2024-2025学年北京市某校高二（下）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年北京市育才学校高二(下)期中数学试卷

一、单选题：本大题共10小题，共40分。

1.已知/(%)=；,则/(1)=()

A.0B.1C.-1D.-2

2.下列求导运算正确的是()

A.(x+1)'=xB.(^)'=InxC.(sinx)z=cosxD.(ex)'=xex~1

3.袋中共有5个球，其中3个白球，2个黑球.从袋中抽取2个球，其中恰有一个白球的概率为()

3313

A-5ByC.-D.-

4.已知函数f(x)在R上可导，其部分图象如图所示，设粤誓=a,则下列不等式正确的是()

Z—1

A.尸(1)<尸(2)<aB.((1)<a<尸(2)

C.((2)<((1)<aD.a</(1)<尸(2)

5.在等比数列｛a九｝中，的=2,a=J.若=2-15,则租=()

q4

A.17B.16C.14D.13

6.设是公比为q的等比数列，则“q>1”是“｛%J为单调递增数列”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

7.若等差数列｛厮｝满足>0,a7+a10<0,则当｛诙｝的前n项和最大时,n=()

A.7B.8C.9D.10

8.将两枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件力=｛两个点数互不相同｝,B=｛出现一个5点｝,则

P(B\A)=()

9.等比数列｛5｝中，%_=8,a4=-1,记乃=即%1+1，neN*,则数列偏｝()

A.无最大项，无最小项B.有最大项，有最小项

C.无最大项，有最小项D.有最大项，无最小项

10.已知%是等差数列｛5式九6N*)的前n项和，且55>S6>S*以下有四个命题：

①数列｛Sn｝中的最大项为Si。；

②数列的公差d<0；

③Si。>0；

④Su<0.

其中正确的序号是()

A.②③B.②③④C.②④D.①③④

二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。

11.已知函数/'(x)=xlnx,则/''(1)=.

12.一个工人看管三台自动机床，在一小时内第一、二、三台机床不需要照顾的概率为0.9,0.8,0.8,在

一小时的过程中，求至少有一台机床需要照顾的概率.

13.已知｛即｝为等差数列，Sn为其前几项和.若的=1,的+&2=。3，则公差d=,数列心｝的前5项

和为.

14.是否存在一个各项都小于5的无穷递增数列？如果存在，写出一个满足条件的数列的通项公式；如果不

存在，说明理由.

15.已知数列满足的,>0,a=a+—(fc力0),给出下列四个结论：

n+inan

①存在k,使得｛即｝为常数列；

②对任意的k>0,｛an｝为递增数列；

③对任意的k>。，｛即｝既不是等差数列也不是等比数列；

④对于任意的匕都有磷2/+2k(n-1).

其中所有正确结论的序号是.

三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.已知等差数列｛厮｝满足:%=2,且％,a2,as成等比数列,数列｛即｝的前n项和为％.

(1)求数列｛5｝的通项公式，前几项和6；

(2)是否存在正整数打，使得%>60n+800?若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由.

17.某高中组织学生研学旅行.现有4B两地可供选择，学生按照自愿的原则选择一地进行研学旅行.研学旅

行结束后，学校从全体学生中随机抽取100名学生进行满意度调查，调查结果如下表：

高一高二IWJ三

a地B地4地B地a地B地

满意122183156

一般226568

不满意116232

假设所有学生的研学旅行地点选择相互独立.用频率估计概率.

(I)估计该校学生对本次研学旅行满意的概率；

(II)分别从高一、高二、高三三个年级中随机抽取1人，估计这3人中至少有2人选择去8地的概率；

(III)对于上述样本，在三个年级去4地研学旅行的学生中，调查结果为满意的学生人数的方差为比，调查

结果为不满意的学生人数的方差为受，写出式和s/的大小关系.(结论不要求证明)

18.已知函数f(x)=?.

