2024-2025学年广东署山市高一数学下学期7月期末考试（附答案）

2024-2025学年广东署山市高一数学下学期7月期末考试

（含答案）

注意事项:

1.答卷前，考生务必要填涂答题卡上的有关项目.

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答案涂在答题卡相应的位置上.

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内，如需改动先划

掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效

4.请考生保持答题卡的整洁.考试结束后，将答题卡交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的

1.i-2()

A.-l-2iB.-l+2iC.l-2iD.l+2i

2已知tana=2,则tan2a=()

334_4

A.一一B.-C.D.-

4433

3.已知向量Z］不共线，若（3+2B）〃（运一6）贝”左=<()

11

A.-2B.——C.D.2

2T

4.已知两条不同的直线加,〃和三个不同的平面©尸,下列判断正确的是（）

卜若mua,n/Im,则〃//a

B.若mua,nu。11/3,n11a,则6z//2

C若a工y,ac/3=m,则加

D,若ac0=1u°,则a_L用

5.已知四边形/BCD中，*=（—2,1）,丽=（2,4）,则四边形45CD的面积为（）

A.3B.5C.6D.10

6.已知函数f（x）=Asm（a）x+（p）（其中4>0,。>0,时<］）的部分图象如图所示，点是函数图象与

X轴的交点，点尸是函数图象的最高点，且AHW是边长为2的正三角形，ON=3OM,则/；=（）

3-\/2—y/~6D3-\/2+A/6

ur.------------

44

7.某学校兴趣学习小组从全年级抽查了部分男生和部分女生的期中考试数学成绩，并算得这部分同学的平

均分以及男生和女生各自的平均分，且男女生的平均分不相等，由于记录员的疏忽把人数弄丢了，则据此

可确定的是（）

A.这部分同学是高分人数多还是低分人数多

B.这部分同学是男生多还是女生多

C.这部分同学的总人数

D.全年级是男生多还是女生多

8.己知正四棱台48CD—44GQ,45=2,半球的球心。在底面/4。］，的中心，且半球与该棱台的

各棱均相切，则半球的表面积为（）

A.9兀B.1871C.277rD.367r

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全

部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

7T71

9.关于复数2=（：05—+15m一（i为虚数单位），下列说法正确的是（）

33

A.z•三=1B.三在复平面内对应的点位于第二象限

C.z3=1D.z2—z+1=0

10.四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数.根据四名同学的统计结果，可以判断可能出

现点数为6的是（）

A.平均数为3,中位数为2B.中位数为3,众数为2

C.平均数为2,方差为2.4D.中位数为3,方差为2.8

11.如图，在三棱锥尸—DEF中，PE=PF=1,PD=2,DE=DF=#,EF=®，点、Q是DF上一动

点，则（）

p

A.过尸E、PF、DE、。厂各中点的截面的面积为J，

2

B.直线与平面。E厂所成角的正弦值为§

c.APE。面积的最小值为暂

D.将三棱锥的四个面展开在同一平面得到的平面图形可以是直角三角形或正方形。

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.其中第14题对一空得3分，全对得5分.

12.已知=—1,很=（1,2）,则£在B上的投影向量为.

13.已矢口4cos16+z]=cos2,，则sin2。=.

14.已知“BC是边长为2的正三角形，点。在平面48。内且方N.丽=0，则万力.反的最大值为

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.某学校高一新生体检，校医室为了解新生的身高情况，随机抽取了100名同学的身高数据（单位:

cm）,制作成频率分布直方图如图所示.

（1）求这100名同学的平均身高的估计值（同一组数据用区间中点值作为代表）；

（2）用分层抽样的方法从[165,170）,[170,175）,[175,180）中抽出一个容量为17的样本，如果样本按比例

分配，则各区间应抽取多少人？

（3）估计这100名同学身高的上四分位数.

16.在非直角三角形中，角43,C的对边分别为生仇c,且满足a=2ccosB-bcosC.

（1）求证：tan。=2tan8;

(2)若taiM=3,a=3,求AZ8C的面积.

17.如图，已知多面体P0R4BC。中，四边形4BC。、PABQ、P4DR均为正方形，点〃是ACQR的垂

（1）证明：〃是点A在平面火上的射影；

（2）求多面体PQR4BC。的体积.

