2024-2025学年辽宁省高一数学下学期期初考试（附答案）

2024-2025学年辽宁省高一数学下学期期初考试（含答案）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

1,已知集合人{水声＜3},"{x|x=3I#eN*},若c=/n5,则C的子集有（）

A.3个B.4个C.7个D.8个

2.下列命题为真命题的是()

A.VxeR,X2+3<0B.VxeN,x2>1

C.BxeZ,x5<1D.BxeQ,x2=5

3.下列各式正确的是()

A.后=—2B.^7=口

4.设a=log?1,6=姬,。=3"，则。，b

c的大小关系是（）

A.a>b>cB.c>a>b

C.c>b>aD.b>c>a

5.函数/(x)=log2(|x|—l)的图像为()

则/[/(-2)]=()

A.-2B.2C.-3D.3

7.若入5是不平行的两个向量，方=4万+尻祝二万+4反其中,4、否£尺,则人、B、c三点共线的充

要条件是o

A.4=%2=IB.4=%=—1c.4%2=1D.W--1

8.已知函数/（x）=2，+ln（3x+历2T+2,则关于x的不等式〃3尤+l）+〃x）>4的解集为（）

A.（0,+/）B.（一力，0）C.1一D.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，计20分.在每小题给出的选项中，有多个选项是符合题目要

求的，全部选对得5分，有选错的得零分，部分选对得2分.

9.下列函数中是偶函数，且在（0,+8）上为增函数的有（）.

A./（x）=—B.y=x2C.y=x3D.y=log,|x|

X

10.同时抛郑两个质地均匀的四面分别标有1,2,3,4的正四面体一次，记事件/=｛第一个四面体向下的一

面出现偶数｝;事件8=｛第二个四面体向下的一面出现奇数｝;事件。=｛两个四面体向下的一面或同时

出现奇数，或者同时出现偶数｝,则（）

A.尸（/）=gB.P（C）=|

C.P（AB）=-D.P（ABC）=-

11.若a,b,ceR,则下列命题正确的是（）

A.若abw0且a<b,则,>工

B.若0<a<1,则dP<Q

ab

C.若0<a<b,则D.若c<b<a且ac<0,则cb1<ab1

a+\a

12.已知函数/（x）=x2—2x+a有两个零点A，x2，以下结论正确的是（）

112

A.3<1B.若xxx2w0,则一+—=―

Mx2a

c./(T=/⑶D.函数有了=/（忖）四个零点

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，计20分.

25

13.83+210823-lg--21g2=_______.

14.已知四边形/BCD的对角线交于点。,£为/。的中点，若左=2而+〃而，则2+〃=.

15.抽样统计某位射击运动员10次的训练成绩分别为86,85,88,86,90,89,88,87,85,92,则该运动员这

10次成绩的80%分位数为.

16.已知函数=若对任意的正数a、b,满足/(a)+/(26—2)=0,则工+工的最小值为:

v7ex+1ab

四、解答题：本题共6小题，共计70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知集合4={x|8V2*<:64},5={x|x2-13x+36<0).

(1)分别求/CB,AuB-

(2)已知C={x［a<xWa+l},若CjB,求实数。的取值范围.

18.在平面内给定三个向量万=(3,2),5=(—1,2),3=(4,1).

(1)求满足值=e的实数m,n的值；

(2)若向量［满足(2-3)//伍+B),且口-@=石，求向量2的坐标.

19.已知关于X的不等式依2一3》+2>0的解集为{x|x<l或x>Z)}.

(1)求。，b的值；

ab

(2)当x>0,y>0且满足一+—=1时，有2x+y2后②+女+2恒成立，求左的取值范围.

xJ

20.某学校为了解本校历史、物理方向学生的学业水平模拟测试数学成绩情况，分别从物理方向的学生中随

机抽取60人的成绩得到样本甲，从历史方向的学生中随机抽取〃人的成绩得到样本乙，根据两个样本数据

分别得到如下直方图:

甲样本数据直方图乙样本数据直方图

已知乙样本中数据在［70,80)的有10个.

(1)求"和乙样本直方图中。的值；

(2)试估计该校物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值和历史方向的学生本次模拟测试数学成

绩的中位数(同一组中的数据用该组区间中点值为代表).

(3)采用分层抽样的方法从甲样本数据中分数在［60,70)和［70,80)的学生中抽取6人，并从这6人中任

取2人，求这两人分数都在［70,80)中的概率.

21.已知函数歹=2-—(a+2)x+a,aeR

(1)解关于x的不等式了＜0；

(2)若方程2f—(a+2)x+a=x+l有两个正实数根对马，求三+五的最小值.

