2024-2025高一数学下册期中复习：解答题 压轴题（十八大题型）原卷版

2024-2025学年高一下学期期中复习解答题压轴题十八大题型专练

【人教A版(2019)]

题型1向量线性运算的几何应用

1.(23-24高一下•河南周口•阶段练习)如图，在梯形力BCD中，|而|=2,zCOX=pCB=^DA,E为AB

的中点，DP=ADC(A^0).

⑴若无=洒+次，试确定点P在线段DC上的位置;

⑵若|反|=t,当4为何值时，|而|最小?

2.(24-25高一・全国•随堂练习)如图，点。是aABC中8C边的中点，AB=a,AC=b.

(1)试用五3表示AD；

⑵若点G是△ABC的重心，能否用3表示E?

⑶若点G是△2BC的重心，求布+蒲+次.

3.（24-25高一・全国•课堂例题）如图，四边形N2CD是平行四边形，E,厂分别是。。的中点，BE,

AF分别交ZC于M,N.求证：M,N三等分AC.

4.（23-24高一上・北京昌平•期末）如图，在△4BC中，AM=^ABjN=^BC.^AB=ajc=b.

⑴用林表示丽丽；

（2）若P为△力BC内部一点，且而=滋+荥求证：M,P,N三点共线.

题型2向量的数量积、夹角问题

5.（23-24高二上•河北唐山•开学考试）已知同=3,|同=5,|五+同=7.

（1）求向量五与石的夹角仇

⑵当向量）+办与2-石的模相等时，求实数k的值.

6.(23-24高一下•四川成者B•阶段练习)已知向量方与9的夹角为右且同=2,回=鱼.

(1)求五不和忖一同；

(2)求向量2—1与向量石的夹角.

7.(23-24高一下•山西大同•期中)如图，在△ABC中，48=3,力。=4,乙4=60。，点。万满足而=2而,正

=2怎/C边上的中线BM与DE交于点0.设丽=五，次=次

⑴用向量就表示前，反;

⑵求4M0E的大小.

8.(23-24高一下•山东临沂•期中)已知向量就满足同=3,同=6,(5五—4刃)《23+3)=-81.

(1)求向量五与右的夹角；

(2)若向量H在右方向上的投影向量为工求-Q+3)的值.

题型34平面向量基本定理的应用

9.(24-25高一上•河北保定•期中)如图，在△/!回中，AM==ajc=b.

(1)用方3表示AN,MN；

(2)若P为△ABC内部一点，且丽=一3+革.求证：M,P,N三点共线.

10.(23-24高一下•山东•期中)如图，在△ABC中，已知力B=2,4C=3,ABAC=60°,N是4C的中点,

前=|就，设4"与BN相交于点P.

(1)求COSNMPN的值；

⑵若而=商5+丫/，求x+y的值.

11.(23-24高一下•安徽蚌埠•期末)如图，在口4BCD中，E,X分别是4D,2C的中点，AF=2FB,G

为DF与BE的交点.

(1)记向量屈=优而=讥试以向量不，9为基底表示技，DF；

(2)^/1C=mBE+nDF,求加，〃的值；

(3)求证：A,G,H三点共线.

12.(23-24高一下•山东•期中)如图，在△A8C中，点P满足元=2版,。是线段4P的中点，过点。的直线

与边AB/C分别交于点E尸

(1)若方=%荏+丫前，求x和y的值；

----->----->-----»-----»12

(2)若EB=AAECX>O),FC=>0),求+I的最小值.

题型4向量坐标运算的几何应用

13.(24-25高一・江西宜春•期中)己知冕，五是平面内两个不共线的非零向量，AB=2e^+e^BE=-e^+Ae^

J?=—2五+五，且4E,C三点共线.

⑴求实数久的值;

(2)已知瓦=(2,1),*=(2,-2),点D(3,5),若4B,C,D四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点/的坐标.

14.(23-24高一下•湖南永州•阶段练习)已知4B,。三点的坐标分别为(—1,0),(3-1),(1,2),且盛=

荻7,BF=^BC.