JT

18.如图，在扇形（WN中，半径（W=2,圆心角NMON=—,矩形/BCD内接于该扇形，其中点4台

3

分别在半径和ON上，点C,。在加上，AB//MN,记矩形/BCD的面积为S

（1）当点43分别为半径和CW的中点时，求S的值；

（2）设NT»（w=，[o<e<z],当。为何值时，S取得最大值，并求此时S的最大值.

19.如图，在直三棱柱48C-48c中，AB_LBC,AB=AAI=6,BC=1,P是Ba上一动点、,

丽=2画（0<2<l）,M是CC；的中点，。是我的中点.

（1）当2时，证明：尸。〃平面Z5C；

（2）在答题卡的题（2）图中作出平面481尸与平面ZCG4的交线（保留作图痕迹,无需证明）;

(3)是否存在X,使得平面ZAP与平面ZCC14所成二面角的余弦值为巫？若存在求满足条件的X值,

4

若不存在，则说明理由.

2023-2024学年下学期佛山市普通高中教学质量检测

高一数学2024.7

本试卷共4页，19小题.满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必要填涂答题卡上的有关项目.

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答案涂在答题卡相应的位置上.

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内，如需改动先划

掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效

4.请考生保持答题卡的整洁.考试结束后，将答题卡交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的

5i

1.i-2()

A.-l-2iB.-l+2iC.l-2iD.l+2i

【答案】C

【解析】

【分析】根据复数除法运算直接计算可得.

5i5i(-2-i),.

【详解】由复数除法运算得—=「=i(-2-i)=l-2i.

故选：C

2.已知tana=2,贝！Jtan2。=()

3344

A.---B.-C.一D.---

4433

【答案】D

【解析】

【分析】根据二倍角的正切公式，化简求值.

故选：D

3.己知向量不共线，若(1+2可〃(而一6)贝1］左=

11

A.-2B.---C.-D.2

22

【答案】B

【解析】

【分析】根据共线定理和平面向量基本定理求解可得.

【详解】因为（@+24〃战川，

所以存在4eR,使得1+2b=A（ka-b^=kAa-Ab,

__[kA=11

又a,b不共线，所以＜,0，解得左=一二.

故选：B

4.已知两条不同的直线心,〃和三个不同的平面a,尸,7,下列判断正确的是（）

A.若则〃//a

B.若冽ua,〃u£,“//6,〃//a,则07/尸

C.若（Z_1_九6_1_c/=加，则加_L/

D.若ac0=n,m工〃,mu/3,则1_1_齐

【答案】C

【解析】

【分析】利用线面平行与垂直的判定和性质定理来进行推理即可.

【详解】对于A,若mua,〃l/tn,则〃//tz或“ua,故A是错误的；

对于B,若mua,nuB，mlIB，rdla,由于加,〃不一定相交，也有可能平行，则a//万不一定成立，故

B是错误的；

对于C,若a_!_/,（/□/=/],au7,aJ./,则。_La,又因为/"ua,所以a_L加，

若，Pl7=4，buy,b上L，则6,力，又因为加u/7,所以6_L加，

又因为所以加J_y,故C是正确的；

对于D,若ac/3=n,mLn,mu/3,不能推理出加_La,所以也就不能推理出tzJ_/，故D是错误的；

故选：C.

5.已知四边形/BCD中，k=（—2,1）,丽=（2,4）,则四边形/BCD的面积为（）

A.3B.5C.6D.10

【答案】B

【解析】

【分析】先判断衣，而，然后求向量的模代入公式S=可得.

2

【详解】因为—2x2+lx4=0,所以X，丽，

又|就卜J(—2)2+F=若,|丽卜旧。=2卡,

所以四边形/BCD的面积5=工4。/。=,义石义26=5.

22

故选：B

6.已知函数/(x)=/sin(&x+。)(其中/>0,。>0,网<])的部分图象如图所示，点M,N是函数图象与

X轴的交点，点尸是函数图象的最高点，且△PNN是边长为2的正三角形，ON=30M,贝<)

M\oNV7X

.V3R3V2+2R3A/2—y/~6N3A/2+

2444

【答案】D

【解析】

【分析】根据正三角形性质求出点尸坐标,结合周期可得a。，将点尸坐标代入解析式可求得"，然后可

解.

