2024-2025高一数学下册第一次月考试题（压轴50题10类题型）原卷版

2024-2025学年高一下学期第一次月考真题精选（压轴50题10类题型

专练）

【人教A版（2019）］

题型归纳

题型1向量线性运算的几何应用题型2平面向量基本定理的应用

题型3用向量解决夹角、线段的长度问题题型4向量与几何最值（范围）问题

题型5平面向量中的新定义问题压轴•题型归纳—题型6求三角形面积的最值或范围

题型7求三角形边长或周长的最值或范围题型8正、余弦定理的其他应用

题型9复数的模的最值（范围）问题题型10复数综合

题型1向量线性运算的几何应用（共5小题）

1.（23-24高一下•甘肃定西•阶段练习）已知△ABC的三个顶点4B,C及平面ABC内一点P,满足瓦5+2方+3

元=2同，则点P与△力8c的关系为（）

A.点P在△4BC内部B.P是4C边的一个五等分点

C.P是4C边的一个三等分点D.P是4c边的中点

2.（23-24高一下•江苏盐城•阶段练习）已知/、B、C是平面上不共线的三点，。是A4BC的重心，点P

满足而=9+次+翔，贝|J△acp与ABCP面积比为（）

A.5:6B.1:4C.2:3D.1:2

3.（23-24高一下•山东滨州•阶段练习）《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生二仪，二仪生

四象，四象生八卦，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象.如图1所示的是八卦模型图，其平面图

形如图2中的正八边形N8CDEFG”,其中。为正八边形的中心，则下列说法正确的是（）

B.~OA-EF=TO

C.OA+OC=V2OBD.GD=2AB

4.（23-24高一下•河南安阳•阶段练习）设M为△ABC内一点，且前=|■话+评，贝UZkMBC与△ABC

的面积之比为.

5.（23-24高一下•河南周口•阶段练习）如图，在梯形4BCD中，\DA\=2,^CDA=p而=那，E为AB

的中点，而=4反（4H0）.

⑴若丽=河+萍，试确定点P在线段0C上的位置;

（2）若|瓦|=t,当4为何值时，|可|最小?

题型2平面向量基本定理的应用（共5小题）。|

1.（23-24高一下•广西南宁•阶段练习）在△4BC中，点。满足丽=2沆，过点。的直线分别交射线4B,

AC于不同的两点M,N.设彳标=刀，AN=^AC,则一+n的最小值是（）

323

A.3B.1C.—D.—

loIO

2.（23-24高一下•重庆巴南•阶段练习）在矩形ABCD中，已知£尸分别是BC,CD上的点，且满足族=前，次

=2FD.若点P在线段8。上运动，且而=4族+//Q（尢〃CR）,贝雌+〃的取值范围为（）

A・[-品B.[|,1]C,[|,1]D.[-1.|]

3.（23-24高一下•江苏•阶段练习）如图所示，在△Q4B中，瓦=河，丽=癖，ND与8c交于点M.过

M点的直线I与两边。4、。8分别交于点E,F,设荏=疝而？=“5瓦则（）

O

G

B13

A.0M=-尹L7

C.A+〃可能的取值为土/D-if的最小值球

4.（23-24高一下•广西•阶段练习）己知，E分别为△ABC的边48/C上的点，线段BE和CD相交于点P,若

AD=3DB,DP=XPC,次=廊,其中4>0,〃>0.贝4+楙的最小值为.

5.（23-24高一下•广东广州•阶段练习）在△ABC中，~CA=a,CB=b,若。是4B的中点（而=：说），则

CD=1a+|b；若D是4B的一个三等分点（而=：同），则丽=苏+节；若。是AB的一个四等分点

（AD=jA8），则£7）=扣+,

（1）如图①，若而=4而，用2,3表示而，你能得出什么结论？并加以证明.

（2）如图②，若屈=颉瓦CN=NA,AM与BN交于。,过。点的直线/与C4,CB分别交于点P,Q.

①利用（1）的结论，用心石表示加；

②设而=%8?，CQ=yCB（x>0,y>0）,求％+y的最小值.