(1)求点E,F的坐标；

(2)判断正与同是否共线.

15.(24-25高一下•广东中山•阶段练习)在直角梯形4BCD中，已知力B〃CD,ABAD=90°,AB=6,

AD=CD=3,对角线力C交BD于点。，点M在上，S.OMLBD.

(1)求莉•丽的值；

(2)若N为线段AC上任意一点，求丽•丽的取值范围.

16.(23-24高一下•河南•期末)如图，已知平行四边形4BCD的三个顶点B、C、。的坐标分别是(-1,3)、

(3,4)、(2,2).

⑴求顶点a的坐标；

（2）在线段4D上是否存在一点E满足近1就，若存在，求嵋；若不存在，请说明理由.

题型5用向量解决夹角、线段的长度问题

17.（23-24高三上•河南新乡•阶段练习）如图，在△4BC中，已知4B=2,AC=5,ABAC=60°,BC,AC

边上的两条中线4M,BN相交于点尸,

⑴求|PN|；

⑵求NMPN的正弦值.

18.（24-25高一下・贵州贵阳•阶段练习）如图所示，矩形/BCD的顶点/与坐标原点重合，B,。分别在

x,y轴正半轴上，4B=4,4。=2,点£为上一点

y>

D

A\EBx

(1)若DEIAC,求/£的长；

(2)若E为48的中点，/C与。E的交点为求cosNCME.

19.(23-24高一下•广东广州•期中)如图，在△ABC中,43=3,4。=2/艮4。=也。是8。边的中点，。5148,4。

与CE交于点F.

⑴求CE和AD的长度;

(2)求cos/CFD.

20.(23-24高一下•重庆•期末)如图，在△ABC中，已知N»4C=120。，48=2,AC=4,点。在8c上,

且BD=2DC,点E是4C的中点，连接AD,BE相交于。点.

⑴求线段2D,BE的长;

⑵求NEOD的余弦值.

题型6向量与几何最值（范围）问题

21.（23-24高一下•江西九江•期末）已知四边形48co是边长为2的菱形，乙4BC=1,尸为平面/BCD内

一点，NC与AP相交于点。.

（1）若丽=而，AQ=xBA+yJc,求x,y的值;

⑵求（可+丽）•丽最小值.

22.（23-24高一下•湖北荆州•期中）己知△ABC中，C=90。/3=2/C=1,D是线段BC上一点，且加=4

CB,尸是线段48上的一个动点.

（1）^X0=xAB+yAC,求x-y（用4的式子表示）；

（2）求方•瓦?的取值范围.

23.（23-24高一下•辽宁朝阳•期中）在△ABC中，C4=2,AB=3,ABAC=—,。为BC的三等分点（靠

近C点）.

D

AC

⑴求而•丽的值；

⑵若点P满足而求丽•玩的最小值，并求此时的人

24.(24-25高一下•四川成者B•阶段练习)在AIBC中，己知AB=2,AC=1,AB-AC=-1,CP=ACB

(O<A<1),。为线段C4延长线上的一点，且而=

(1)当土=—1且2=5，设P。与交于点M,求线段CM的长；

⑵若药•所+3=而♦荏，求才的最大值.

题型7证明三角形中的恒等式或不等式

25.(2024・安徽•模拟预测)在△4BC中，A,B,C所对的边是a,b,c.

(1)请用正弦定理证明：若a>6,则4>B；

(2)请用余弦定理证明：若4>B,则a>6.

26.(2024•全国•模拟预测)在△4BC中，点。，E都是边3c上且与8,C不重合的点，且点。在8,E

之间，AE-ACBD=ADAB-CE.

(1)求证：sm/-BAD=sinzCXE.

⑵若AB1"，求证：怒+慈=匚』.

27.(23-24高一下•安徽•期中)已知锐角△ABC,a力,c分别为角4SC的对边，^a2+c2-b2=2bc

(1+cos/).

(1)求证：A=2B；

(2)求g的取值范围.

28.(23-24高一下•江苏盐城・期末)在NtBC中，角4,B,C的对边分别为a,b,c,已知C=25.