【详解】过点尸作x轴的垂线，垂足为。，则。为"N的中点，

因为是边长为2的正三角形，ON=30M,

所以5,O],NQ,O],PQ=,

所以尸&,可，A=5

2冗71所以/(x)=Gsin[/x+e],

由题知T=2MN=4,所以g=—二—,

T2

将尸代入解析式得=

jrjrjr

所以z+0=万+24兀，(p-2kn,kGZ,

71兀C7.兀兀

所以/(x)=sin—xH---卜2klisin-xH—,

(24124

瓜+3名

4

故选：D

7.某学校兴趣学习小组从全年级抽查了部分男生和部分女生的期中考试数学成绩，并算得这部分同学的平

均分以及男生和女生各自的平均分，且男女生的平均分不相等，由于记录员的疏忽把人数弄丢了，则据此

可确定的是（）

A.这部分同学是高分人数多还是低分人数多

B.这部分同学是男生多还是女生多

C.这部分同学的总人数

D.全年级是男生多还是女生多

【答案】B

【解析】

【分析】根据平均数意义可判断A；利用分层平均数公式可求出女生所占比例，可判断BC；分析题中样本

的抽取方式可判断D.

【详解】对于A,平均数描述平均水平，所以无法判断高分和低分人数，A错误;

对于B,设这部分同学的平均分为嚏，其中有男生加人，女生"人，平均分分别为七,9，

—VI——YI—VI—

根据分层平均数公式有X=—m+-----%=占———%+-----/

m+nm+nm+nm+n

整理得上伍_引=元即々=三三，

y

m+n'm+nx2-x1

即根据两个平均数可求出这部分同学中女生所占比例，故B正确；

对于C,由B可知，只能求出男女生所占比例，无法确定总人数，C错误;

对于D,因为题干并没有告诉这部分学生的抽取是否按照比例抽取，

所以无法全年级是男生多还是女生多，D错误.

故选：B

8.己知正四棱台45CD—4s=2,半球的球心。在底面451G2的中心，且半球与该棱台的

各棱均相切，则半球的表面积为（）

A.9兀B.18KC.27兀D.36兀

【答案】C

【解析】

【分析】分析半球与各棱的切点位置，利用球的切线性质，用R表示出侧棱长，从不同角度表示出棱台的

高，从而建立关于R的方程，然后可得.

【详解】由题意可知，481G2为下底面，

记上底面/BCD的中心为。一过c作s垂直于平面451G2,垂足为

易知点〃在4G上，记半球与典OQ,4G分别相切于点瓦尸，G，

由正四棱台和球的对称性可知，E,G为BC,B©1的中点，

因为45=2,所以ZC=20，CE=CF=1,

记半球的半径为R,则C1F=ClG=OG=R,

所以CG=K+1,HCi=OC「OH=6R-6,

分别在AOOIE,ACC£中，由勾股定理得00；=0E2-OE=R2-1,

a/2=cc；-c/2=（及+]/_（岳—拒『，

因为00]=S,所以（R+l）2—（闻—拒丁=氏2—1,

解得A=3或火=0（舍去），

所以半球的表面积为‘义4兀氏2+兀氏2=3兀火2=27兀.

2

故选：C

【点睛】关键点睛：本题考查学生的直观想象能力，解题关键在于利用球的切线性质，用R表示出侧棱,

然后根据棱台的高距离方程求出半径即可.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全

部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

IT7T

关于复数2=（：05—+isin—（i为虚数单位），下列说法正确的是（）

Z-Z=1B.三在复平面内对应的点位于第二象限

Z3=1D.-z+1=0

【答案】AD

【解析】

【分析】根据共辗复数概念和复数乘法运算可判断A；根据复数的几何意义可判断B；根据复数乘法运算直

接化简可判断CD；

【详解】对于A,因为z=cos巴+isin^='+"

322

所以z•彳=

对于B,复数I=J__对应点为！,-£,位于第四象限，B错误；

2222

什3(1V3-Y(1^.¥16.)|「科、n

对于C,z=—I1=----1----1—I----1=-1,C车日快；

222222

\7\八7

升21V3.Y(16.1-15(1ln「工威

对于D,z-z+1——I----i——I----i+1-1----i——F—i+1=0,D正确.

