2024-2025学年七年级数学下册题型专练：立方根（知识解读+达标测试）（解析版）

第02讲立方根

题型归纳

【题型1立方根的概念】

【题型2立方根的性质】

【题型3立方根的实际应用】

【题型4算术平方根和立方根的综合应用】

【题型5立方根的小数点移动的规律】

基础知识,知识梳理理清教材

知识点1：立方根的定义

L定义：如果一个数的立方等于。，那么这个数叫做。的立方根或三次方根.这就是说，

如果V=a,那么X叫做。的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.

注意：一个数。的立方根，用血表示，其中。是被开方数，3是根指数.开立方和立方

互为逆运算.

2.立方根的特征

立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.

注意：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数

的符号相同.两个互为相反数的数的立方根也互为相反数.

题型分类深度剖析,

【题型1立方根的概念】

【典例1】已知江兀=一2,则正的值是（）

A.±2B.2C.±3D.3

【答案】D

【分析】先根据立方根的定义求出a的值，再根据算术平方根的定义计算求解即可.

【详解】解：•••班二^=一2,

1—CL=-8,

解得a=9,

•••Va=V9=3,

故选：D.

【点睛】本题考查了立方根与算术平方根、一元一次方程的应用，熟练掌握立方根与算

术平方根的定义是解题的关键.

【变式1-11计算|一3|+『的结果是（）

A.1B.-1C.5D.-5

【答案】A

【分析】此题主要考查了求一个数的立方根.根据绝对值，立方根的定义进行计算可得

答案.

【详解】解：|-3|+V^=3-2=1,

故选：A.

【变式1-2】-捺的立方根是（）

23-3

A.——B.-C.——D.-

【答案】A

【分析】此题考查了立方根的求解能力，关键是能准确理解并运用该知识进行正确地求

解.运用立方根的定义进行求解.

【详解】解：「（—1）3=—捺，

的立方根是_|,

故选:A

【变式1-3】下列说法中正确的是（）

A.27的立方根是±3B.称的立方根是（

o

C.-2是-8的立方根D.一8的立方根是2

【答案】C

【分析】此题考查了立方根，解题的关键是正确理解：一般地，如果一个数x的立方等

于°,那么这个数x叫做。的立方根.根据立方根的定义及性质逐项进行判断即可.

【详解】解：A、27的立方根是3,此选项错误，不符合题意；

B、号的立方根是此选项错误，不符合题意；

644

C、-2是-8的立方根，此选项正确，符合题意；

D、-8的立方根是-2,此选项错误，不符合题意；

故选：c.

【题型2立方根的性质】

【典例2】一个正方体的棱长为a,体积为6,则下列说法正确的是（）

A.b的立方根是士aB.a是b的立方根C.a=VbD.b=&

【答案】B

【分析】本题考查正方体体积公式，立方根和算术平方根计算.根据题意先列出棱长和

体积表达式，再逐一对选项进行分析即可.

【详解】解：•••一个正方体的棱长为a,体积为b,

•''b=,即：a=VK，

・•.a是b的立方根，

故选：B.

【变式2-1］若一个数的立方根是4,那么这个数的平方根是（）

A.4B.±4C.8D.±8

【答案】D

【分析】本题考查了平方根和立方根的计算，能够通过立方根求出原数是解题关键.

先通过立方根求出原数为43=64,再求平方根即可.

【详解】解：•••这个数的立方根是4

・•・这个数为43=64

;.64的平方根为±V64=±8

故选：D.

【变式2-2】实数a,6,c在数轴上的位置如图所示，代数式序-|a-勿+农工不可以化

简为（）

-bca0x

A.-3a+b+cB.-u—b+cC.—a+b—cD.a+b—c

【答案】A

【分析】本题考查的是数轴，立方根，算术平方根，先根据各点在数轴上的位置判断出

a，b,c的符号，再化简可得出结论.

