2024-2025学年湖南省长沙市高二数学下学期六校期末联考试卷（含答案）

2024-2025学年湖南省长沙市高二数学下学期六校期末联考试卷

（含答案）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在规定位置.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用签字笔或钢笔将答案写在答题卡上，请勿在答题卡上

使用涂改液或修正带，写在本试卷上的答案无效.

3.考试结束后，将答题卡交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

1,已知集合一利1日}，5={。，1，2,4},则4m）

A^2}B{0,1,2}c{0,1,2,4}D{1,4}

【答案】B

【解析】

【分析】解不等式后根据交集运算求解.

【详解】由人10}={X|OWXW2}*={（U2,4}

所以一八{0,1,2}

故选：B.

2.已知"=（3/）石=0,掰），且5工3,则实数加=（）

1

A.-2B.-3c.3D.3

【答案】B

【解析】

【分析】根据向量垂直关系的坐标表示解方程可得机=-3.

【详解】由万工3可得於B=3xl+lx机=°,解得=-3.

故选：B

3.““％”是"直线x+2町T=°与直线（3”小一町+1=°平行”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

【分析】根据两直线平行的条件进行判断

【详解】当"％时，直线x+2即T=0与直线（3”l）x一即+」0,

XH—jv—1=0—x—y+1=0

即为直线3，与直线26”的斜率都是一3,纵截距不同，则两直线平行，是充分条

件；

若直线x+2即-1=0与直线（3”l）x-即+1=0平行，当a=o时，两直线方程都为x-1=0,直线重

合不符合题意，

-13a—1111

--------------------—CL—

当°7°时，两直线平行则斜率相等，截距不相等2aa，2aa,解得6,是必要条件；

故选：C

4.已知a=4°3/=（log4a）4,c=log4（log4a）,则（）

A.a>b>cBa>c>bQ_b>c>aQc>a>b

【答案】A

【解析】

【分析】利用指数函数单调性得到°>1,利用指对运算和指数函数单调性得到°<b<1,利用对数函数

单调性得到。<°,则比较出大小.

【详解】因为。=4°3〉4°=1涉=（1呜。）4=0.34<1,且"AO,则0<6<1,

c=log（loga）=log0.3<0

444J

所以。>6>c,

故选：A.

sin（2。一兀）

5,已知tanO=2,则12）（）

1

——J_

A.2B.2C.-2D.2

【答案】A

【解析】

【分析】由二倍角公式以及切弦互换即可求解.

sin(2^-7i)-sin29—2sin9cos811

1.(兀1-cos26^2sin20tan32

1-sin——20

【详解】12).

故选：A.

U"

6.已知I2x；的展开式中第3项的二项式系数等于36,则该展开式中的常数项为()

216321_9_

A.5B.16C.16D.32

【答案】A

【解析】

【分析】由题意得亡=36求出〃的值，然后求出二项式展开式的通项公式，令x的次数为零，求出乙从

而可求出展开式中的常数项.

【详解】因为的展开式中第3项的二项式系数等于36,

所以C；=36,得〃（〃一1）=72,

因为“eN*,所以

9

X+2^X+2^

所以展开式的通项公式为

令9—3r=0,得厂=3,

所以该展开式中的常数项为c它三2,

故选：A

7.第33届夏季奥林匹克运动会预计2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举办.假设这届奥运会将

新增2个竞赛项目和4个表演项目，现有三个场地4B,C承办这6个新增项目的比赛，每个场地至少承

办其中1个项目，且4场地只能承办竞赛项目，则不同的安排方法有()

A.60种B.74种C.88种D.120种

【答案】B

【解析】

【分析】按照力场地承办1个竞赛项目还是2个竞赛项目分类讨论，结合排列组合知识进行求解.

【详解】当力场地承办1个竞赛项目时,分1/，4和123两种情况，共有C；x©+C；）xA；=60种安

排；

（「2、

C；+WxA^=14

当4场地承办2个竞赛项目时，分2,1，3和2,2,2两种情况，有（2种安排.