题型3「用向量解决夹角、线段的长度问题（共5小题）。|

1.（23-24高一下•云南•阶段练习）△48C中，Z71=60°,4的平分线4D交边2C于。，已知AB=3,

且而=掖+1而，则AD的长为（）

A.V3B.3C.2V3D.3V3

2.（23-24高一下•安徽合肥•阶段练习）已知△力BC中，AO=AAB+（1-A）XC,且。为△力BC的外心.若刀

在说上的投影向量为〃丽，且cos乙40。€七,|],则〃的取值范围为（）

ABc

-ll-i]-[141-[pf]D.R]

3.（23-24高二上•广东广州•阶段练习）在△ABC中，已知2B=2/C=5/B4C=60。，8C、/C边上的两

条中线NM、8N相交于点尸，下列结论正确的是（）

A.AM=>/39B.BN=呼

C.NMPN的余弦值为察D.PA+JB+PC^0

4.（23-24高一下•广东深圳•阶段练习）正方形A8CD的边长为a,E是48的中点，F是边上靠近点B的三

等分点，4尸与DE交于点M,则ADMF的余弦值为.

5.（23-24高一下•陕西西安•阶段练习）如图，正方形/BCD中，E是的中点，F是8c边上靠近点B的

三等分点，AF与DE交于点、M.

（1）设方=无瓦？+y就，求尤+y的值;

（2）求乙4ME的余弦值；

（3）求DM：ME和2M：MF.

题型4匕向量与几何最值（范围）问题（共5小题）

1.（23-24高一下•浙江•阶段练习）正方形4BCD边长为1,平面内一点P满足加=4荏+乩而，满足

4+〃=（的「点的轨迹分别与。3,CD交于M,N两点,令瓦，诙分别为荏和前方向上的单位向量，t,k为

任意实数，则|前T瓦|+|t瓦-/c司+|k五-而|的最小值为（）

A.3B.苧C.|D.

2.（23-24高一下•广东佛山•阶段练习）已知圆。半径为2,弦4B=2,点C为圆。上任意一点，则下列说法

正确的是（）

A.AB-B0=2B.荏•尼的最大值为6

C.\OC-AB-AO\6[0,4]D.满足万•尼=0的点C有一个

3.（23-24高一下•广东佛山•阶段练习）剪纸艺术是一种中国传统的民间工艺，它源远流长，经久不衰，已

成为世界艺术宝库中的一种珍藏.某学校为了丰富学生的课外活动，组织了剪纸比赛，小明同学在观看了

2022年北京冬奥会的节目《雪花》之后，被舞台上漂亮的“雪花”图案（如图1）所吸引，决定用作品“雪花”

参加剪纸比赛.小明的参赛作品“雪花”，它的平面图可简化为图2的平面图形，该平面图形既是轴对称图形,

又是中心对称图形，其中，六边形4BCDEF为正六边形，CD=4CK=4JK=4,CK1JK,△"〃为等边

三角形，P为该平面图形上的一个动点（含边界），则（）

图1图2

A.C7=1+V3B.JH-7^=2（i+V3）

C.若丽=后7+〃族，则%十〃的最大值为喈D.而•四的取值范围是［—12-4低28+4回

4.（23-24高一下•天津•阶段练习）在梯形ABCD中，AB//CD.ABBC=2,CD=1,ABCD=120°,P.Q分别

为线段BC和线段CD上的动点，且加=4丽，丽=柄，则方•质的取值范围为.

5.（23-24高一下•浙江宁波•阶段练习）已知矩形ZBCO中，|/用=2,|/。|=1乃为48中点，尸为边DC上的动

点（不包括端点）.

（1）求可•丽的最小值；

（2）设线段4P与DE的交点为G,求正­而的最小值.

题型5J平面向量中的新定义问题（共5小题）

1.（23-24高一下•江苏无锡•阶段练习）我们定义：萨为向量方与向量族的“外积”，若向量行与向量3的

夹角为。，它的长度规定辰X同=同•同sin。，现已知：在△ABC中，若+AC|=1,|C4+=2,贝!J

|四义标|的最大值为（）

A.-B.-C.-D.-

2.（23・24高一下•河南信阳•阶段练习）定义向量一种运算“凶”如下：对任意的五=（犯九），石=（p,q）,令

a®b=mq-np,下面错误的是（）

A.若d与石共线，则五③3=0

B.0⑤石）2+0）2=|用2.|印

C.对任意的2eR,有（疝）（8）3=40<8）力

D.a0b=b0a

3.（23-24高一下•安徽安庆•阶段练习）已知非零向量为了的夹角为仇定义新运算：a0b=\a\\b\sine,若

2=（%1，丫1）3=（%2，丫2）1=（%3，、3），则下列说法正确的是（）

A.39&[o,^,a0b^a-bB.a在3上投影向量的模为鬻

C.2③3=2yliD.a0（S—c）=a0b—a0c

4.（23-24高一下•湖北武汉•阶段练习）定义平面非零向量之间的一种运算“※”，记五※B=Heos。+京in。，

其中8是非零向量入方的夹角，若可，而均为单位向量，且瓦•索=-去则向量五※专与无※（一瓦）的夹角的

余弦值为.