22222222

故选：AD

10.四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数.根据四名同学的统计结果，可以判断可能出

现点数为6的是（）

A.平均数为3,中位数为2中位数为3,众数为2

C.平均数为2,方差为2.4中位数为3,方差为2.8

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据题意举例判断即可

【详解】解：对于A,当掷骰子出现的结果为1,1,2,5,6时，满足平均数为3,中位数为2,可以出现

点6,所以A正确；

对于B,当掷骰子出现的结果为2,2,3,4,6时，满足中位数为3,众数为2,可以出现点6,所以B正

确；

对于C,若平均数为2,且出现点数6,则方差S2〉[(6-2)2=3.2〉2.4,所以当平均数为2,方差为2.4

时，一定不会出现点数6,所以C错误；

-1

对于D,当掷骰子出现的结果为1,2,3,3,6时，满足中位数为3,则平均数为x=《(1+2+3+3+6)=3,

方差为S2=2[(1—3)2+(2—3)2+(3—3)2+(3—3)2+(6—3)2]=2.8,所以可以出现点6,所以D正确，

故选：ABD

11.如图，在三棱锥尸—DE/中，PE=PF=1,PD=2,DE=DF=也,EF=4^，点Q是DF上一动

点，则()

A.过PE、PF、DE、。厂各中点的截面的面积为J5

2

B.直线尸£与平面QE尸所成角的正弦值为§

C.APE0面积的最小值为g

D.将三棱锥的四个面展开在同一平面得到的平面图形可以是直角三角形或正方形。

【答案】BCD

【解析】

【分析】先证尸。，后尸，然后可得"WG为矩形，可判断A；利用等体积法求点尸到平面厂的距离,

可判断B；利用线面垂直证明P£_LPG,然后求PG最小值，可判断C；将三棱柱沿尸b展开所得

平面图形正方形，通过观察展开图可判断D.

【详解】对于A,因为PE=PF=\,PD=2,DE=DF=&,EF=J5,

所以「£2+PF?=EF?,PE-+PD2=ED2,PF2+PD2=FD2,

所以尸E,尸尸，尸。两两垂直，

因为PE,PF是平面PEF内的两条相交直线，所以，平面PEF,

又EFu平面PEF，所以POLE尸，

记M,N,H,G分别为PE,PF,DF,DE的中点,

则MN=GH，EF=叵,MG=NH=LpD=l，豆MNHEF,NHHPD

222

所以四边形为平行四边形，豆MN工NH,

所以"WG为矩形，其面积为4加.烟=卫4,A错误；

2

对于B,记点尸到平面。底户的距离为〃，E尸的中点为/,连接。/,

则DI7DF?-F『=逑,S=-£F-£>/=-xV2x^=-，

22222

13112

由等体积得力-DEF=勺-PEF,即§*5场=§义5*1*1*2,解得扪=],

h2

所以直线尸£与平面。斯所成角的正弦值为——=—,B正确；

PE3

对于C,由上知PEL爪,PELP。，P厂,是平面尸。尸内的相交直线,

所以尸平面尸。尸，

因为PQu平面p。尸，所以尸EJ_尸。，所以邑网0=）尸£•P0=gp0,

所以当P。最短时，APE。面积最小值，

显然，当尸时P。最短，此时，由等面积可得尸尸•尸尸•尸0,

解得尸Q=拽，所以AP£。面积最小值为J_x&5=且，C正确；

5255

对于D,将三棱锥沿尸。，尸剪开，展开所得平面图形为正方形，如图:

由上图观察可知，将△叫E绕着点£旋转使4,鸟重合,

将三棱锥沿着DE,DP,P尸剪开，展开所得平面图形为直角三角形,

故D正确.

故选：BCD

【点睛】方法点睛：求线面角的常用方法有：

1、定义法：根据定义作出线面角，通过解三角形求解；

2、等体积法：利用等体积求出点到平面距离，然后根据定义求解；

3、向量法：建立空间直角坐标系，求出平面法向量和直线方向向量，根据线面角向量公式求解.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.其中第14题对一空得3分，全对得5分.

12.已知1Z=—1石=(1,2),则％在刃上的投影向量为.

【答案】•,一|)

【解析】

【分析】根据投影向量公式直接求解即可.

【详解】因为W=，F+22=册,屋3=—1，

a-b12］

所以［在B上的投影向量为@力=

故答案为：［—《，一］］

13.已矢口4cos|夕+aJ=cos2。，贝！Jsin28=.

【答案】1

【解析】

【分析】利用三角恒等变形，即可求解出tan6=l,再把sin20弦化切，即可求出结果.

【详解】由4cos]。+四|=cos26可得：4——cos6*-----sin，=cos26>-sin20,

\4j22

化简得：（cos6>-sin6*）^cos6>+sin6>-2A/?j=0,

因为cose+sine=V5sin[e+；）e[-V^,V^],所以3。+5也6-2/<0，

则cos，一sin6=0,即tan6=1,

工.2sin0cos02tan62x1

而sin20=——；-------==——；-----二1,

sin'0+cos"6tan_0+11+1

故答案为：1.

