2024-2025学年甘肃省白银某中学高三（下）段考数学试卷（2月份）+答案解析

2024-2025学年甘肃省白银八中高三(下)段考数学试卷(2月份)

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合4={mInrr>0},8={剑y=，4一22},则4n8=()

A.(1,2]B.(0,2]C.,[0,+oo)D.(l,+oo)

2.若复数z满足(4+2i)z=(3—犷，贝ij⑶=()

A.1B.y/2C.VsD.V5

57r1

3.已知tan(q——a)=-则sin2a=()

443_3

A.-B.——C.D.

555-5

4.已知向量才=(wi+3,2wi+1),7=(机+3,-5)，则”|刈=2"是“/_)_了”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.已知加，〃是两条不同的直线，a,0是两个不同的平面，aCB=n,则下列说法正确的是()

A.若m〃a,则m〃nB,若机〃n,则m〃a

C.若mln>则m邛D.若mL/3,则mln

6.连续抛掷一枚质地均匀的骰子2次，记录每次朝上的点数，设事件/为“第一次的点数是2”，事件3

为“第二次的点数小于4”，事件C为“两次的点数之和为偶数”，贝4()

A.P(A｝=—B.4与C相互独立C./与C互斥D.8与C互斥

36

22

7.设用，历是椭圆C：4+5=l(a〉b>0)的左、右焦点，过田的直线/与C交于45两点，若AF21BF2,

a2b1

Ko

\AB\=^-,则。的离心率为()

o

8.若/3)=3—1)3+2Q—l)—ln户+2,数列｛厮｝的前〃项和为S",且&=4，2Sn=nan+1,则

/一力10

19

£[/(出)+/(&20—初=()

i=l

A.76B.38C.19D.0

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分,

部分选对的得2分，有选错的得。分。

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9,下列选项中正确的是()

A.Q〉6〉0,则QC<be

B.若Q〉b,c<d,则Q-c〉b-d

C.若lWaW5,—l(b<2,则一1WQ—b<6

D.若立〉1,则x+1的最小值是2

X

10.己知抛物线/=2PMP〉0)的焦点为「过点厂的直线/与该抛物线交于M,N两点，且的最小

值为4,。为坐标原点，贝1]()

A.p=2

B.存在直线/,使得△OMN的面积为1

C.对于任意的直线/,都有互点.赤=—3

D.当|MN|=8时，直线/的倾斜角为区或胃

o6

11.在数学史上，曾经定义过下列两种三角函数：1—cos0为角。的正矢，记作oersin。；1-sin6为角。的

余矢，记作ccwersin仇则下列说法正确的是()

7T

A.函数4=coversinx—uersin力在［4,vr］上单调递减

coversinx—1.7

B.右-----；------=2,贝！］coversin2x—versin2x=--

versmx—15

C.若函数f⑸=versin(2024r-刍+coversin(2024x+［),则/⑶的最大值为2+四

o0

D.versin(---。)=coversin0

2

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知｛厮｝为等差数列，公差为一2,且a,=a3a9，则前10项和Sio=.

13.在△ABC中，角A,3,C的对边分别为a,b,c,asinA+bsinB=csinC-V3bsinA>则C=■

14.已知三棱锥P—43。的四个顶点都在球体。的表面上，若84=2,47=4,且

PA=PB=PC=BC=2A/3>则球体。的表面积为.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

已知函数/(2)=ax-sina?.

(1)若函数/(2)为增函数，求实数。的取值范围；

(2)求证:当1〉0时,ex>2sinx.

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16.(本小题15分)

在一个不透明的盒子中装有除颜色外其余完全相同的若干个小球，其中有加个白球，机个黑球，2个黑白相

间的球，且从盒子中随机摸出1个球，摸到黑白相间的球的概率为:

(1)从盒子中随机摸出1个球，求在摸出的球上带有黑色的条件下，摸出黑白相间的球的概率；

(2)从盒子中1次随机取出1个球，取出后不放回，共取2次，设取出的黑球数量为X,求X的分布列与期

望.

