，点。是对称中心，故此选项符合题意；

C、图形绕点。旋转120度与自身重合，点。是旋转中心，故此选项不符合题意；

D、图形绕点。旋转72度与自身重合，点。是旋转中心，故此选项不符合题意；

故选:B.

【点睛】本题考查的是中心对称图形的概念.中心对称图形是图形绕某点，旋转180度后与自身重合.这

点叫该图形的对称中心.

6.⑴2夜，3

(2)b的取值范围是gwbV#或

（3）2--<?<^+1

22

【分析】（1）设经过点M的直线与。交于E、尸两点，过点。作跖于X,连接OM,OE,利用

垂径定理得由勾股定理可得当OH最大时，EH最小,即此时最小，求出0M=&,再

由。得到当点H与点〃重合时，所有最大值&,即可求出斯的最小值为2则被圆。截

得的弦长取值范围为20WXW4,再由被圆。截得的弦长为3的弦有2条，被圆0截得的弦长为4的弦只

有1条，可得点M关于圆。的特征值为3；

（2）根据题意得，关于圆。的特征值为4的所有点都在以。为圆心，目为半径的圆周上，分当3>0时

和当人<0时，两种情况讨论即可求解；

（3）由于同一平面内，对于任意一点。，经过。、。的直线与圆。截得的弦（直径）都为4,则点。关

fr=1fr=2

于圆。的特征值不可能为0,由此可得不工0,则c或，；经过点S且弦长为4（最长弦）的直线

[s=2[s=l

有1条，弦长为3（最短弦）的直线有1条，由（2）可知点S一定在以。为圆心，以近为半径的圆上，

2

同理点R一定在以T为圆心，以也为半径的圆上，则当满足以。为圆心，2为半径的圆与以T为圆心，

2

正为半径的圆有交点，且同时满足以。为圆心，立为半径的圆与以T为圆心，1为半径的圆有交点时f

22

的值符合题意，由此求解即可.

【详解】（1）解：设经过点M的直线与。交于£、尸两点，过点。作于连接OM,OE,

EF=2EH,

在RtAOEH中，由勾股定理得EH=>jOE2-OH2=^4-OH2，

.,.当OH最大时，EH最小,即此时EP最小，

:点M的坐标为。，1）,

OM=V12+12=72,

又•:OH<OM,

当点X与点M重合时，OH有最大值四,

/.此时EH有最小值小4一（何=垃,

/.斯的最小值为2&

•••过点〃的直线被圆。截得的弦长的最大值为4（直径），

二被圆。截得的弦长取值范围为20

••・被圆。截得的弦长为正整数的只有是3或4,

•••被圆O截得的弦长为3的弦有2条，被圆O截得的弦长为4的弦只有1条，

点M关于圆0的特征值为3,

故答案为：2&，3；

（2）解：设点G是圆。的特征值为4的点，

由（1）可知经过一点G且弦长为4（最长弦）的直线有1条，弦长为3的直线有2条，

•••特征值要保证为4,

经过点G且弦长为2的直线有且只有1条，

经过点G的直线被圆O截得的弦长的最小值为2,

正-俨=a，

...由（1）可知，关于圆。的特征值为4的所有点都在以。为圆心，G为半径的圆周上,

•・•直线>=兀+。分别与％,y轴交于点A,B,

：.A（-Z?,O）,B（0,b）,

OA=OB=b,

・•・NOBH=45。

当〃>0时，

•.•线段AB上总存在关于圆。的特征值为4的点，

线段A3与以。为圆心，6为半径的圆有交点，

当线段与以。为圆心，石为半径的圆相切时，将切点设为"，连接则后,

/.OB=&OH=A/6,

/.a=^6,

将以。为圆心，行为半径的圆与y轴正半轴的交点记为与，则。4=后，

当线段48与以。为圆心，石为半径的圆相交，且过点与时，可得仇=6，

••WbW,\/6；

同理可求当b<0时，一#Wb4一石；

综上，人的取值范围是百WbV卡或-痛WbV-百；

（3）：・・・同一平面内，对于任意一点。经过0、。的直线与圆。截得的弦（直径）都为4,

・,•点。关于圆。的特征值不可能为0,

••YSW0,

Vr+5=3,且八s都是整数，

・・・经过点S且弦长为4（最长弦）的直线有1条，弦长为3（最短弦）的直线有1条，

••・由（2）可知点S一定在以。为圆心，以J2?为半径的圆上,

同理当，:时，点R一定在以T为圆心，以卜一自［=*为半径的圆上,

,当满足以。为圆心，2为半径的圆与以T为圆心，且为半径的圆有交点，且同时满足以。为圆心,

2

立为半径的圆与以T为圆心，1为半径的圆有交点时f的值符合题意；

2

如图3-1所示，

当以。为圆心，且为半径的圆与以T为圆心，1为半径的圆外切时，此时％=也+1；

如图3-2所示，当以。为圆心，2为半径的圆与以T为圆心，3为半径的圆外切时，此时/=2-走;

222

综上所述，当2———■W/W——-+1时，存在点R,S,使得厂+5=3.

