2024-2025学年高二年级下册期中考试数学检测试卷（附答案）

2024-2025学年高二下学期期中考试数学检测试卷

考生须知：

1.本试卷分为试题、答题卡两部分。满分150分，考试时间120分钟。

2.认真填写所在班级、姓名、教育ID。准确粘贴条形码。

3.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。

1.如图所示，从甲地到乙地有3条公路可走，从乙地到丙地有2条公路可走，从甲甲----丙

地不经过乙地到丙地有2条水路可走.则从甲地经过乙地到丙地和从甲地到丙地

乙

的走法种数分别为()

A.6,8B.6,6C.5,7D.6,2

2

2.某物体做自由落体运动的位移S(t)=g=9.8m/s,若⑴=24.5m/s,则

24.5m/s是该物体()

A.从1s至限1+At)s这段时间的平均速度B.从0s到1s这段时间的平均速度

C.在t=1s这一时刻的瞬时速度D.在t=Ats这一时刻的瞬时速度

3.函数f(x)-"(2久)的导数为()

AB.—C.-D.)2H—

-^In2xXX

4.某大学四名学生利用暑假到学校的实践基地进行实习，每人从甲、乙、丙三个基地中任选一

个，若不考虑其他条件，则不同的选法有().

A.9种B.13种C.64种D.81种

2

5.已知函数f(%)=x-sinx,贝疗(1)的值为()

A.0B.71C.-D.--

44

6.已知函数/(%)在％=处可导，尸(%0)=0是函数/(%)在点％0处取得极值的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

7.曲线y=/(%)在x=1处的切线如图所示，则尸(1)一/(1)=()

A.1B.-1

C.0D--l

8.为评估某种治疗肺炎药物的疗效，有关部门对

该药物在人体血管中的药物浓度进行测量.设

该药物在人体血管中药物浓度c与时间t的关

系为c=f（t）,甲、乙两人服用该药物后，血管

中药物浓度随时间t变化的关系如下图所示.

给出下列四个结论：

①在％时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同；

②在t2时刻，甲、乙血管中药物浓度的瞬时变化率相同；

③在[办打]这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同;

④在内工2]82而]两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率相同.

其中所有正确结论的序号是（）

A.①②B,①③④C.②③D.①③

9.曲线/（x）=E（2x—1）上的点到直线2%—y+3=0的最短距离是（）

A.1B.2C.6D,3

10.已知函数/'(久)=ae^-g/(a€R),

①当a<0时，/（x）在区间（0,+oo）上单调递减；②当0<a<（时，f（x）有两个极值点;

③当a2（时，/（久）有最大值.那么上面说法正确的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。

11.若4|=4鬣，则几=.

12.的展开式中的常数项为.（用数字作答）

13.在复平面内，复数z==，则z的虚部是

14.将4B,C,D,E,F六个字母排成一排，且4B均在C的同侧，则不同的排法共

有种.（用数字作答）

15.共享单车已经逐渐成为人们在日常生活中必不可少的交通工具.通过调查发现人们在单车选

择时，可以使用“7虱〃。次竞争函数”进行近似估计，其解析式为SQ）=二（；r）a,xe

[0,1],a>。（其中参数a表示市场外部性强度，a越大表示外部性越强）.给出下列四个结论:

①S(x)过定点O②S(x)在［0,1］上单调递增；③S(x)关于x对称；④取定x,外部性

强度a越大，S(x)越小.

其中所有正确结论的序号是.

三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.(本小题12分)

有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法个数.

(1)全体排成一行，其中男生必须排在一起；

(2)全体排成一行，男、女各不相邻；

(3)全体排成一行，其中甲不在最左边，乙不在最右边；

(4)全体排成一行，其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变.

17.(本小题15分)

已知函数f(x)=ax+Inx

(1)当a=1时，求曲线y=fQ)在点(1/(1))处曲线的切线方程；

(2)求函数“X)的单调区间.

18.(本小题15分)

如图，在多面体ABCDEF中,梯形力DEF与平行四边形4BCD所在平面互相垂直，力F//DE,

DE1AD,AD1BE,AFAD^DE=1,AB=K

(I)求证：BF//平面CDE；

(11)求二面角8—后尸一。的余弦值；

。11)判断线段8E上是否存在点Q,使得平面CDQ1平面8EF?若存在，求出警的值，若不

存在，说明理由.