T+a

22.已知函数/(》)=

T+b

(1)当a=41=一2时，求满足/(x)=2、的x的值；

(2)若函数/(x)是定义在R上的奇函数，函数g(x)满足/(x)(g(x)+2］=2:2一”,若对任意xeR

且X/),不等式g(2x)»%g(x)-10恒成立，求实数m的最大值.

数学试卷答案

考试时间：120分钟满分：150分

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

1.已知集合人{冰/_1<3},8={八=31,%N*},若。:一次则。的子集有。

A.3个B.4个C.7个D.8个

【答案】B

【解析】

【分析】先将集合A化简，求出集合C得解.

【详解】集合/={x|Jx+1<3}={x|-1Wx<8}，因为8={x|x=3k-l,keN*},

所以C=/c8={2,5},其子集有4个.

故选：B.

2.下列命题为真命题的是（）

A.VxeR,X2+3<0B.VxeN,x2>1

C.3xeZ,x5<1D.BxeQ,x2=5

【答案】C

【解析】

【分析】根据全称量词命题和特称量词命题的定义判断.

【详解】对于A,因为一之0,所以VxeR,1+323,A错误;

对于B,当x=0时，%2<1,B错误；

对于C,当x=0时，x5<l，C正确；

由/=5可得x=土蓬均为无理数，故D错误,

故选:C.

3.下列各式正确的是（）

A."=—2B.1^7=百

【答案】A

【解析】

【分析】根据事运算的规则逐项分析即可.

【详解】对于A,耳—23=-6=一2，正确；

对于B,0(—3)4=#=昭,错误；

_________13

对于c，也3+y3=卜3+力4w(x+y尸，错误;

对于D,[2]=〃2.加-2,错误；

故选：A.

4.设a=log3^,A__LC=3F，则。，b,c的大小关系是()

710-71

A.a>b>cB.c>a>b

C.c>b>aD.b>c>a

【答案】D

【解析】

【分析】计算。=log3,<o，0<c=3-H<b得到答案.

71°—儿：》

-71

a=log3-<log3l=0,A__L_o_1,0<c=3<3°=1,

兀U一儿/儿一1

故。<0<c<1<6.

故选：D

5.函数/(x)=log2(|x|—l)的图像为()

A.

【答案】A

【解析】

【分析】以函数“X)的定义域、奇偶性去排除错误选项即可.

【详解】函数/(x)=log2(|x|—1)的定义域为(一8,—1)。(1,+8),可以排除选项B、C；

由/(-X)=log2(|-x|-l)=log2(|x|-l)=/(x),

可知函数为偶函数，其图像应关于y轴轴对称，可以排除选项D.

故选：A

6.若函数=-2""0,则/“―2)]=o

log2x,x>0,

A.-2B.2C.-3D.3

【答案】D

【解析】

【分析】首先计算/(—2),再计算/[/(-2)]的值.

【详解】/(-2)=(-犷-2x(-2)=8,/[/(-2)]=/(8)=log28=3.

故选：D.

7.若@、5是不平行的两个向量，方=4万+瓦*=万+4反其中,4、&eR,则A、B、C三点共线的充

要条件是()

A.4=4=1B.4=办=_1C.4彳2=1D.

【答案】c

【解析】

【分析】将三点共线转化为两个向量共线，利用向量共线的充要条件求出两参数的关系.

【详解】A、B、C三点共线=方，/共线，

，存在X使M=x就

4万+b=2(«+

„整理得4&=1

故选：c

【点睛】本题主要考查向量共线的充要条件以及充要条件的求法，在解决三点共线的问题时，可先证明两

向量共线.

8.已知函数/(可=2，+1!1卜工+历112T+2,则关于X的不等式〃3》+1)+〃X)>4的解集为()

A.(0,+oo)B.(一.0)C.[一叫一；]D,

【答案】D

【解析】

【分析】构造函数g(x)=/(x)-2,判断g(x)的单调性和奇偶性，由此求得不等式〃3x+l)+f(x)>4

的解集.