故不同的安排方法共有60+14=74种.

故选：B.

8.已知一个正四棱台的上、下底面边长分别为2,8,侧棱长为36,则该正四棱台内半径最大的球的表

面积为O

64兀64兀

A.12兀B,27兀C.9D,3

【答案】D

【解析】

【分析】先求出正四棱台的高，再分析出最大内切球与四侧面及下底面相切，再根据三角函数得到其半径

大小，最后利用球的表面积公式即可.

【详解】作出如图所示正四棱台，其中。&为正四棱台的高，£鸟为其斜高,

因为正四棱台的上、下底面边长分别为2,8,侧棱长为3爪,

则咚B0=46,。。/啦-⑸=3.

。0]=3G>^^=5

因为2,故半径最大的球不与上下底面同时相切,

EE1=sinNOEEi=聆=斗NOEE]=-

,贝U叫,，贝U3

71

CFAC/Q£0二——

过。，力，4,名作正四棱台的截面，截球得大圆，则该圆与等腰梯形两腰和下底相切，则一6,

,则更确定最大内切球与四侧面及下底面相切,

即该正四棱台内半径最大的球半径3,球的表面积为3.

故选：D.

【点睛】关键点点睛：本题的关键是得到正四棱台内半径的最大的球是与侧面和底面同时相切的，再求出

其高，得到侧棱与底面夹角，作出轴截面图形，再求出最大球半径.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.对于随机变量X,下列说法正确的有（）

A.若£（X）=L则E（2XT）=1

B,若0（X）=1,则。QX-A

C.若X：N（2,4）,则£（x）=4

D若X〜8（1°,0.5）,贝/5）=5

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据期望和方差变换公式和二项分布、正态分布相关概念求解即可.

【详解】对于A,若£（X）=1,则£（2XT）=2xl-1=1,故A正确；

对于B,若*）=1,则。（2X-1）=1"=4,故B正确；

对于C若X："（2,4）,则E（X）=2,故，错误;

对于D,若“~8（10,0.5）,则£（X）=10x0.5=5,故口正确.

故选：ABD

10.已知函数/Osiwcosx,则（）

A./（X）是奇函数B./（“）的最小正周期为2兀

c./（X）的最小值为2D./。）在1上单调递增

【答案】AC

【解析】

f（x）=—sin2x

【分析】首先化简函数2,再根据函数的性质判断各选项.

f(x)=sinx-cosx=-sin2x

【详解】2,函数的定义域为R,

f（-x）=--sin2x=-/（x）f（\

对A,2,所以函数j—J是奇函数，故A正确;

2兀_

对B,函数/（“）的最小正周期为2,故B错误;

对C,函数/（X）的最小值为2,故C正确;

xc0微在I"；]上单调递增，在-兀兀

2xe[0,7i],函数/（“）不单调，/（"）4’2」上单调递减,

对D,

故D错误.

故选：AC

11.已知等比数列｛""｝的前〃项和为S”满足邑=2向+加，数列｛〃｝满足仇+2+3++n〃，则

下列说法正确的是（）

A.m=-\

+36

设4,〃eN*,则/（"）的最小值为12.5

B.

1

£〉—

C.若柩"一6"+2>°对任意的“eN*恒成立，则8

C

D.设“坤田,若数列｛cj的前〃项和为4,则（<2

【答案】BCD

【解析】

36

/（〃）=%+—

【分析】对于A：先求4,结合等比数列性质分析求解；对于B：由%，利用对勾函数的性

n-2

t>------*c

质求解判断；对于C：由2"对〃eN恒成立求解判断；对于D：由”〃〃+1,利用裂项相消

法求解判断.