19.(本小题15分)

„2〜

设椭圆C--+y=1的右焦点为F，过F的直线I与c交于力、B两点，点M的坐标为(2,0).

(1)当I与x轴垂直时，求直线AM的方程；

(2)设。为坐标原点，证明：^OMA=乙OMB.

20.(本小题14分)

已知函数/(%)=ax—(2a+l)/nx-g(%)=—2alnx--,其中aER.

(1)当Q＞。时，求f(%)的单调区间；

(2)若存在xG弓序］,使得不等式/(x)＞g(x)成立，求a的取值范围.

21.(本小题14分)

已知数列｛an｝,从中选取第G项、第％项、…、第1项(右＜i2＜-＜嘲)，若％＜叱＜...＜aim，

则称新数列a”，ai2,di.为｛%J的长度为机的递增子列.规定：数列｛册｝的任意一项都是

｛an｝的长度为1的递增子列.

(1)写出数列1,8,3,7,5,6,9的一个长度为4的递增子列；

(2)已知数列｛册｝的长度为p的递增子列的末项的最小值为长度为q的递增子列的末项

的最小值为,若P＜%求证：。恤＜ano；

(3)设无穷数列｛an｝的各项均为正整数，且任意两项均不相等.若｛%｝的长度为s的递增子列

末项的最小值为2s-1,且长度为s末项为2s-1的递增子列恰有2ST个(s=1,2,...),求数

列｛%｝的通项公式.

答案和解析

1.【正确答案】A

【分析】

本题考查两个计数原理的综合应用，属于基础题.

解：根据分步乘法计数原理，可知从甲地经过乙地到丙地的走法种数为2X3=6；

又从甲地不经过乙地到丙地有2条水路可走，由分类加法计数原理，可得从甲地到丙地的走法种

数为6+2=8.

2.【正确答案】A

【分析】

根据题意，由导数的定义分析可得答案.

本题考查平均变化率的计算，属于基础题.

解s(l+At)-s(l)=s(l+At)-s(l)=24.5m/s,

所以24.5m/s是该物体从1s至限1+At)s这段时间的平均速度.

故选A.

3.【正确答案】C

【分析】利用简单复合函数的求导公式进行求解

【详解】尸。)=；」,

2%x

故选：C

4.【正确答案】D

【分析】

本题主要考查了分步乘法计数原理的应用，属于基础题.

根据已知及分步乘法计数原理的计算，求出不同的选法.

解：由题知，每名大学生都有3种选择，根据分步乘法计数原理，共有3X3X3X3=81种选

法.

故本题选：D.

5.【正确答案】B

【分析】

本题考查导数的乘法运算，属于基础题.

由基本函数的求导公式以及求导法则求导，即可代入求值.

解：/(x)=2x-sinx+x2cosx,所以/'(])=兀,

故选：B

6.【正确答案】B

【分析】

本题考查了函数极值的概念，充分、必要、充要条件的判断，属于容易题.

函数在点&处取得极值的充要条件是：尸(殉)=0且rO)在点出附近的左右两侧异号，由此

结合充分、必要、充要条件的判断，即可得到答案.

解：函数fo)在X=%0处可导，尸。0)=0推不出函数/'(X)在点均处取得极值；

反之,函数f(x)在点出处取极值,必有尸(右)=0.

故尸(久o)=0是函数/(久)在点均处取得极值的必要不充分条件・

故选：B.

7.【正确答案】A

【分析】

本题考查导数及其几何意义，是基础题.

由切线经过的两点求得切线的斜率与切线方程，得到尸(1),进一步求得f(l),即可求得.

解：•••切线过点(2,0)与(0,-1),

f'(l)=*=

J10-22

则切线方程为y="—1，取x=l,得/(1)=，

故选A.

8.【正确答案】D

【分析】

本题考查平均变化率和瞬时变化率的概念，属于中档题.

解：对于①，在tl时刻，两图象相交，说明甲、乙两人血管中的药物浓度相同，即①正确；

对于②，在t2时刻，两图象的切线斜率不相等，即两人的尸«2)不相等，说明甲、乙两人血管中

药物浓度的瞬时变化率不相同，即②错误；

对于③，由平均变化率公式知，甲、乙两人在住2月］内，血管中药物浓度的平均变化率均为始^9,

13T2

即③正确；

对于④，在内由］和心G］两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率分别为空上皿和

「2Tl

"6"。),显然不相同，即④错误.