17.(本小题15分)

已知双曲线—g2=i(a>0)的离心率为}g,左、右顶点分别为“，N,过点4(2a0)的直线/与C

的右支交于P。两点.

(1)求。的方程；

(2)证明：直线九ZP与NQ的斜率之比为定值.

18.(本小题17分)

如图，在四棱锥P—4BCD中，侧面PAD,底面N3。，侧棱P4=P0=核，PALPD，底面N5CD

为直角梯形，其中ABLAD,AB=BC=1，。为ND中点.

(1)求直线PB与平面POC所成角的余弦值.

(2)求3点到平面PCD的距离.

(3)线段尸〃上是否存在一点°,使得二面角Q-A。—。的余弦值为交？若存在，求出祟的值；若不

3QD

存在，请说明理由.

19.(本小题17分)

设正整数n>3,集合•-，而}={1,2,•••#},已知有穷数列4):&2,…，厮经过一次M变

换后得到数列小：max{ai,ci2}>max{a2,03}<…，max{an_i,an},max{an,ai},其中max{a,b}表示a,

b中的最大者.记数列A的所有项之和为S(A).

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⑴若4)：1,3,2,4,求s(4)；

(2)当n=5时,求S(4)的最大值；

⑶若41经过一次M变换后得到数列A2,求S(4)的最大值.

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答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：因为1112：>0>所以工>6°=1>

所以A=(1,+oo),

因为4—/20,所以3—2乂/+2)W0,所以—24/W2,

所以B=[—2,2],

故4D_B=(1,2].

故选：A.

先解对数不等式，再应用交集定义计算即可.

本题主要考查交集及其运算，属于基础题.

2.【答案】D

【解析】解：(4+2，)z=(3—犷，

(3-i)2(8-6z)(4-2i)32—161—242—12,

则milz=NT=(4+2z)(4_2z)=一F-=11—o2/'

故⑶=,12+(—2产=焉.

故选：D.

根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数模公式，即可求解.

本题主要考查复数的四则运算，属于基础题.

3.【答案】A

57r

5tan———tana1

【解析】解：因为tan(1-Q)=----生砺-----=解得tana=2,

1+tan—tana>

4

2sinacosa2tana4

所以sin2a=

cos2a+sin2a1+tan2a5

故选：A.

利用两角差的正切公式得到tana=2,再利用倍角公式和齐次化得到sin2a的值.

本题考查了两角差的正切公式以及倍角公式在三角函数求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题.

4.【答案】B

【解析】解：=(m+3,2m+1),~b=(m+3,-5)，Z_L7，

则(M+3)2—5(2加+1)=0,解得6=2,

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\fn\=2,解得m=±2，

故“|刈=2”是“才上了”的必要不充分条件.

故选：B.

根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解.

本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题.

5.【答案】D

【解析】解：若6〃a,则加与"可以成任意角，.•.4选项错误；

若机〃n,则m〃a或nzCa,B选项错误；

若小工八，则团与。可以成任意角，,。选项错误；

若则m_Ln，选项正确.

故选：D.

根据空间中各要素的位置关系，逐一判断即可.

本题考查空间中各要素的位置关系，属基础题.

6.【答案】B

【解析】解：根据题意，连续抛掷一枚质地均匀的骰子2次，记录每次朝上的点数,

有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),

(2J)，(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),

(3,1).(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),

(4,1)，(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),

(5,1)，(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),

(6,1)，(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共36个不同结果,

对于4事件/为“第一次的点数是2”,包含6种情况，则P(4)=?=:,/错误；

对于3,事件。为“两次的点数之和为偶数”，包含18个结果，则P(C)=；,

事件NC,即(2,2),(2,4),(2,6)包含3个结果，则P(4C)=\,

则有P(A。)=P(⑷P(C),事件/、。相互独立，3正确.

对于C,事件4C可以同时发生，故不互斥，C错误；

对于。，事件C、2可以同时发生，不互斥，。错误.

故选：B.