【详解】对于选项A：因为5，，=2.+”，

若〃=1,则％=4+加；

若心2,贝产=S“一鼠=（2向+加）一（2"+加）=2"；

若也｝为等比数列,则即16=8（4+加），解得冽=_2,

此时%=2符合an=2",则an=2",

4+1-2

且%，即｛%｝为等比数列，综上所述：机=-2,故A不正确;

//\36

/(〃)=%+一

对于选项B：因为％〃eN*

36

y=t-\----

令,=2",则t

-x+史

因为对勾函数X在（°,6）内单调递增，在（6，+"）内单调递减,

当，=4,〃=2时，y=13；当/=8,〃=3时，歹=12.5；

所以/（"）mm=/（3）=12.5

,故B正确；

,bbb

+—2+—3H---\--=n

对于选项C：由23n

若〃=1,则4=1；

」="(〃T)=lb-n

若让2,则〃，则2一〃

且4=1符合上式，所以“="

n—2

，、八/*t-2n-n+2>0^t>-—

若勿„>4—4对〃eN恒成立，即2"对“eN恒成立,

n-2n-1n-2一〃+3

/(〃)=/(〃)

2〃+i2〃2〃+i

令2"，贝IJ

2时，，("+1)>/(")；当〃=3时，/G)=/(4),当时,/(〃+1)</()

当1W定

小)=/(4)=：1

/(〃)maxt>一

则8,则8，故C正确;

a,Q-b,)_2"(1-")_2“2向

-

+n〃+1

对于选项D她+i

则,2222232〃2〃+i2"i

---1---------|—.)1,+—2<2

223n〃+1〃+1,故D正确.

故选：BCD

三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分.

12.若复数Z满足Z0T)=1+3I,i为虚数单位，则2=

【答案】-l-2i##-2i-l

【解析】

【分析】根据题意，利用复数的运算法则，求得Z=-l+2i,结合共轨复数的概念，即可求解.

_..-=14,31=(l+3i)(l+i)=_i+2.

【详解】由复数20T)=1+3I,可得1-1(1-1)。+1)，所以z=-1—2i

故答案为：-1-2i.

2

x2,/n\V3

—+v=l(m>0)——

13.若椭圆机一’的离心率为2,则加=.

【答案】2或万

【解析】

【分析】根据焦点的位置分类讨论，结合离心率的计算公式可得答案.

【详解】当m>1时，焦点在X轴上，则/=机2,=J.T,

当o<加<1时，焦点在7轴上，则力=1,c2=Vl-m2

e=—=----=—=>机=一

则a122

故答案为：2或万.

14.已知曲线加―一（8冽-l）x-3了+16机+8=°恒过屈点，且加在抛物线C：/=2px上.若尸是

C上的一点，点"（6,3）,则点尸到C的焦点与到点N的距离之和的最小值为—.

【答案】7

【解析】

【分析】将曲线后一酬—1卜—3>+1.+8=（）可变形为机6-4）2+“-3”8=0,可得四（4,4）

进而可得C的方程为/=4x,设点尸在准线/上的投影为。，抛物线的定义结合几何性质分析求解.

【详解】曲线M2一（8加—1）"—3叶16冽+8=°可变形为加&一4）2+'-3尸8=°'

令［x-3y+8=0,解得［y=4,

可知曲线冽V—（8机—1卜—3歹+16冽+8=°恒过点/（4,4）,

因为M在抛物线°：科=2px上，则16=82.解得夕=2,

所以C的方程为/=4x,可知C的焦点为77（L0）,准线为/:x=—l,

又因为?=9<24,可知点N在抛物线内，

设点尸在准线/上的投影为，则归。口尸耳，

|PF|+\PN\=|PZ>|+|P2V|<6+1=7

因为

当且仅当尸N与C的准线垂直时，等号成立,

所以点尸到C的焦点与到点N的距离之和的最小值为7.

故答案为：7.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知一BC的内角4且C的对边分别为。也c,C为锐角，且a=2csirU.

（1）求角°的大小；

3-_

（2）若A/BC的面积为4,c=6求的值.

【答案】（1）6；

⑵/+〃=12.

【解析】

,八1

sinC——

【分析】（1）根据正弦定理可得2,即可求解；

（2）根据三角形的面积公式可得a'=36，结合余弦定理计算即可求解.