(1)求f(久)在点力(1,e)处的切线方程；

(2)/i(x)=x■/(x),若拉(%)的一条切线I恰好经过坐标原点，求切线，的方程.

19.已知在数列｛即｝中，%=2,bn=2。",,其中n€N*.

(I)求数列｛心｝的通项公式；

(II)求证：数列｛,｝是等比数列；

(III)求数列｛每+3｝的前般项和

从下列三个条件中，任意选择一个补充在上面的问题中并作答.

①前n项和%—n2+n；

a

@n+i-2=an；

(^)口4=8_且2<1血+1—a7z+d-fi-^2'

“地区农科所统计历年冬小麦每亩产量的数据，得到频率分布直方图(如图)，考虑到受市场影响，预测该

地区明年冬小麦统一收购价格情况如表(该预测价格与亩产量互不影响).

明年冬小

麦统一收

购价格(单2.43

位：元/

kg)

概率0.40.6

假设图中同组的每个数据用该组区间的中点值估算，并以频率估计概率.

(I)试估计H地区明年每亩冬小麦统一收购总价为1500元的概率；

(II)设“地区明年每亩冬小麦统一收购总价为X元，求X的分布列和数学期望；

(III)”地区农科所研究发现，若每亩多投入125元的成本进行某项技术改良，则可使每亩冬小麦产量平均增

加50kg.从广大种植户的平均收益角度分析，你是否建议农科所推广该项技术改良？并说明理由.

21.己知数列｛斯｝满足的=：厮+1=(2an+2n_奇数，数列｛心｝的前几项和为%,数列｛b｝满足

I一%:-几九为偶数

bn=。2九，其中九EN*

(I)求。2+。3的值；

(II)证明：数列｛,｝为等比数列；

(III)是否存在n(neN*),使得S2n+i-?=b2/若存在，求出所有的n的值；若不存在，请说明理由.

参考答案

l.c

2.C

3.2

4.B

5.4

6.D

1.B

8.X

9.C

10.B

11.1

12.0.424

13.1|

14.存在，如数列an=5-弓尸.

15.②③④

16.解：(1)设等差数列的公差为d,

由的=2,且的，a2,成等比数列，

得(2+疗=2(2+4d),解得d=0或d=4,

当d=0时，tin=2,Sn-2n；

2

当n=4时,an=2+4(n—1)=4n—2,Sn==2n.

(2)当5„=2n时，Sn<60n+800,此时不存在正整数n,使得%>60n+800成立；

当%=2几2时，由8>60n+800,得2n2>60n+800,解得n>40或n<—10.

此时存在正整数n=41,使得%>60n+800成立.

17.解：(I)从表格数据可知，随机抽取的100名学生对本次研学旅行满意的人数为12+2+18+3+15+

6=56,

因此该校学生对本次研学旅行满意的概率可估计为盖=~

(II)设事件4：抽取的高一学生选择去B地,

事件&2：抽取的高二学生选择去B地，

事件43：抽取的高三学生选择去B地，

事件G：抽取的3人中恰有i人选择去B地，i=2,3,

事件。：抽取的3人中至少有2人选择去B地，

从数据表格可知，抽取的100名学生中高一年级学生总数为12+2+1+2+24-1=20,

选择去B地的总数为2+2+1=5,所以P(4)可估计为嘉=p

抽取的100名学生中高二年级学生总数为18+6+6+3+5+2=40,

选择去B地的总数为3+5+2=10,所以P(42)可估计为俳=P

抽取的100名学生中高三年级学生总数为15+6+3+6+8+2=40,

选择去B地的总数为6+8+2=16,所以P(4)可估计为算=|,

因为。=c2UC3=A1A2A3UA1A2A3\JArA2A3\JA1A2A3,

所以P(D)=P(C2UC3)=P(<A1A2A3UA1A24UA1A2A3UA1A2A3)