列举所有基本事件，由古典概型公式即可求解/,由互斥事件的定义分析CD,由相互独立事件的定义即可

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求解民

本题考查相互独立事件概率乘法公式，属于中档题.

7.【答案】D

【解析】解：不妨设|力司=6，=n,m<n,

由椭圆的定义可得：|/用|=2(1-771,田52|=2a-n,

又AF2LBF2,所以(2a—x)2+(2a—y)2=(x+y)2,

化简得nrn+2a(m+7i)=4(J2,显然ni+n==年，

o

o2

所以加几=n"，解得巾=9,n=a,

3J

4Q

所以=可，田凡I=a,可得2为椭圆的短轴的顶点,

O

所以

CM碎2+因马2—M/2（和+（2c/—（步

COSZ.AF1F2=—COSZ.BF1F2

a—2M尸i|因1引—22a

3

解得a=

故C的离心率为班.

5

故选：D.

设|46|=加，田碎=葭，由椭圆的定义可得|4福=2。—加，田园=2。—冗，X.AF21BF2,可得〃?,

"的值，即求出|力碎，田田|,|力用伊田|的值，由余弦定理可得cos/4为巴的表达式，进而求出a,

c的关系，即求出离心率的大小.

本题考查椭圆的性质的应用，余弦定理的应用，属于中档题.

8.【答案】A

【解析】解：因为/⑸=（2一1）+2（加一1）—In4+2,

2—x

所以/（力）+/（2—6）=（①一1/+2（力—1）—In------/2+（1—6）3+2（1—x）—in-----k2=4,

2-xx

所以/（力的图象关于点（1,2）对称，

因2s九—72。九+1,

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所以2Sn-i=｛n-l)an(n22),

所以2Sn—2S"-i=—(ri—22),

所以2厮=nan+1-(n-l)an(n)2),

所以普=T(心"

又Si=—>2szi=TIQ"+I,

112

所以ai=m'ai=m，a2=m'

所以电=之，所以册=卷

n101U

所以Q分+。20-，=2。10=2,f(di)+f(^20—«)—4f

1919

所以£[/(出)+/(。20-前=£4=76.

i=li=l

故选：A.

由题意可知函数〃/)关于(1,2)对称，然后再通过2sh=7ZQ计1，求解数列｛。九｝的通项，进而求解

19

y?[/(Qz)+/(«20-i)]«

i=l

本题考查函数的对称性和数列的项与和的关系，考查转化思想和运算能力，属于中档题.

9.【答案】BC

【解析】解：对于/,当c〉0时，由Q〉b〉0,可得Qc〉bc,选项/错误；

对于5,由于c〈d,贝！J-c〉-d,又Q〉b,则Q-c〉b-d,选项5正确；

对于C,由于一l<b<2,贝ij—2<—6W1，又1WQW5,则—14Q—b<6,选项C正确；

对于。，当力〉0时，+-^2\lx--=2»当力=1时，等号成立，选项。错误.

故选：BC.

利用不等式的性质可判断选项ABC,利用基本不等式的取等条件可判断选项D.

本题考查不等式的性质，属于基础题.

10.【答案】AC

T)

【解析】解：设直线/：x=ty+^,代入才=2较，得力—2p切一/=0,

△=4P2产+4P2>o恒成立，

设刊⑵刖)，河殴,92)，

2

则y1+V2=2沉，阴仪=-p>xl+x2-认出+㈤+p=2Pt2+p,

第8页，共17页

所以|VN|=的+於+P=2沉2+2p）22，当且仅当力=0时，等号成立,

所以2?=4,0=2,故4正确；

由Z知，P=2,阴+仇=41，仍於=—4,

所以S^OMN=||OF|­|yi-y2|

=|x1xJ（阴+"2）2—4明统=1^16t2+16=2，/+122,当且仅当t=0时，等号成立，故B错误;

因为明为=一4,所以次在•麻=硝；2+加统=尤•谑+血统=3@—4=1—4=—3，故c正确；

4416

因为\MN\=为+数+2=4/+2+2=4产+4,

当|MN|=8时，412+4=8,得/=1，得力=±1,

7T

由力=1,得直线/的斜率为1,倾斜角为工；

由力=—1,得直线/的斜率为一1,倾斜角为R可TF，

4

所以当|MN|=8时，直线/的倾斜角为，或与，故。错误.