14.已知AA8C是边长为2的正三角形,点。在平面48c内且而•丽=0，则方N.反的最大值为

【答案】3

【解析】

【分析】根据万N.丽=0分析点。轨迹，取4C中点£，将方N•反转化为方济一或2,然后结合图形

可解.

【详解】因为方.丽=0,所以点。在以48为直径的圆上，

记的中点分别为

则方.反=（诙+或）.（瓦+反;1=（反+就）.（瓦—珂=加_/，

因为是边长为2的正三角形，EA=1,所以方分.反=瓦2_1，

易知，当。三点共线时DE取得最大值，此时。£=。。=1,

所以方小友的最大值为诙2—1=22—1=3-

故答案为：3

C

E.

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.某学校高一新生体检，校医室为了解新生的身高情况，随机抽取了100名同学的身高数据(单位:

cm),制作成频率分布直方图如图所示.

(1)求这100名同学的平均身高的估计值(同一组数据用区间中点值作为代表)；

(2)用分层抽样的方法从[165,170),[170,175),[175,180)中抽出一个容量为17的样本，如果样本按比例

分配，则各区间应抽取多少人？

(3)估计这100名同学身高的上四分位数.

【答案】(1)172.25(2)答案见解析

(3)176.25

【解析】

【分析】(1)根据频率分布直方图频率和为1求x,再求平均数即可；

(2)由分层抽样的定义求出第2,3,4组所抽取的人数；

(3)上四分位数为频率和为0.75对应的数据，根据频率分布直方图，结合频率，即可求解；

【小问1详解】

第一组的频率为0.05,第二组的频率为0.35,第三组的频率为10x,第四组的频率为0.20,第五组的频率

为0.10,

0.05+0.35+10x+0.2+0.1=l,x=0.06

故平均数X=162,5X0.05+167.5x0.35+172.5x0.3+177.5x0.2+182.5x0.1=172.25.

【小问2详解】

0.35

根据题意，第［165,170）组有17x=7人，第［170,175）组有17X--二----6---人----,------------------

0.35+0.3+0.20.35+0.3+0.2

0.2

所以第［175,180）3组选17x=4人.

0.35+0.3+0.2

【小问3详解】

因为前3组的频率和为0.7,前4组的频率和为0.9,

所以第75百分位数在第四组，不妨设为工,

则（X-175）x0.04=0.75-0.05-0.35-0.30,

解得x=175+』=176.25,

4

即第75百分位数约为176.25；

16.在非直角三角形45C中，角4民。的对边分别为见仇c,且满足a=2ccosB-bcosC.

（1）求证：tanC=2tan5;

(2)若tan/l=3,a=3,求的面积.

【答案】（1）证明见解析

（2）3

【解析】

【分析】（1）根据正弦定理边角化，结合正弦的和差角公式可得2sin8cosC=sinCcosB,即可利用弦切

互化求解，

（2）根据正切的和差角公式可得tanB=l,tanC=2,即可由同角关系得正弦值，利用正弦定理求解长

度，即可由面积公式求解.

【小问1详解】

由a=2ccosB-bcosC可得sin/=2sinCcosB-sinBcosC,

又sin/=sin(S+C)=sinBcosC+cosBsinC,

所以2sin8cosC=sinCcosB,

由于为非直角三角形，故cos8w0,cosC/0,因此tanC=2tanS,

【小问2详解】

由tan。=2tanS,tark4=3可得

tanB+tanC3tan5

tan4—tan(兀—B—C)=—tan(3+C)=—

1-tanBtanCl-2tan25

解得tan8=1或tan3=-,，

2

若tan8=-g,贝!|tanC=-1,此时均为钝角，不符合题意,

8=巴，则tanC=2,且C为锐角，故sinC=25,cosC=YS

故tanB=1,

455

A为锐角,故sinA=3^^cosC=

又tan4=3,

1010

3_。

由正弦定理上7=得3M-2#，解得c=2亚

sinAsinC-------

105

S^BCA=；acsin3=^-x3x2\^x-^-=3

17.如图，已知多面体PQR4BCD中，四边形4BC。、PABQ、尸NO尺均为正方形，点〃是AC。/?的垂

心，PA=1.