5.（23-24高一下•湖北•阶段练习）如图，设。x,Oy是平面内相交成a（0<a<切的两条射线,由面分别为Ox,Oy

同向的单位向量，定义平面坐标系xOy为a-仿射坐标系，在a-仿射坐标系中，若加=xNi+y32，贝U记。？

=（久，'）•

⑴在a-仿射坐标系中

①若五=（m,n）,求同；

②若五=（一1,3）,3=（-3,1）,且A与石的夹角为或求cosa；

（2）如上图所示，在下仿射坐标系中，B,C分别在%轴，y轴正半轴上，国|=1,而=看近E尸分别为5D,

8c中点，求荏•赤的最大值.

题型6卜求三角形面积的最值或范围】其5小题）。|

1.（23-24高一下•福建泉州•阶段练习）在锐角△ABC中，a、b、c分别是角4、B、C所对的边，已知等=

O

学且b=6,则锐角△4BC面积的取值范围为（）

COSD

A.（0,4V3）B.（4V3,9V3]C.（6V3,9V3]D.（0,6何

2.（23-24高一下•安徽马鞍山•阶段练习）如图，四边形4BCD中34B=2CD,4CCBD=。，若元+2加=4

AB,且瓦？•丽=9,则△4CD面积的最大值为（）

,D

A.

/

------------------M?

A.3V2B.2V6C.4V3D.6V3

3.⑵-24高一下•江苏盐城•阶段练习）设△4BC的内角4B,C所对的边分别为a,6cg（acosC+ccosX）=2b

smB,且NC4B=5.若点。是△4BC外一点，DC=1,DA=3,下列说法中，正确的命题是（）

A.△ABC的内角B=5

B.△2BC一定是等边三角形

C.四边形4BCD面积的最大值为竽+3

D.四边形48CD面积无最大值

4.（23-24高一下•安徽合肥•阶段练习）已知在锐角三角形45。中，角/,B,。所对的边分别是a,b,c,

且（2a-b）cosC=ccosB,a=2,则△ABC的面积S的取值范围为.

5.（23・24高一下•新疆乌鲁木齐•阶段练习）△ABC的内角力,B,C的对边分别为a,b,c,已知cosC=

等，点。在/C上，5.AD=2DC,BD=2.

⑴求角2;

（2）求△ABC面积的最大值.

题型7J求三角形边长或周长的最值或范围（共5小题）

1.（23-24高一下•重庆•阶段练习）锐角△4BC的内角/,B,C的对边分别为a,b,c,若管+誓旺=

—b=V3,贝!|a+c的取值范围是（）

A.（1,3〕B.（3,2V3]

C.（V3,2V3]D.（V3,3]

2.（23-24高一下•福建莆田•阶段练习）在锐角三角形力8c中，已知a,b,c分别是角4B,C的对边，且

86=2asinB,a=V3,则三角形ABC的周长的取值范围是（）

A.（3-V3,3V3）B.（3-V3,3V3]C.（3+V3,3V3]D.[3+V3,3V3]

3.（23-24高一下•山西朔州•阶段练习）在△4BC中，角/,B,C所对的边分别为a,b,c,。为N3的中

点,且a（sinA—sinB）=（c—6）（sinB+sinC）,c=2,则（）.

A.C=lB.△ABC面积的取值范围为（0,百]

C.△ABC周长的取值范围为（4,6]D.CD长度的取值范围为（1,、同

4.（23-24高一下•江苏南通•阶段练习）锐角△4BC的角N,B,C的对边分别为a,b,c,满足等=

贝哈的取值范围为.

5.（23-24高一下•河南商丘•阶段练习）设锐角三角形4BC的内角4B,C的对边分别为a,b,c,已知2ccosB=a

（2—h）,且C=/.

（1）求a的值；

（2）若D为BC的延长线上一点，且NC4D=也求三角形4CD周长的取值范围.