1

(1)右sinB=]求sin/的值；

(2)若Q>c,求证：^<|<A.(参考数据：A=2siny^=0.618)

题型8三角形(四边形)的面积问题

29.(2024•黑龙江哈尔滨•一模)在△ABC中，角4B,C所对的边分别为a,hc,asinB=—gbcosA,角4的平

分线交BC于点D,且力。=1.

(1)求4的大小；

(2)若。=2迷，求△4BC的面积.

30.（23-24高一下•江苏无锡•阶段练习）在四边形4BCD中，AB//CD.AD-sm^ADC=2CD-sinzXBC.

⑴求证：BC=2CD.

（2）若力B=3CD=3,且NBDC=60。，求四边形ABCD的面积.

31.（23-24高一下•河南南阳・期中）在锐角△4BC中，内角/,B,C的对边分别为a,b,c,且2ccos

B=2a-b.

⑴求C；

(2)若b=5,c—V19,求△•ABC的面积.

32.（23-24高一下•河南洛阳•期中）已知平面四边形4BDC中，对角线CB为“CD的平分线，CB与AD相交

1

于点。，AC=5,AD=7,cosZ^CD=

⑴求C。的长；

⑵若BC=BD,求△48。的面积.

题型9Z求三角形中的边长或周长的最值或范围

33.(24-25高三上•安徽合肥•阶段练习)△A8C的内角48,C的对边分别为a,b,c,已知(c—26)cos2+之若及

=0.

(1)若a=4,b+c=8,求△ABC的面积;

(2)若角C为钝角，求?的取值范围.

34.(23-24高一下•广东茂名•期中)设△ABC内角4B,C的对边分别为a,6,c,已知6=28，2a-c=2bcos

C.

⑴求角B；

(2)若a+c=4,求△4BC的面积；

(3)求△力BC的周长的取值范围.

35.(23-24高一下•浙江丽水•阶段练习)在锐角△力中，已知角/,B,C所对的边分别为a,b,c,且

由2—\2___________2

sin(?l-5)—V3cosC,

(1)求角C的大小；

(2)求号的取值范围―

36.(23-24高三上•浙江绍兴•期末)已知锐角△ABC的内角力,B,C,所对的边分别为Q,b,c,且从也亍

=asinB.

(1)求角力;

(2)若a=2g,求△ABC的周长的取值范围.

解三角形与三角函数综合

37.(23-24高一下•浙江台州•期中)如图，在△4BC中，PC=2BP,AF=^AC,E是边4B上的点.

BPC

⑴若直线£尸与4P的交点。恰好是线段2P的中点，设族=x屈，求实数x的值;

(2)若48"=方，BC=3,AE=^AB,求4F—4E的取值范围.

38.(23-24高一下•四川巴中•期末)已知函数f(x)=2sin(o)x+0)(3>0-^<(p<乡的部分图象如图所示.

(1)求函数/(%)的解析式；

(2)在锐角aABC中，角4B,C所对的边分别为a,b,c,若f(4)=g,b=2,且aaBC的面积为尊,

求a.

39.(2024•北京•三模)已知函数/(%)=2V3sintoxcoscox+2cos23%,⑷>0)的最小正周期为TL

⑴求3的值；

(2)在锐角中，角4,B,。所对的边分别为a,b,c.c为/(久)在［。,耳上的最大值，再从条件①、条件

②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求。-力的取值范围.条件①：acosB+bcosA=2ccosC；条件

②：2asin4cosB+bsin24=旧阳条件③：△4BC的面积为S,且5=超卢2注：如果选择多个条件

分别解答，按第一个条件计分.

40.(2024•湖南•模拟预测)已知函数/(%)=2V^sin%cos%-2cos2%.

(1)求函数y=log2/(%)的定义域和值域;

(2)已知锐角△4BC的三个内角分别为/,B,C,若fg)=0,求华的最大值.

题型n根据复数的四则运算结果求复数特征

41.(24-25IWJ一■上,上海,课后作业)已知复数Zi=i与Z2=-]+乎i.