【详解】g(x)=/(x)-2=2x+ln(3x+的1+1卜2-x=2。2-，+ln(3x+,9/+1卜

由于，9X2+1+3X>|3X|+3X»0,所以g(x)的定义域为R,

______(1\

又g(―x)=2-_2X+In(—3x+495+1)=-(2x-2-x)+In,_1——

=—(2工-2一)-1110工+的X2+l)=_g(x),所以g(x)是奇函数，

当x>0时，y=ln°x++1)为增函数,》=2*-2-"为增函数，

所以g(x)是增函数，则g(x)>g(O)=O,由g(x)是奇函数可知，g(x)在R上单调递增，

由/(3x+l)+/(x)>4得/(3x+l)—2〉—[/(x)—2],即g(3x+l)>—g(x)=g(—x),

则3x+l>—x,解得x>—所以不等式/(3x+l)+/(x)>4的解集是

故选：D

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，计20分.在每小题给出的选项中，有多个选项是符合题目要

求的，全部选对得5分，有选错的得零分，部分选对得2分.

9.下列函数中是偶函数，且在(0,+8)上为增函数的有().

23

A./(x)=—B.y=xC.y=xD.y=log2|x|

X

【答案】BD

【解析】

【分析】

根据函数的奇偶性的定义和基本初等函数的性质，逐项判定，即可得解.

【详解】对于A：定义域为｛x|xw0｝,关于原点对称，〃-力=-：=-〃力是奇函数，不满足题意；

对于B：定义域为R,关于原点对称，y=f(x)=x2,/(-x)=(-x)2=x2=/(%)，是偶函数，由二

次函数的性质可知，函数y=/(x)=/在(0,+8)上为增函数，满足题意；

对于C：定义域为R,关于原点对称，y=/(x)=x3,/(-x)=(-x)3=-x3=-/(^)'是奇函数，不

满足题意；

对于D:定义域为｛x|"0｝,关于原点对称，J=/(X)=log2|x|,/(-x)=log2|-x|=log,|x|=/(%)-

是偶函数，当xe(0,+oo)时，y=f[x)=log2X,由对数函数的性质可知，＞=/(%)=log?X在(0,+8)

上为增函数，满足题意.

故选：BD.

10.同时抛郑两个质地均匀的四面分别标有1,2,3,4的正四面体一次，记事件/=｛第一个四面体向下的一

面出现偶数｝;事件8=｛第二个四面体向下的一面出现奇数｝;事件。=｛两个四面体向下的一面或同时

出现奇数，或者同时出现偶数｝,则()

A.尸(2)=3B,P(C)=|

C.P(N8)=；D.P[ABC)=-

【答案】AC

【解析】

【分析】利用古典概率公式，互斥事件的概率公式以及相互独立事件的概率乘法公式，逐一判断即可求解.

【详解】依题意P(Z)=2=L,P(5)=-=-,

4242

P(C)=-x-+-x-=-,故选项A正确，B不正确；

22222

因为A,B为相互独立事件，

所以尸(48)=P(Z)尸(8)=LXL=J_,故选项c正确；

224

又因为事件A、B、。不可能同时发生，

所以P(/BC)=O,故选项D不正确；

故选：AC.

11.若。，b,ceR,则下列命题正确的是()

A.若abwO且。<6,则B.若0<〃vi,则/<Q

ab

C.若0<a<6，则b+।<—D.若。<b<。且ac<0,则cb1<ab1

a+1a

【答案】BC

【解析】

【分析】直接根据所给条件不等式结合作差法去证明结论正确或者举出反例推翻结论即可.

【详解】对于A,若a<0<6,满足abwO且a<6,但!<0<!，故A错误；

ab

对于B,若O<Q<1,则。③一a=一］)<0,即/<Q,故B正确；

Z?+1ba(6+1)—力(a+1)a—b6+1b

对于C,若则一--—二-^—/―S—L=—7—n<0,即——<-,故C正确

a+1aaya+\)矶a+1)a+1a

对于D,若。</?=0<a,这当然也满足ac<0,但此时c/=a/=0,故D错误.

故选：BC.

12.已知函数/(同=必—2x+a有两个零点占，X?,以下结论正确的是()

112

A.<3<1B.若玉工2。0，则—+—二—

再x2a

c./(-1)=/(3)D.函数有y=/(N)四个零点

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据零点和二次函数的相关知识对选项逐一判断即可.

【详解】二次函数对应二次方程根的判别式△=(—2)2—4a=4—4a〉0,a<l,故A正确；

11x+x92

韦达定理玉+%2=2,xx2=a,1----=---------=—,故B正确；

一一七x2xxx2a

对于C选项，/(—l)=l+2+a=3+a,/(3)=9—6+a=3+a,所以/(—1)=/(3),故C选项正确;

对于D选项，当a=0时，由y=/(|x|)=O得忖2一2忖=0,所以毛=0,々=一2,七=2故有三个零点,

则D选项错误.

故选:：ABC

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，计20分.

2「

13.83+210823-lg15-21g2=.

【答案】6

【解析】

【分析】根据对数的运算法则及基的运算性质计算可得.