13T2

9.【正确答案】C

【分析】

本题考查了利用导数研究曲线的切线方程和点到直线的距离，属于基础题.

设曲线上过点P(久0，%)的切线平行于直线2久—y+3=0,此切点到直线2尤-y+3=0的距离最

短，由尸(配)=泠7=2，得久o=l，求出点P(l,0)到直线2x—y+3=。的距离，从而得出结

果.

解：设曲线上过点P(3，yo)的切线平行于直线2久-y+3=0,此切点到直线2%-y+3=0的距

离最短，

2

•••尸（久）

2x—19

・•♦/'（&）=京7=2,得Xo=l，

二曲线/(%)=ln(2x-1)上的点P(l,0)到直线2x—y+3=0的距离最短,

为d=|2-0+3|75.

V22+（-l）2

故选C.

10.【正确答案】C

【分析】

本题考查利用导数研究函数单调性、极值、最值，属于综合题.

求出函数/(X)的导数，讨论a的范围，判断函数的单调性，从而判断极值点的个数及函数的

最值问题.

解：/(%)=aex—|x2(a£7?),/'(%)=aex—x,

对于①，因为x>0，所以ex>l,

当aWO时，f'(x)-aeX~x<0，则/(久)在区间(。,+8)上单调递减，所以①

正确.

对于②，令/1(%)=aex-x=O，得a=春，令g(x)=j,9'0)=篙?=宗，

当>0时，贝！Ix<1；当g'(%)V0时，则x>1,

所以函数g(%)在(-啊1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，所以

当％=1,=5(1)=；，

又当X趋近于一8时，g(%)趋近于一8,g(0)=0,当%趋近

于+oo时，g(%)趋近于0,

由图可知，当0<aV;时，直线y=a与g(%)=标的图象有两个交点，

x

即方程f'(%)=ae-x=0有两个不等实根x1,x2(x1<x2)，

当x<或x>x2时，/'(%)>0，当xr<x<x2时，/'(x)<0,

则f(x)在(一8,%1)和(%2,+8)上单调递增，在上单调递减，

所以是函数/(%)的极大值点，%2是函数f(X)的极小值点，

故/(X)有两个极值点，所以②正确.

对于③，当a4时，心会，即尸(%))0恒成立，则函数/(%)在R上单调递

增,

所以函数/（X）无最大值，所以③错误.

则说法正确的个数为2,

故选：C.

11.【正确答案】6

解：由aj=4C，，得5x4x3=4x^^|^,

即n2-n-30=0,解得71=6或71—5（舍去）.

故6.

直接展开排列数与组合数公式计算.

本题考查排列数与组合数公式的应用，是基础题.

12.【正确答案】84

【分析】

本题考查二项式定理中通项公式的应用：求常数项，属基本题型、基本方法的考查.

先写出通项，在通项公式中令x的系数为0,求出匕从而写出常数项.

解：（/+99的展开式中的通项为底+]==C"18-3/C

令18—3k=0,k=6,故。2+,9的展开式中的常数项为G=cg=84

故84

13.【正确答案】—1

【分析】

本题考查了复数的概念与分类，复数的除法运算，共辄复数，属于基础题.

由复数除法化简成标准形式，再求出共朝复数，即可求虚部.

故虚部是-1.

故-1.

14.【正确答案】480

【分析】

本题考查了排列的应用，考查了分类讨论的思想，属于拔高题.

就c的位置分类讨论即可.

解：如图六个位置31G'S.

若c放在第一个位置，则满足条件的排法共有种情况；

若C放在第2个位置，则从3,4,5,6共4个位置中选2个位置排A,B,再在余下的3个位

置排D,E,F,共考•题种排法；

若C放在第3个位置，则可在1,2两个位置排4B,其余位置排。，E,F,则共有用•普种排

法或在4,5,6共3个位置中选2个位置排4B,再在其余3个位置排D,E,F,共有题•题

种排法；

若C在第4个位置，则有题题+题题种排法；

若C在第5个位置，则有4黑种排法；

若C在第6个位置，则有四种排法.