=PQ41)PQ42)P“3)+「(4a(£»(4)+P(ii)P(4)PG43)+P(4)PQ42)PG43)，

所以抽取的3人中至少有2人选择去B地的概率可估计为

11〃2、，r1-1、2,11217

44、574、4，544580

(III)在三个年级去/地研学旅行的学生中，

调查结果为满意的学生人数的平均数为五=1(12+18+15)=15,

则调查结果为满意的学生人数的方差为受=1[(12-15产+(18-15/+(15-15月=6,

调查结果为不满意的学生人数的平均数为看=+6+3)=当

则调查结果为不满意的学生人数的方差为s/=1[(1-与/+e_学y+(3_与沟=等

则统〉s2

18.解：(1)因为f(久)=?，所以「。)=号丝=42，

所以((1)=0,

所以所求切线方程为y-e=0；

(2)因为八(%)=x-/(x)=ex,所以"(%)=ex,

设过原点的切线，切九(%)于点C-),

则切线方程为：y—N=et(％—t),又其过原点，

所以一N=—(T),所以t=l,

所以切线，的方程为y—e=e(x—1),即为ex—y=0.

19.(I)解：若选择①：前九项和S九=n2+九，

22

则九>2时，an=Sn-Sn_1=(n+n)—[(n—l)+(n—1)]=2n,

当九=1时，的=2=2x1,也适合?1>2的式子.

综上所述，数列九｝的通项公式为册=2n；

若选择②：an+1-2=an,则%i+i-=2(常数)，

可知数列构成公差为2的等差数列，首项的=2.

所以数列｛时｝的通项公式为每=2+(n-1)X2=2n；

19

右叵)：=8且2a九+i=CLn+CL/I+2贝U%i+1—=。n+2—^n+l

可知数列是等差数列，

设公差为d,则由%=%+3d=8,得2+3d=8,解得d=2.

所以数列的通项公式为册=2+(n-1)x2=2n.

(II)证明：若田=2%,则由(I)的结论与=2n，可得篇=22九=4%

因为与±1=鲁=4(常数)，且瓦=2al=4,

Dn4

所以数列｛4J是首项为4,且公比q=4的等比数列；

(III)根据即=2兀，6n=4%结合等差数列与等比数列的求和公式，可得：

a

Tn=(ar+瓦)+(。2+「2)T----+-(n+bn)

=+。2+……+。九)+(瓦+62+……+671)

°n(?i—1)04(1-4”)741.n+l1An+124

=2n+--x2+―#=n2+n—-+-x4n+1=-x4n+1+n2+n-

21—43333

即”=+n2+n-1.

20.解：(I)由频率分布直方图知，亩产量为400kg的频率为0.005x50=0.25,亩产量为450题的频率为

0.01X50=0.5,亩产量为500kg的频率为0.005X50=0.25,

只有当亩产量为500kg,且收购价格为3元，才能使得明年每亩冬小麦统一收购总价为1500元，故所求的

概率为0.25X0,6=0.15.

(II)由亩产量为400kg,450kg,500kg,收购价格为2.4元，3元，可知随机变量X的所有可能取值为

960,1080,1200,1350,1500,

P(X=960)=0.25x0.4=0.1,

P(X=1080)=0.5x0.4=0.2,

P(X=1200)=0.25X0.6+0.25X0.4=0.25,

P(X=1350)=0.5X0,6=0.3,

P(X=1500)=0.25X0.6=0.15,

所以X的分布列为

X9601080120013501500

p0.10.20.250.30.15

数学期望E(X)=960X0.1+1080X0.2+1200X0.25+1350X0.3+1500X0.15=1242元.

(III)增产后，小麦的亩产量变为450kg,500kg,550kg,

由(II)可知，X的分布列为

X108012001320135015001650

P0.10.20.10.150.30.15

数学期望E(X)=1080X0.1+1200X0.2+1320X0.1+1350x0.15+1500x0.3+1650x0.15=1380

元，

因