故选：AC.

n

设直线/：/=切+弓，代入/=2p/,得加+52、yiV2、X\+x2,根据|VN|的最小值为4,求出p=2,

故N正确；根据SAOMN=:。镇,|见一统|=2，^工》2,得3错误；根据平面向量数量积的坐标表示

得C正确；根据弦长公式计算得D错误.

本题考查利用导数求解函数的单调性和单调区间，属于难题.

11.【答案】BD

【解析】解：由已知有oersin。=1—cos。，coversin0=1—sin。,

对于A：y=coversinx—versin7=(1—sin力)一(1—cosx)=V2cos(a:+—)；

7T7T3TT

令2AJ7T<①+4(TT+2kivikGZ二*2k?r—4(力〈——F2k?r,eZ,

当&=0时，—£w2W?所以函数〃=cooersinx—versinx在苧为减函数，故在小苧上单调

递减，在（号,万）上单调递增，故/错误;

coversinx—11—smx—1

对于8：-----------=tanx=2,则

versinx—11—cosx—1

coversin2x—versin2x=cos2x—sin2x=cos2x—sin2z—2sin/cosx

cos2x—si•n2x—2ns•mxcosx1—tan2x—2tanx7

—~f故5正确;

sin2x+cos2x1+tan2x5

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对于C：f(x)=versin(2024rc——)+coversin(2024/+—)=1—cos(2024力——)+1

363

-sin(2024.+^=2-2sin(2024.+^则/⑶的最大值为4,故C错误;

对于D：versin(；—。)=1—cos(1--0)=1—sinJ=coversinJ,故Z)正确.

故选：BD.

对于4：y=coversinx—versinx=A/^COS(力+[)求单调减区间即可判断，

“工「cooersin1一1..八•c1-tan2x-2tanx.

DX-----；------=tan1=2,coversm2x—versm2x=cos2x—sm2x=-----------------IXA

versmx-11+tan2x

tanx=2即可判断,

对于C：f3)=versin(2024x—^-)+coversin(2024x+1)=2-2sin(2024c+》即可求出f⑺的最大值,

7T7T

对于D：versin(——0)=1—cos(——0)=1—sin。=coversin。即可判断.

本题考查的知识点：函数的性质，定义性函数的应用，主要考查学生的运算能力，属于中档题.

12.【答案】110

【解析】解：根据题意，｛厮｝为等差数列,

若a,=a3a9,则有(ai+6d)2=(ai+2d)(电+8d)，

又d=—2,所以(a1一12)2=(ai—4)(内一16)，

所以就—24al+122=嫉—20al+64，解得电=20,

则Sio=10ai+1。「9x(—2)=110.

故答案为：110.

根据题意，由等差数列的通项公式求出的，进而求和可得答案.

本题考查等差数列的求和，涉及等差数列的性质，属于基础题.

..57r

13.【答案】—

6

【解析】解：由asinA+bsin^B=csinC—x/^bsin?1,根据正弦定理得Q2+庐=。2—通Q小

即a2+62_c2=一代曲,结合余弦定理可得cosC='♦心=—遗，

2ab2

因为Ce(0,7r),所以c=空.

0

>,»,、r57r

故答案为：—.

6

第10页，共17页

运用正弦定理化简已知等式，可得02+62_02=_血而，然后根据余弦定理求出COS0,可得角C的大小.

本题主要考查正弦定理与余弦定理、特殊角的三角函数值等知识，属于基础题.

14.【答案】187r

【解析】解：如图，因为8。=2通，BA=2，4。=4，

所以BC2+BA2=AC2，则/ABC=90°，

所以球心。在平面ABC的投影点为AC的中点，

取/C的中点则平面48C,且8"=；4。=2,

因为PA=PB=PC=2\/3，

所以PM1平面ABC,且PW=y/12^4=2松，则「、河、O三点共线，

设球。的半径为七则0P=0B=R，0M=2的—R，

在中，由勾股定理得：BM2+OM2^OB2>

即4+（20—兄）2=始，解得金=学，

所以球体。的表面积为47rH2=47x学=187r.