22

■y

图3-2

【点睛】本题主要考查了垂径定理，圆与圆的位置关系，切线的性质，坐标与图形，勾股定理，一次函数

与几何等等，正确理解题意找到对应点的轨迹是解题的关键.

7.(1)补全图形见解析，证明见解析；

(2)EF=DF,证明见解析.

【分析】(1)根据旋转的方向和角度补全图形，再根据已知和旋转的性质求出NC4D+/ADC=90。，

NC4D+/E4c=90。，进而可得结论；

(2)作£^，4?于点与直线CF交于点N,利用AAS证明可得AM=CD,

EM=AC,然后求出MZV=MC,可得EN=CD,再利用ASA证明ENF三DCF即可.

【详解】(1)补全的图形如图所示：

ZCAD+ZADC=90°,

由旋转的性质可知/皿＞=90。，即NC4O+/E4c=90。,

：.ZEAC=ZADC；

(2)EF=DF；

证明：如图，作石"，4。于点〃，与直线CP交于点N,

由旋转的性质可知=

由(1)可知NE4M=/AT)C,

A^EAM=AAZ)C(AAS),

：.AM=CD,EM=AC,

■:AC=BC,

：.NC4B=45。，

*：CN//AB,

：.ZNCM=ZCAB=45°,

；.MN=MC,

：.EN=AM,

・•・EN=CD,

\9ZEMC=ZACB

：.EN//CD,

:./ENF=/DCF,ZNEF=ACDF,

J-ETVFwOC厂(ASA),

:.EF=DF.

【点睛】本题考查了画旋转图形，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，等腰直

角三角形的判定和性质等知识，能够作出合适的辅助线构造出全等三角形是解题的关键.

8.(l)NOCP=a+30。

(2)见解析

(3)CH=PH,证明见解析

【分析】(1)由点方与点A关于直线对称，AADP=a,则尸，/PDF=ZADP=a,在菱形

ABCD中，ZBAD=60°f则AD=CD,ABCD,得到DF=CD,ZADB=180°-ZBAD=120°,则

/DCP=/CFD,ZCDF=120°-2af即可得到/。叱=/"7)=[(180。一/。。/)=30。+a，得到结论；

(2)由点/与点A关于直线。石对称得到AP=FP,ZDPF=NDPA,贝1J方是等腰三角形，由

/。斤0=30。+。=/0「歹+/灯邛=/0P产+。得至!|/。「尸=30。，则NDP/=/DP4=30。，即得到

NAP尸=60。，结论得证；

(3)连接PB,BD,证明DAF^BAP(SAS)f则。尸=依，再证△ABD是等边三角形，则

PHPG

BD=AB=AD=DF=PB,由BG_L£＞尸于点G得到尸G=G£),由CD〃GH得到——=—=1,猜想得

CHGD

证.

【详解】(1)解：,•,点厂与点A关于直线DE对称，ZADP=a,

:.AD=DF,/PDF=ZADP=a,

:在菱形A5c。中，ZBAD^60°,

：.AD^CD,ABCD,

：.DF=CD,ZADB=180°—Z.BAD=120°,

:・/DCP=/CFD,

•・•ZCDF=ZADC-ZADP-ZPDF=120°-2a,

ZDCP=ZCFD=1(180°-/CDF)=30。+a,

即NOCP=a+30。；

(2);点/与点A关于直线DE对称，

:,AP=FP,ZDPF=ZDPA,

・•・_”下是等腰三角形，

NCFD=30。+a=NDPF+/PDF=NDPF+a,

：.ZDPF=30°f

：.ZDPF=ZDPA=30°,

：.ZAP尸=60。，

「・是等边三角形；

(3)如图所示，猜想=证明如下：

过点5作5GLOP于点G,过点G作。。的平行线，交C尸于点连接

,/APF是等边三角形，

JAF=AP,ZPAF=60°f

：.ZPAF^ZBAF=60°-^ZBAF=ZBAD+ZBAFf

：.ZPAB=ZFAD,

,:DA=BA,

：.ZMF^BAP(SAS),

JDF=PB,

•：AB=AD,ZBAD=60°,

・•・△AB。是等边三角形，

JBD=AB=AD=DF=PB,

BG工DP于点、G,

：.PG=GD,

丁CD//GH,

.PHPGi

••——1,

CHGD

：.CH=PH

【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、菱

形的性质、轴对称的性质等知识，熟练掌握相关判定和性质是解题的关键.

9.(DA

⑵

33

(3)0<J<4

【分析】(1)根据题干中心映射的定义与旋转方向，判断弦尸。是否仍在：G上.确定只有点A符合题意.

(2)讨论［。与线段砂相交成弦的范围，根据角平分线定理与比例性质求解.