（1）证明：〃是点A在平面CQR上的射影；

（2）求多面体PQA48c。的体积.

【答案】（1）证明见解析

⑵-

6

【解析】

【分析】（1）将图形补成一个正方形，证明AHJ.平面用0。即可;

（2）由（1）知，多面体PQR48CD的体积是由一个正方体的体积减去一个三棱锥的体积即可.

【小问1详解】

证明：因为四边形力区用加均为正方形，

所以441AB,PA1AD,ABAAD=A,AB,ADu平面ABCD,

得尸/，平面48CD,且N8J./D,将图形补成一个正方形，如图所示:

则△火。。为等边三角形，连接PS交R。于点四连接CW,则点〃在。攸上,

且放，PS,RQLCM,RSCM=M,RS,CMu平面为CS,

得R。，平面为CS,ZHu平面为CS,得附±AH,

同理比±AH,RQ[}RC=R,RQ,RCu平面A0C,得AH，平面A。。,

所以〃是点A在平面RQC上的射影；

【小问2详解】

由（1）知，多面体PQR4BCD的体积是由一个正方体的体积减去一个三棱锥的体积,

11s

则多面体PQR4BCD的体积为：1—-X—xlxlxl=

326

jr

18.如图，在扇形QW中，半径（W=2,圆心角NMON=—,矩形/BCD内接于该扇形，其中点4台

3

分别在半径。"和CW上，点C,。在加上，AB//MN,记矩形48CD的面积为S.

（1）当点48分别为半径和CW的中点时，求S的值；

（2）设/。（W=d[o＜，＜[],当6为何值时，S取得最大值，并求此时S的最大值.

【答案】（1）岳一也

2

⑵8-473

【解析】

【分析】（1）根据题意分析可知：“05为等边三角形，进而可得。4=2cos，-2®$①。，ZD=4sin，,

根据。4=1可得cos1:'结合三角恒等变换分析求解;

（2）由（1）可得S=8sin[26+3]—,结合正弦函数的有界性分析求解.

【小问1详解】

如图，连接OC。。,

则0C=0D=2,所以NODC=N。。。，

又因为矩形/反力，ZADC=ZBCD=90°，所以/4D0=N8C0,

从而可得AOAD=^OBC,所以。4=08,

7171

因为NMON=—,且。4=08,则/08为等边三角形，即/氏4。=—,

33

兀

又因为矩形4aANBAD=90°，则二一，

6

过点〃作。”的垂线，垂足为£,设ND0河=e[o<6<：],

则DE=ODsin0=-2sin。，OE=ODcos3=2cos3一

DE

在中，则ZZ）=^-----------=4sin。，AE=ADcosADAM=2^sin，

sinADAM

可得O/=OE—4E=2cos。—2esin。，

若点45分别为半径。河和ON的中点，

则OA=2cos8-26sine=4cos[e+g]=1,即cos[e+]J=；,

且呵0,胃,则,则Sin,+3=J1—c"叫卜孚,

日.八.1Tzi兀、兀].（八兀、兀（八兀、•兀V15-V3

可得SH1"二SHII0+yl-y=SillI£/+yICOSy-COSI§JSH1§=---------------,

所以S=•04=4x岳-"xl=4一邪'.

82

【小问2详解】

由（1）可得：S==4sin6（2cos，—26sin，）

=4sin23+4Gcos2,-4G=8sin126+0-，

又因为可得，则2。+枭与芝I，

可知当2，+1=',即。=］时，矩形45c力面积S取到最大值为8-4收

【点睛】关键点点睛：根据几何知识分析可知。4=2cos，-2esin6，ND=4sin6,进而结合题意运

算求解.

19.如图，在直三棱柱48C-Z0G中，AB工BC,AB=AAl=6,BC=LP是BCl上一动点,

丽=2西（0<2<l）,M是CG的中点，。是/回的中点.

（1）当2=工时，证明：?。〃平面45C;

4

（2）在答题卡的题（2）图中作出平面/男尸与平面ZCG4的交线（保留作图痕迹,无需证明）;

（3）是否存在X,使得平面/男尸与平面所成二面角的余弦值为"？若存在求满足条件的X值,

4

若不存在，则说明理由.

【答案】（1）证明见详解

（2）作图见详解（3）2=」

3

【解析】

【分析】（1）构造平行四边形，利用平行四边形对边平行得线线平行，再用线面平行的判定定理即可.

（2）一个平面内的直线，不平行则相交，