25

【详解】83+2脸3—1g；—21g2

=所+3一］吟回

=2忖+3-lg1x22)

=4+3—1=6.

故答案为：6

14.已知四边形/BCD的对角线交于点为/。的中点，若赤=2而+〃而，则％+〃=.

【答案】y##0.5

【解析】

【分析】根据给定条件，利用向量线性运算及共线向量定理的推论求解即得.

【详解】由£为/。的中点，及左=%存+〃而，得=X与+〃方，即万5=22万+2〃万，

又四边形45CD的对角线交于点0,即点8,0,。共线，因此24+2〃=1,

所以x+〃=万.

故答案为：y

15.抽样统计某位射击运动员10次的训练成绩分别为86,85,88,86,90,89,88,87,85,92,则该运动员这

10次成绩的80%分位数为.

【答案】89.5

【解析】

【分析】利用百分位数的定义及中位数的定义即可求解.

【详解】该射击运动员10次的训练成绩从小到大分别为

85,85,86,86,87,88,88,89,90,92.又10x80%=8,

这10次成绩的80%分位数为8二9+—90=89.5.

2

故答案为:89.5.

16.已知函数/（》）=上1,若对任意的正数a、b,满足/（a）+/（2Z>—2）=0,则2+工的最小值为:

v7ex+1ab

【答案】4

【解析】

211

【分析】分析函数/（X）的单调性和奇偶性，可得出a+26=2,将代数式/+1与5（a+2b）相乘，展开

21

后利用基本不等式可求得一+一的最小值.

ab

x

e_i

【详解】对任意的xeR,e*+l>0,所以，函数=一的定义域为R,

v'eA+1

e-iexe-i-1_

因为一-=-7-------r=：-----T=_/(X)，即函数〃x)为奇函数,

'7小+1ex(e-A+1|1+e

e'+1~2=1-^—,且函数y=e、+l在R上为增函数,

eA+1eT+1

-Y-i

所以，函数=e~^在R上为增函数,

「e'+l

对任意的正数a,6,满足/伍)+/(26-2)=0,则/⑷=—/(26-2)=/(2-26),

所以，a-2-2b,即a+26=2,

/

2,a4b>14+2,0竺'

所以,—+4+—+—二4,

ababa.

a_4b

baa-\

当且仅当｛a+26=2时,21

即当71时，等号成立，故*+：的最小值为4.

b=一ab

a>0,b>0I2

故答案为：4.

四、解答题：本题共6小题，共计70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知集合/={x|8V2,<64},5={X|X2-13X+36<0}.

(1)分别求/CB,AuB；

(2)已知C={x|a<x<a+1},若求实数。的取值范围.

【答案】(1)/。5=(4,6),/。3=[3,9)

(2)4<a<8

【解析】

【分析】(1)根据指数函数的单调性，结合一元二次不等式的解法、集合交并集的定义进行求解即可;

(2)根据子集的性质进行求解即可.

【小问1详解】

•.•8C64,;.23<2，<26,解得3Wx<6,则/={x|3Kx<6},

vx2-13x+36<0,.-.(x-4)(x-9)<0,解得4<x<9,则8={x|4<x<9},

.•./cB=(4,6),Zu5=[3,9)；

【小问2详解】

;C匚B,C={x[a<xKa+1},

a>4

<=>4Va<8.

Q+1<9

18.在平面内给定三个向量可=(3,2),5=(—1,2族=(4,1).

(1)求满足5=加万+的实数m,n的值;

(2)若向量2满足(一一己)//(万+B),且|2-己|二君，求向量才的坐标.

.5

m=，

【答案】(1)；9；(2)(3,—1)或(5,3).

o

n=一.

[9

【解析】

【分析】

(1)根据向量的坐标运算求解即可.

(2)设向量2=(x,y)再根据平行与模长的公式列式求解即可.

【详解】(1)由已知条件以及£=机3+晶，

可得(3,2)=%(-1,2)+〃(4,1)=(-m+4〃,2m+n),

5

m=—,

-m+4〃=3,9

即<2m“2,解得

8

n=—.

9

(2)设向量d=(x,y)，则d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4).

I;x=5,

或《

(x-4)-+(y-l)-=5,[y=Ty=3,

:.向量2的坐标为(3,-1)或(5,3).

【点睛】本题主要考查了向量坐标的运算以及平行的与模长的公式，属于中等题型.

19.已知关于X的不等式以2—3x+2>0的解集为{x|x<l或x>3}.