题型8正、余弦定理的其他应用（共5小题）

1.（23-24高一下•北京•阶段练习）如图,甲船以每小时30立海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀

速直线航行，当甲船位于公处时，乙船位于甲船的北偏西105。方向的劣处,此时两船相距20海里，当甲船航行20

分钟到达42处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的%处,此时两船相距10鱼海里，则乙船每小时航行（）

A.10或海里B.20近海里C.30海里D.30鱼海里

2.（23-24高三上•广东江门•阶段练习）气象台4在早上8:00观测到一台风，台风中心在气象台力正西方向

300V^km处，它正向东北方向移动，移动速度的大小为40km/h；距离台风中心lOOVl^km以内的地区都将

受到影响.若台风中心的这种移动趋势不变，该气象台受到台风影响的时段为（）

A.12:00-17:00B.13:00-18:00C.13:00-17:00D.14:00-18:00

3.（23-24高一下•广东深圳•阶段练习）如图，甲船从乙出发以每小时25海里的速度向正北方向航行，乙

船按固定方向匀速直线航行.当甲船出发时，乙船位于甲船的北偏西105。方向的&处，此时两船相距5北海

里.当甲船航行12分钟到达庆处时，乙船航行到甲船的北偏西120。方向的&处，此时两船相距5海里，下

面正确的是（）

A.乙船的行驶速度与甲船相同B.乙船的行驶速度是15鱼海里/小时

C.甲乙两船相遇时，甲行驶了苧小时D.甲乙两船不可能相遇

4.（23-24高一下•黑龙江哈尔滨•阶段练习）如图，某湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景

台D,已知射线ZB,4C为湿地两边夹角为三的公路（长度均超过4千米），在两条公路AB,4C上分别设立

游客接送点E,F,且力E=4F=g千米，若要求观景台。与两接送点所成角NEDF与NB4C互补且观景台。在

EF的右侧，并在观景台。与接送点E,尸之间建造两条观光线路DE与DF,则观光线路之和最长是（千

米）.

5.（23-24高一下•安徽•阶段练习）如图，某区有一块△O4B的空地，其中。4=2km,O8=2V^km,

ZXOB=90°.当地区政府计划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖△OMN,其中M,

N都在边力B上，且NMON=30。，挖出的泥土堆放在△04M地带上形成假山，剩下的△OBN地带开设儿童

游乐场.为安全起见，需在△O4V的周围安装防护网.

（2）若要求人工湖用地aOMN的面积是假山用地△。4M面积的旧倍，试确定乙4OM的大小;

（3）如何设计施工方案，可使aOMN的面积最小？最小面积是多少？

题型9J复数的模的最值（范围）问题（共5小题）

1.（23-24高一下•上海•阶段练习）已知复数z且|z|=l,则|z-2-2”的最小值是（）

A.2V2B.2V2-1C.2V2+1D.V2-1

2.（23-24高一下•湖南长沙•阶段练习）己知复数z满足|z|=l,则|z-2”的取值范围为（）

A.[0,2]B.[1,3]C.[2,4]D.[1,9]

3.（23-24高一下•重庆沙坪坝•阶段练习）已知i为虚数单位，复数zi=2+i,复数Z2满足：忆2-伤”=1,

则忆2-kzi|（keR）可能的取值为（）

1

A.0B.-C.1D.2

4.（23-24高一下•上海•阶段练习）已知复数zi/2满足0|=1,|Z2|=3,则|z「z名的取值范围是

5.（23-24高一下•上海•阶段练习）已知复数z满足|z+2-2i|=2,且复数z在复平面内的对应点为M.

（1）确定点M的集合构成图形的形状;

（2）求忆-1+2”的最大值和最小值.

题型10卜复数综合（共5小题）

I.（23-24高一下•江苏南京•阶段练习）设△ABC的三个顶点为复平面上的三点zi，z2,z3,满足Z1Z2Z3

=0,Z1+Z2+Z3=8+2i,Z1Z2+Z2Z3+Z1Z3=15+10i,则△4BC内心的复数坐标z的虚部所在区间是

（）

A.（0.5,1）B.（0,0.5）C.（1,2）D.前三个选项都不对

2.（23-24高一下•上海黄浦•阶段练习）已知z=a+6i（a,beR,i是虚数单位）,Z1,z2GC,定义：。⑵=

\a\+\b\,D（zi,z2）=|zj—Z2],给出下列命题：

①对任意zeC,都有D（z）＞0；

②若万是复数z的共辗复数，则D（z）=DG）恒成立；

③。（Z。=D（Z2）（Z[Z2CC）,则Zi=Z2；

④对任意Z1，Z2，Z3eC,结论D（Z1，Z3）＜D（Z1，Z2）+D（Z2/3）恒成立；

则其中真命题是（）

A.①②③④B.②③④C.②④D.①③

3.（23-24高一下•江苏苏州•阶段练习）1843年，Hamilton在爱尔兰发现四元数.当时他正研究扩展复数

到更高的维次（复数可视为平面上的点）.他不能做到三维空间的例子，但四维则造出四元数.根据哈密

顿记述，他于10月16日跟妻子在都柏林的皇家运河上散步时突然想到的方程解.之后哈密顿