【小问1详解】

由a=2csinA,有siiL4=2sinCsiib4

sinC=—

又由SHL4>0,可得2,

C=-

因为C为锐角，所以6.

【小问2详解】

O_1Z,-71_3G

3=—absin-=----仄

由题意得，A264,得岫=36,

由余弦定理得3="+〃-6疝,

可得/+〃=12.

16.如图，在四棱锥中，底面4BCD是边长为1的正方形，SA=SB=2,£、尸分别是SC、

80的中点.

(1)求证：跖〃平面S48；

71

(2)若二面角S-/8-。的大小为,，求直线与平面Z8CO所成角的大小.

【答案】(1)证明见解析；

71

(2)3

【解析】

【分析】(1)取线段的、48的中点分别为“、G,连接EH、H3、FG,然后四边形瓦立打为平行

四边形，得到线线平行，从而证明线面平行；

(2)根据线面角的定义，可由几何图形作出线面角，然后根据三角形求解即可.

【小问1详解】

证明：取线段S6、48的中点分别为“、G,连接EH、H3、FG,

EH//BC,EH=-BCFG//AD,FGAD

则2,2,

又底面NBC。是正方形，即8C//"O,8C=ZO,

驰EH〃FG,EH=FG,即四边形ERGH为平行四边形，

则£尸//HG,又石尸在平面S48外，HGu平面S48,

故瓦7/平面S48

【小问2详解】

取线段43的中点为。点，连接SO、DO,

又SA=SB=2,底面48CD是边长为1的正方形,

兀

又二面角S-AB-D的大小为5,

即平面SAB1平面ABCD,

又SOu平面S46,平面平面/8CD=45,

则SO1平面ABCD,

则NSDO是直线SD与平面ABCD所成角,

tanZSDO=-^-=y/3

在Rt^SZ)。中,DO

ZSDO=-

即3,

7C

故直线SD与平面ABCD所成角的大小为3.

—+/=1X=----

17.双曲线C的焦点与椭圆3■的焦点相同，双曲线。的一条准线方程为2

（1）求双曲线。的方程;

（2）若双曲线。的一弦中点为@，2）,求此弦所在的直线方程.

22_1

【答案】（1）X—V=1

(2)3x-2y-5=0

【解析】

【分析】（1）求出椭圆焦点坐标，得双曲线的半焦距C,再由准线方程求得。，从而可得6,然后可得双

曲线方程.

（2）设弦的两端分别为8（%，%）,利用点差法，代入双曲线方程相减，利用中点坐标可求

得弦所在直线斜率，从而得直线方程.

【小问1详解】

—+/=1的焦点为（几°）（一"°）”=也

:椭圆3

41V2

:一条准线方程为2,c2,解得。=1,=1,

・•・双曲线C的方程为一一产=1

【小问2详解】

设弦的两端分别为'（2）8（%，%）.则有:

[221

JX]f=1

I22]

出一%=1

X]+%2=6

弦中点（，）,••必

广必-/_M+%_3

故直线的斜率西_“2%+%2

3

y-2=-(x-3)^3x-2y-5=0

则所求直线方程为："2'

18.已知函数/G)Tn(x-3)-"eR).

（1）若。=1,判断/（*）的单调性；

（2）若/（*）在（5,+00）上没有极值点，求。的取值范围.

【答案】（1）/（“）在彳）上单调递增，在（4+勾＞上单调递减

（-co,0]u^-,+00I

⑵L2J

【解析】

【分析】（1）解不等式°即可；

(2)分两种情况:即/'(x)之°在(5,+8)上恒成立，或/'(x)(。在(5,+00)上恒成立。

【小问1详解】

当4=1时，/(x)=ln(x-3)-x,其定义域为(3,+8),

14—x

/'(x)=-T-l=--(^>3)

x-3x-3,

由/'(x)>0,得3<x<4,由/")<°,得x>4,

所以A)在。，4)上单调递增，在《+8)上单调递减.

【小问2详解】

因为/3=ln(x-3)-⑪，/'3=一-二

11