(1)求。，b的值;

ab

(2)当x>0,y>0且满足一+—=1时，有2x+yN/+4+2恒成立，求上的取值范围.

xy'

【答案】(1)a=\,b=2

⑵卜3,2]

【解析】

【分析】(1)根据一元二次不等式的解集，利用韦达定理可列出方程组，即得;

（2）利用基本不等式求得2x+y的最小值，根据恒成立可得上2+左一6<0,即得.

【小问1详解】

因为不等式欧2一3x+2>0的解集为{刘％<1或x>6},

所以1和6是方程a/—3x+2=o的两个实数根，且。>0,

l+b=-

aa-\

所以《解得《

b=2

l-b=-

a

即。=1,b=2.

【小问2详解】

\a-\I21

由（l）知<7C，于是有一+—二l，

b-2xy

故2x+y=（2x+y）—+—=4+上+&N4+2«=8

.,y）1V

y4xI21%=2

当且仅当乙=——，结合一+-=l,即4/时，等号成立,

xyxy卜=4

依题意有（2x+y）1111n2/+左+2,即8N/+左+2,

得左2+左一6<0，即一3«左<2,

所以上的取值范围为卜3,2].

20.某学校为了解本校历史、物理方向学生的学业水平模拟测试数学成绩情况，分别从物理方向的学生中随

机抽取60人的成绩得到样本甲，从历史方向的学生中随机抽取〃人的成绩得到样本乙，根据两个样本数据

分别得到如下直方图：

甲样本数据直方图乙样本数据直方图

已知乙样本中数据在[70,80）的有10个.

(1)求"和乙样本直方图中。的值；

(2)试估计该校物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值和历史方向的学生本次模拟测试数学成

绩的中位数(同一组中的数据用该组区间中点值为代表).

(3)采用分层抽样的方法从甲样本数据中分数在［60,70)和［70,80)的学生中抽取6人，并从这6人中任

取2人，求这两人分数都在［70,80)中的概率.

【答案】(1)〃=50；a—0.018；

(2)平均值81.5,中位数82；

(3)2

5

【解析】

【分析】(1)根据频率定义即可求出"，再根据小矩形面积和为1即可求出。值；

(2)根据平均数和中位数定义计算即可；

(3)列出所有情况和满足题意的情况，再利用古典概率公式即可.

【小问1详解】

由直方图可知，乙样本中数据在［70,80)的频率为0.020x10=0.20,

则W=o.2O,解得〃=50；

n

由乙样本数据直方图可知，(0.006+0.016+0.020+0.040+a)x10=1,

解得a=0.018；

【小问2详解】

甲样本数据的平均值估计值为

(55x0.005+65x0.010+75x0.020+85x0.045+95x0.020)xl0=81.5,

乙样本数据直方图中前3组的频率之和为(0.006+0.016+0.02)x10=0.42<0.5,

前4组的频率之和为(0.006+0.016+0.02+0.04)x10=0.82>0.5,

所以乙样本数据的中位数在第4组，设中位数为x,

(x-80)x0.04+0.42=0.5,

解得x=82,所以乙样本数据的中位数为82.

【小问3详解】

由频率分布直方图可知从分数在［60,70）和［70,80）的学生中分别抽取2人和4人，

将从分数在［60,70）中抽取的2名学生分别记为%，从分数在［70,80）中抽取的4名学生分别记为

4也,冬也,

则从这6人中随机抽取2人的基本事件有

（%,出），（％，4），（。1也），（。1也），（%也），（。2,4），（。2也），（生也），（。2也），

（4也）,（4也）,（4e），伍2也），伍24），他也），共15个,

所抽取的两人分数都在［70,80）中的基本事件有6个，所以所求概率为5=2

5

21.已知函数歹=2——(q+2)x+a,aeR

（1）解关于x的不等式><0；

（2）若方程2f—（a+2）x+a=x+l有两个正实数根芯也，求强+土的最小值.

七%

【答案】（1）答案见解析；

（2）6.

【解析】

【分析】（1）解含参一元二次不等式，即可得答案；

（2）根据方程2f-（a+2）x+a=x+l有两个正实数根士可得相应不等式组，进而表示出三+五,

匹马

采用换元法结合基本不等式即可求得答案.

【小问1详解】

不等式y<0即为2/—（Q+2）X+Q<0（2x-«）（x-l）<0,

na

当。<2,即一<1时，不等式的解集为〈x—<x<l>，

2［2J

当。=2,即g=1时，不等式的解集为0,

2

当。>2,即2H>1时，不等式的解集为<xl<x<一CI,

2［2］

（2

综上可知：当。<2时，不等式的解集为,