(3)考虑到对称性与不失一般，将X点设在x轴上，方便得出d的取值范围.

【详解】(1)根据中心映射的定义，若将弦尸。绕点K逆时针旋转矶0°<a<180。)得到线段PQ,恰好

也是G的弦，则称弦PQ关于点K中心映射，点K叫做映射中心.由于是等边三角形，因此直线

产。绕A点逆时针旋转口=60。(0。<。<180。)，可使弦PQ落在弦上.但直线PQ绕8点、C点逆时针旋

转a(0。<。<180。)后，弦尸。无法与।G再相交成弦.

故只有点A符合映射中心的条件，如下图.

(2)如下图，NOEF的角平分线交,轴于点。，过。作。GLEB,垂足为G.

则。与线段EF相交所得的弦关于点E中心映射，此时。的半径厂的取值范围是

在.OEb中，EF平分NOEF,过。作x轴的平行线，与EF交于H,

则ZHDE=ZDEO,又NHED=NDEO,

所以ZHDE=ZHED,则HD=HE.

DF_FH_FH_FE

由DH//OE得,△FDHSNQE，所以----------------

DOHEHDOE

DFFEDFFE

n即n-------,-----------

DOEOOF-DFOE

在直角三角形OE/中，EF=ylOE2+OF2=742+32=5-

.DF_5解得=g.

**3-DF4

DG1EF,

.••在直角OEF与直角，GDP相似.

.DGOE即增=3

••而百即j5-

4

因此，DG=—.

所以，，。的半径r的取值范围是O0>DG.即gm/

（3）考虑到对称性与不失一般性，为了研究问题的方便，设弦绕点H逆时针旋转口=60。

（0。<.<180。）得到线段恰好也是。的弦，且与"W交于无轴，见下图.

作ObLMN与。交于点、尸,再过尸作MN的平行线，EF是。的切线.则满足条件的弦最大为直

径，最小应大于0,

所以，OH=d.当。与X重合时，d=0,此时弦MN为直径；当X与E重合时，d=OH=OE,此时弦

跖V长度为0.

故d的取值范围是：0<d<OE.

由已知条件知NMHM'=60°,NOHM=；NMHM'=30".

又因EF〃肱V,故NOEF=N"CW=30".

在直角.OEF中，OF,OE,贝UOE=2O9=2x2=4.

2

故d的取值范围是：0<J<4.

【点睛】本题考察了图形旋转、角平分线性质、含30。角的直角三角形等相关知识点，深入细致审题是解

本题的关键.

10.(1)证明见解析

(2)作图见解析，数量关系：BF=BD+BE,证明见解析

【分析】(1)根据旋转的性质可得再即是等边三角形，证明△比甲乌△跳F(SSS),可得

NBFD=NBFE=3。。,从而得证；

(1)依题意补全图2,如图；数量关系：BF=BD+BE.在上截取DG,使=连接FG,根

据旋转的性质可得力砂是等边三角形，证明△GOFZABE尸(SAS),可得GF=BF,NGFD=ZBFE,

然后证明G/必是等边三角形，从而可证明结论.

【详解】(1)证明：•••线段DE绕着点。逆时针旋转60。得到

:.DE=DF,NEDF=60°,

二,QEF是等边三角形，

FE=FD,NDFE=60。,

,:BD=BE,ZABC=120。，

/加石毛可。一420)=；(180。-120。)=30。，

ZBDF=NBDE+Z.EDF=30°+60°=90°,

在VBDR和中，

FD=FE

<FB=FB,

BD=BE

：.ABDF^ABEF(SSS),

NBFD=NBFE=30。,

：.BF=2BD.

(2)依题意补全图2,如图.

数量关系：BF=BD+BE.

证明：在八4上截取DG,使DG=BE,连接FG,

•；线段DE绕着点D逆时针旋转60°得到DF,

ADE=DF,Z.EDF=60°,

.QEF是等边三角形，

:.FE=FD,4>FE=60。，

ZABC=120。，

ZBDF+ZBEF=360°-ZDFE-ZDBE=180°,

,?ZBDF+ZGDF^180°,

.ZGDF=ZBEF,

在43£＞厂和云山防中，

DG=EB

-NGDF=NBEF,

FD=FE

：.△GDFHBEF（SAS）,

:•GF=BF,NGFD=/BFE,

：./GFB=Z.GFD+NDFB=NBFE+ZDFB=NDFE=60°,

二,GF3是等边三角形，

BG=BF,

：.BF=BG=BD+DG=BD+BE,

：.BF=BD+BE.

图2

【点睛】本题是三角形综合题，考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性

质，30。角所对的直角边等于斜边的一半，四边形的内角和为360。，等角的补角相等.通过作辅助线构造

全等三角形是解题的关键.

11.(1)图见解析，45°

⑵ED+CF=6EC,证明见解析

【分析】(1)根据题意补全图形，连接CB