4

故答案为：187r.

由题意作出图形，由勾股定理建立方程即可求得球的半径，从而即可得解.

本题考查几何体的外接球的表面积的求法，属于中档题.

15.【答案】[1,+oo）；

证明见解析.

【解析】（1）解：=a-cosx,

由函数/（出）为增函数，则/（比）=。一cos力20恒成立，即Q》cos/在火上恒成立,

又COS/e[—1J],所以Q》l,即实数4的取值范围是*+00）；

（2）证明：由（1）知当Q=1时，/（冗）=X-sin/为增函数，

当力>0时,/（x）>/（0）=0,即力〉sin/,

要证当出〉0时，ex>2sinx,只需证当出〉0时，ex>2x,

即证e，—2化〉0在（0,+oo）上恒成立，

设g（2）=产—2%（/>0）,则g'Q）=/—2,令，（力）=0解得①=ln2,

g（优）在（0,ln2）上单调递减，在（ln2,+oo）上单调递增，

则g(%)min=g(1o2)=eln2-2In2=2(1-In2)>0,

第11页，共17页

所以g(M》g(ln2)>0,则e“>22成立，

故当a?〉0时，e”〉2sinc.

(1)求导，得到函数/(n)为增函数等价于》cosx在R上恒成立，进而可得。的取值范围；

⑵由⑴可得a=1得到/⑶=G-sin/为增函数，且当立〉0时，x>sinx,故只需c〉0时，ex>2x,

令g(,)=e，_2,Q〉0),求导得到gQ)的单调性,求得gQ)最小值,即可证得结论.

本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性、最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.

21

16.【答案】解：(1)由题意可知，----------=

m+m+25

解得m=4,

盒子中带有黑色的球有6个，其中黑白相间的球有2个，

所以在摸出的球上带有黑色的条件下，摸出黑白相间的球的概率p=：2=。1

63

(2)依题意，X的可能值为0,1,2,

则P(x=o)=54P(X=I)=^^=[P(X=2)=L，

Go010八1010

所0以X的3分布列为：

111

1o94

所以E(X)=0x—+lx-—+2x—

315155

【解析】(1)根据给定条件，利用缩小空间的方法求出条件概率；

(2)求出X的可能值及对应的概率值，列出分布列并求出期望.

本题主要考查了条件概率公式，考查了离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题.

17.【答案】解：(1)由题意可得b=l，

又双曲线的离心率e=§="，且c2=a2+l，解得a=2,c=，B，

a2

故C的方程为之_/=1，44,0.

4

(2)证明:如图，设P(如明),Q(x2,y2)>

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yi

-3-r,_yir,—92,,kMP/]_+2

而kMP—9，^NQ—~5，故V一=一而一，

出1十2/2—2KNQ-2

力2—2

当/的斜率不存在时，/的方程为N=4,

T2

联立方程组力=4，———/=1，解得力]=4,阴=或力2=4,沙2=—

故P(4,Q(4,-通)，由斜率公式得kMP=二=%,

4.—V(-'2)0

V3

,~V^\/3痂^MP_6_1

恒=口=一丁故丽一卫一7

一_r

当/的斜率存在时，设/的方程为沙=可2—4),

而讥=卜(①1-4),42=k(x2-4)，

yi

故”二—力i+2_k(x1—4)力2—2(①1—4)(①2—2)

乂________=

kNQ-2力1+2k(力2-4)(力1+2)(①2—4)

力2—2

_(g—4)(①2—2)_工资2—2，1―422+8_21工2—4(叫+-2)+2g+8

(①1+2)(72—4)力巡2+2力2—4力1—8X1X2+2x2—461—8

y=k(x—4)