综上，共有2(4+%题+题上+题题)=480(种)排法.

15.【正确答案】①②

【分析】

本题考查函数中的新定义问题，函数的单调性，对称性，属于中档题

对于①：令》=[即可求得定点可判断①的正误；对于②对S(x)求导，判断导函数在xe[0,1]

时的正负即可判断②的正误；对于③由②即可判断正误；对于④以a为自变量构造新函数，求

导，判断单调性即可判断正误.

解：对于①，在S(x)中，令x=5则S0=义，)。=,,过定点你》故①正确；

对于②，S'O)=当久e[0,1],S1(x)>o,则S(x)为单调递增，故②正确;

对于③，由②知SQ)为单调递增，故不存在对称性，故③错误；

对于④，以a为自变量，设S(x)为T(a),则「9)=品技缶)亡，

.‘a〉。,故悬希>°,「'(a)的正负取决于"亡，

当七<1,即0<x<机寸，r'(a)<0,随着a的增大，S(x)减小;

当仁>1,即曰<“<1时，T'(a)>0,随着a的增大，SQ)增大，故④错误.

1—XL

故①②.

16.【正确答案】解：(1)捆绑法.将男生看成一个整体，进行全排列.再与其他元素进行全排列.

共有4|玛=720种.

(2)插空法.先排好男生，然后将女生插入其中的四个空位，共有题考=144种.

(3)位置分析法.先排最右边，除去甲外，有4种，余下的6个位置全排有线种，但应剔除乙在最

右边的排法数&&种.则符合条件的排法共有4维=3720种.

(4)定序排列.第一步，设固定甲、乙、丙从左至右顺序的排列总数为N,第二步，对甲、乙、丙进

行全排列，则为七个人的全排列，因此g=NX用，.•.％=：=840种.

本题主要考查排列组合的方法，涉及到的方法有捆绑法，插空法，特殊位置优先排，定序排列，

属于中档题.

(1)相邻问题用捆绑法，即将男生看成一个整体，进行全排列；

(2)不相邻问题用插空法：先排好男生，然后将女生插入其中的四个空位；

(3)特殊位置先排列，分情况讨论，最后用加法原理求排列数；

(4)定序排列,先求全排列，再除以顺序数即可.

点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：

(1)元素相邻的排列问题一一“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题一一“插空法”；(3)元素有顺

序限制的排列问题一一“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问

题一一间接法.

17.【正确答案】解：(1)当a=1时，/'(久)=久+)久，定义域为x€(0,+8),

/(I)=1+)1=1,所以切点为(1,1),

又尸0)=1+：,所以r(1)=1+1=2,即切线的斜率等于2,

所以切线方程为：y-l=2(x-l),整理得y=2久—1；

(2)尸(%)=a+§=等，xe(0,+oo),

当。之。时，尸(%)>0恒成立，所以/(%)在(0,+8)上单调递增，

当aVO时，令/BPax+1>0,解得0<%〈一十，

令尸(x)<0,即a无+1<0,解得

此时“久)在(0,-：)单调递增，(-5,+8)单调递减.

本题考查导数的应用，属于中档题.

(1)利用导数的几何意义求解；

(2)利用导函数研究函数的单调性即可求解.

18.【正确答案】解：(I)由底面4BCD为平行四边形，知力B//CD,

又因为ABU平面CDE,CDu平面CDE,

所以48〃平面CDE,

同理AF〃平面CDE,

又因为力BCi4F=A,力B/Fu平面力BF,

所以平面48F〃平面CDE-,

又因为BFu平面ABF,

所以BF〃平面CDE；

(II)连接BD,因为平面4DEF1平面4BCD,ADEFABCD=AD,DELAD,

又DEu平面ADEF,

所以DE1平面ABCD,

又BDu平面力BCD,贝UDEJ.DB,

又因为DE_L4D,AD1BE,DEcBE=E,DE,BEBDE,

所以AD_L平面BDE,

又BDu平面BDE,

则AD1BD,

故ZM,DB,DE两两垂直，

所以以DB,DE所在的直线分别为乂轴、y轴和z轴，如图建立空间直角坐标系，

贝UD(0,0,0),4(1,0,0),B(0,l,0),C(-1,1,0),E(0,0,2),F(l,0,l),

所以於=(0,-1,2),~EF=(1,0,—1),元=(0,1,0)为平面DEF的一个法向量，

设平面BEF的一个法向量为记=(x,y,z),

由记.配=0,m-EF=0,得

令z=l,得道=(1,2,1).