⑴求|zj及|Z2|的值;

(2)设zee,满足IZ2I<|z|<|Z1|的点Z的集合是什么图形?

42.(24-25高一・全国•单元测试)已知复数z满足|z+2-2i|=2,且复数z在复平面内的对应点为M.

(1)确定点M的集合构成图形的形状；

⑵求|z-l+2i|的最大值和最小值.

43.(23-24高一下•浙江宁波・期中)已知复数2=。+历，其中a,6eR,i为虚数单位.

⑴当|z|=5,且a?+2。-3+(a?+a-2)i是纯虚数,求a,b的值；

⑵当|z|=5时,求|z-l|的取值范围.

44.(23-24高一下•江苏无锡•期中)设复数zi=2+ai(其中aeR),z2=3-4i.

(1)若是纯虚数，求a；

(2)求满足|Z-Z2|W巡的复数z在复平面上对应的点构成的图形的面积.

题型12复数范围内方程的根的问题

45.(23-24高一下・上海松江,期末)己知i为虚数单位，复数z=(m2-3m-4)+(m2+m)i.

(1)当实数6取何值时，z是纯虚数；

(2)当爪=1时，复数z是关于x的方程/+px+q=0的一个根，求实数p与q的值.

46.(23-24高一下•上海•期末)设i是虚数单位，mk6Ra0是关于x的方程/-(2+mi)x+k=0的两根,

且满足回+网=3.

(1)若a=2+遮i,求机与k的值；

(2)若m=0,求k的值.

47.(23-24高一下•上海•期末)设复数zi*2满足：ziz2+2iz1-2iz2+1=0

(1)若为-zi=2i,求zi与Z2-

(2)若Z]Z2是实系数一元二次方程久2-2四刀+p=0的两个根，求实数P的值.

48.(2024高三•全国•专题练习)已知关于x的二次方程(tanJ+i)x—(i+2)=0.

(1)当。为何值时，这个方程有一个实根？

(2)是否存在凡使得原方程有纯虚数根？若存在，求出。的值；若不存在，试说明理由.

题型13空间几何体的截面问题

49.(2024高三・全国・专题练习)如图在正方体48CD-418停1。1中，P,Q是所在棱上的中点.

(1)求平面4PQ与平面4BCD夹角的余弦值;

(2)补全截面APQ.

50.(23-24高一下•河南洛阳•期中)如图，在正方体ABCD-力iBiCWi中，〃是当久的中点，E,F,G分

别是。C,BC,4C的中点.

(1)求证：平面EFGII平面BDDpBi；

(2)若正方体棱长为2,请在正方体的表面完整做出过/,E,G三点的截面，写出作图过程，并求出截面的

面积.

51.(23-24高一下•吉林长春•期中)已知正四棱柱ABC。—&B1GD1中，AB=2,4公=4,点E,F分别是棱

44141射的中点，过7,E,F三点的截面为a.

(1)作出截面a(保留作图痕迹)；

(2)设截面a与平面881cle交于直线八且截面a把该正四棱柱分割成两部分，记体积分别为匕〃2(匕＜乙).

(i)求证：DrE//l-

(ii)求N的值.

v2

52.(23-24高一下•河南•阶段练习)如图，在长方体ZBCD-//停1%中，分别在即通。上.已知

AB=BC=6,AA1=8,BE=DF=2.

⑴作出平面QEF截长方体ABC。-&B1C1D1的截面，并写出作法；

(2)求(1)中所作截面的周长；

(3)长方体力BCD-A/iCWi被平面的前截成两部分，求体积较小部分的几何体的体积.

题型14几何体与球的切、接问题

53.(24-25高三上•四川南充•阶段练习)如图,四边形ABCD为矩形，且2。=2,AB=1,PA1平面

ABCD,PA=为BC的中点.

(1)求证：PE1DE；

⑵求四棱锥P-4BCD的外接球体积.

54.(23-24高一下•山东东营•期末)如图，正四棱锥S—ABCD中，SH是这个正四棱锥的高，SM是斜高，且

SH=2,SM=2V2.