小,消去y整理得(1—4卜2)/+32资X—649—4=0,

{厂一

而/与C的右支交于P,。两点，故1-4肥刈，

△=(32r)2_4(1-4硝(一6循-4)=192r+16>0,

士土中士工田组32k2-64A;2-4,,32后

由韦达定理得g+电=一口,"2=「44，故3=一—岸一叫‘

代入到表达式中得到“2-叱+叱+2六+8,

X1X2+2x2—生0—8

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—64炉—4128k2

A①

1—4k12।1—447k22+21+8

-64k2*-4z32k2、

1—44Y1—软23)仇8

64/c2-464后-4

14721I8/I72127118

1—4就_1—4股

—6或2—464必—128卜2—4

1-4炉1—4炉血位131—4炉8

64k2—4।2叼(1—4k2)8(1—4^2)

l-4/c211-4炉11—44

--128A:2-46si(l-4A:2)8(1—4炉)

1—4k21—4k21—4k2

64k2—4।2xi—8xik28—32k2

l-4fc211-4A:211-4A:2

—128后—46d—24①/28—329

1-4fc21—4依1-4fc2

64卜2—4+2xi—8xik2+8—32k2

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~—128卜2—4—6的+24立#28+32/

1—4N

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=-128A;2-4-6xi+24xik2-8+32k2

32k2+2a；i(l-4k2)+4_32fc2+2a；i(l-4/c2)+4_1

--96k2-6rci(l-4k2)-12~-3[32fe2+2^(1-4A:2)+4]——3

即此时直线MP与NQ的斜率之比为定值，

综上，直线上。与NQ的斜率之比为定值.

【解析】(1)利用离心率结合给定条件求出双曲线的基本量，得到双曲线方程即可.

(2)对/的斜率是否存在分类讨论，对目标式进行化简，最后结合韦达定理求解定值即可.

本题主要考查双曲线的性质及标准方程，直线与双曲线的综合，考查运算求解能力，属于难题.

18.【答案】解：(1)在△P4。中尸4=PO,。为中点，所以

POA.AD,

又侧面P4DL底面ABCD,平面P4Dn平面ABCD=AD，POu平

面尸AD,

所以P01平面48CD

又在直角梯形/BCD中，易得0C1AD；

所以以。为原点，0C为x轴，。。为y轴，。尸为z轴建立空间直角坐标系.

则P(O,O,1),4(0,—1,0),8(1,-1,0),0(1,0,0),0(0,1,0)；

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所以港=(1,—1,—1)，易证：04,平面POC，

所以32=(0,—i,o),平面尸0c的法向量,

COS<P^,ol>=p^-aA_V3

|F^||O1|-3

所以所与平面POC所成角的余弦值为Ye….(4分)

3

⑵港=(1,—1,—1)，设平面尸。C的法向量为宜=⑥9,2)，

小父=T+"=°,取.

则1得刀=(1JJ)

it•PD=y—z=

8点到平面尸CD的距离4=驾*=^….岱分)

u3

(3)假设存在，则设司=入标(0<\<1)

因为P6=(oj—1),所以Q(o,入i—入).

Q+b=0

设平面C4。的法向量为记=(Q,仇c),贝I」

(A+1)6+(1—A)c=0

所以取记=(1—A,A—1,A+1),

平面CAD的法向量方=(0,0,1),

因为二面角Q—4。—。的余弦值为噂，

|wt-7?|提

所以何向=7’

所以32—102+3=0.

所以入=：或A=3(舍去)，

所以窈=1--------(12分)

【解析】(1)先证明直线尸。垂直平面/BCD中的两条相交直线垂直，可得POL平面N2CD,建立空间直

角坐标系，确定平面POC的法向量，利用向量的夹角公式，即可求直线必与平面POC所成角的余弦值.

(2)求出平面心C的法向量，利用距离公式，可求2点到平面尸CD的距离.

(3)假设存在，则设同=外方(0<入<1)，求出平面C4。的法向量、平面。。的法向量廿=(0,0,1),

根据二面角Q-49-。的余弦值为通，利用向量的夹角公式，即可求得结论.