所以cos<mji>=溪卷=¥，

如图可得二面角B—EF—D为锐角，

所以二面角B-EF-D的余弦值为由.

3

(III)结论：线段BE上存在点Q,使得平面CDQ，平面BEF,

证明如下：

设的=XBE=(0,-入,2入)(入£[0,1])>所以丽=丽+丽=(0,1-入,2人)，

设平面CDQ的法向量为记=(a,b,c),又因为尻=(-1,1,0),

所以小丽=0,u-DC^O,即

若平面CDQ1平面BEF,则万•丘=0,即a+2b+c=0,解得人=；6[0,1].

所以线段8E上存在点Q,使得平面CDQL平面BEF,且此时装=；.

本题考查了线面平行的判定，运用空间向量求二面角，立体几何中的探究性问题，考查了空间想

象能力和运算能力，属于中档题.

(1)先证明平面4BF〃平面CDE,进而证明BF〃平面CDE；

(2)先证明D4,DB,DE两两垂直，然后建立空间直角坐标系，运用向量法求二面角即可；

(3)设的=入方=(0,-入,2入)(入e[0,1])，平面CDQ的法向量为过=(a,b,c),由亦丽=0,u-

DC=0,m-u=0建立方程组求出入值即可得到结论.

19.【正确答案】解：(1)根据题意，c==1=1,.•.尸(1,0),

/与x轴垂直，二久=1,

(X=1

由[+产=1，

(X=1(X=1

解得合或72

y=i

•."(1多或(L-苧)

=一苧，或心M==苧'

・・・直线AM的方程为y=一苧％+M或y=-V~2

(2)证明:

①当[与x轴垂直时，0M为线段的垂直平分线，NOMA=NOMB,

②当I与x轴不重合也不垂直时，设I的方程为y=k(x-1),

4(%1，丫1)，8(久2，丫2)，则久X2<\/~2,

直线AM,MB的斜率即⑷MB之和为：

%+*=急+会

由为=k(Xi-1),y2=k(x2-1)得

,j_2h1%2—3土(11+12)+4上

kMA+=―(肛一2)3一2)一

二上”2—1

则T+V―，所以(21+1)久2_4巧+2/-2=0,

y=k(x-1)

,4k22k2-2

..%l+%2-2/+1,%1%2-2d+1'

4p-4fc-12P+8/c3+4fc八

7=0f

•••2/CX1X2—3/c(%i+x2)+4/c=2k2+1

从而I^MA+=0，

故M4MB的倾斜角互补,

Z.OMA=乙OMB,

综上所述NOMA=40MB.

本题考查直线和椭圆的位置关系与韦达定理，直线的斜率与倾斜角，考查运算能力和转化能力,

属于较难题.

(1)先得到F的坐标，再求出点4的坐标，进而求得直线AM的斜率，根据点斜式可得直线方程;

(2)分两种情况讨论，①与x轴垂直；②直线斜率为k的直线方程，联立方程化为一元二次方程,

再由韦达定理，证明砺4+kMB=0,即可得到NOAM=乙OMB.

20.【正确答案】解：(1)函数y=f(x)的定义域为(0,+8),

尸(”’3安之

当时，尸(%)N0恒成立，函数/(%)在(0,+8)上为增函数；

当机寸，当％E(0，)，(2,+8)时，/,(X)>0,函数/(%)为增函数；

当第C((2)时，/,(%)<0,/(%)为减函数；

当0Va<决寸，当XC(0,2),(，+8)时，/'(%)>0,函数/(%)为增函数；

当第C(2，)时，/,(x)<0,/(%)为减函数.

综上，当a/时，函数/(%)在(0,+8)上单调递增；

当时，函数/(%)在(0、)，(2,+8)上单调递增，在(%2)上单调递减；

当0Va<次寸，函数/(%)在(0,2),(，+8)上单调递增，在(2、)上单调递减.

(2)/(%)>g(%)等价于ax—(2a+l)Znx—|>—2alnx—即ax—Inx>0,

分离参数Q得，a>—,Xe[-,e2].

xe

令%(%)=等，%e[|