(1)求这个四棱锥的全面积；

(2)分别求出该几何体外接球与内切球的半径.

55.（23-24高三下•贵州・开学考试）如图，在四棱锥P-4BCD中，平面PBC1平面ABCD,NPBC=90。,

AD]IBC,zXBC=90°,2AB=V2CD=2AD=2.

(1)求证：CD1平面PBD；

(2)若直线PD与底面ABC。所成的角的余弦值为空，求三棱锥2-PBD的外接球表面积.

56.(2024高三•全国•专题练习)已知正三棱锥P-A8C的高为2,AB=4甚,其内部有一个球与它的四个

面都相切，求：

(1)正三棱锥P-4BC的表面积；

(2)正三棱锥P-A8C内切球的表面积与体积.

题型15平行与垂直关系的综合应用

57.(2024高二上•江苏•学业考试)如图，已知正方体求证:

||平面加必；

(2)BiC1平面28。必.

58.(2024高三・全国•专题练习)如图，在四棱锥P-4BCD中，底面力BCD为平行四边形，△PCO为等边三

角形，平面P4C1平面PCD,PALCD,CD=2,AD=3,

(1)设G,H分别为PB,AC的中点，求证：GH〃平面PAD；

(2)求证：P41平面PCD；

59.(24-25高二上・北京•期中)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面4BCD是菱形，点E,F分别为ZB,PD的

中点.NZMB=60。，平面PDE1平面4BCD,PD=AD=2.

(1)求证：直线2F〃平面PCE；

(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，在线段PE上是否存在点M,使得。平面力BF?

若存在，求出器的值；若不存在，请说明理由.条件①：PE=CE；条件②：cos/PED=亨.

60.(24-25高二上・江苏南通•期中)如图，在三棱柱ABC-41B1Q中，侧棱BBi1底面4BC,底面△4CB

是直角三角形，BC147,点瓦尸分别在ABMiQ上，且BE=2E4.

⑴证明："1平面BCCiBi；

⑵若&E〃平面BCF,求苗.

题型16空间角问题

61.(24-25高二上•山东泰安・期中)如图，在三棱锥4—BCD中，ABAC=BD=CD=AD-3,BC=2,

M在线段2。上，且AM=2,N为8c的中点.

(1)证明：BC1AD；

(2)求异面直线4N,CM所成角的余弦值.

62.(24-25高三上•河北石家庄•阶段练习)如图，三棱锥P-4BC中，P41底面48C,

PA^AC=2,BC=1,AB=V3,£>是平面ABC内的一点.

(1)若4。，平面尸N8,求三棱锥P-BCD的体积；

(2)若ACDC,当直线PD与平面A8C所成角的正弦值为手时，求二面角D-PC—4的正切值.

63.(24-25高二上•上海•期中)如图，正方体的棱长为1,B'CCBC=O,求:

(1)4。与4。所成角的大小;

⑵40与平面力BCD所成角的正切值.

64.(24-25高二上•上海•期中)如图，在三棱锥P-ABC中，PB1底面ABC,垂足为B,ABCA=90°,

PB=BC=CA=4.

A

(1)求证：侧面P4C1侧面PBC；

(2)E为PC的中点，EFLPA,垂足为F,求与侧面P"所成角的大小.

点、线、面的距离问题

65.(2024•贵州六盘水•模拟预测)如图甲，在梯形ABCD中，NB=NC==2CD=2,E为AB

中点.将△4DE沿DE折起到△力1DE位置，连接&B,ArC,得到如图乙所示的四棱锥力「BCDE.

甲

(1)证明：DE1平面41BE；

⑵当二面角Ai-DE-B为与时，求点B到平面&CD的距离.

66.(24-25高三上•黑龙江绥化•阶段练习)如图，在四棱锥P-4BCD中，PD1平面4BCD,底面4BCD为平

行四边形，E,F分别为BC,PA的中点.

(1)证明：EF〃平面PCD；

(2)若48=24。=2,