【详解】解：・由图可知，6<c<a<0,

・•・a-b>0,

：.\a-b\=a—b,

=\a\=-。，V(c—a)3=c—a,

原式=一a—(a—b)+(c—a)

=—CL—CL+b+c—a

=—3a+b+c,

故选：A.

【变式2-3】下列各组数中互为相反数的是()

A.3|与3B.-3与\匚方

C.-3与一百D.一|—3|与西

【答案】D

【分析】本题主要考查了相反数的性质应用、算术平方根、立方根，根据相反数的性质

判断即可.准确分析是解题的关键.

【详解】解：A、|-3|=3,则|-3|与3不是互为相反数；

B、97=-3,则—3与忆7不是互为相反数；

C、—3与—，两数互为倒数；

D、—1_3|=—3,内=3,两数互为相反数；

故选：D.

【题型3立方根的实际应用】

【典例3］已知甲正方体纸盒的底面积为25cm2,乙正方体纸盒的体积比甲正方体纸盒的体

积大387cm3,丙正方体纸盒的体积是乙正方体纸盒体积的!.

(1)求乙正方体纸盒的体积.

(2)求丙正方体纸盒的棱长.

【答案】⑴512cm3

(2)4cm

【分析】本题主要考查了立方根和算术平方根的应用，熟练掌握算术平方根和立方根定

义，是解题的关键.

(1)先求出甲正方体的边长，然后求出甲正方体的体积，再求出乙正方体的体积即可；

(2)先求出丙正方体的体积，再求出其棱长即可.

【详解】(1)解：•••甲正方体纸盒的底面积为25cm2,

.••甲正方体纸盒的边长为后=5(cm)，

33

•••甲正方体纸盒的体积为：5=125(cm)，

•••乙正方体纸盒的体积比甲正方体纸盒的体积大387cm3,

3

二乙正方体纸盒的体积为387+125=512(cm).

(2)解：•••丙正方体纸盒的体积是乙正方体纸盒体积的J

丙正方体的体积为：512=64(cm3)>

.,•丙正方体纸盒的棱长为=4(cm).

【变式3-1J2024年的母亲节来临之际，小美和小嘉分别制作了一个如图所示的正方体礼盒,

准备用礼盒装好礼物送给妈妈.已知小美制作的正方体礼盒的表面积为150cm2,而小嘉制

作的正方体礼盒的体积比小美制作的正方体礼盒的体积小98cm3,则小嘉制作的正方体礼盒

的表面积为()

A.36cm2B.54cm2C.96cm2D.144cm2

【答案】B

【分析】本题主要考查了正方体的表面积和体积、算术平方根和立方根运算、乘方运算

等知识，正确求得两个正方体礼盒的棱长是解题关键.首先设小美制作的正方体礼盒的

棱长为acm,根据题意列方程并求解，可得小美制作的正方体礼盒的棱长，进而计算小

美制作的正方体礼盒的体积，根据题意可得小嘉制作的正方体礼盒的体积；设小嘉制作

的正方体礼盒的棱长为6cm,由正方体体积公式可解得小嘉制作的正方体礼盒的棱长，

然后计算小嘉制作的正方体礼盒的表面积即可.

【详解】解：设小美制作的正方体礼盒的棱长为acm,

根据题意，可得6a2=150,

'a=V1504-6=V25=5cm,

二小美制作的正方体礼盒的棱长为5cm,

小美制作的正方体礼盒的体积为53=125cm3,

••・小嘉制作的正方体礼盒的体积为125-98=27cm3,

设小嘉制作的正方体礼盒的棱长为bcm,

.•j3=27,

=V27=3,

••・小嘉制作的正方体礼盒的棱长为3cm,

••・小嘉制作的正方体礼盒的表面为6x32=54cm2.

故选：B.

【变式3-2］我们知道，球的体积公式是了=9R3,如图所示的乒乓球的体积为等5?,则

这个乒乓球的半径为（）

A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm

【答案】A

【分析】本题考查立方根的应用，根据球的体积公式，代入数据即可求出答案

【详解】解：

3V

三.四=2cm,

47r47r3

故选：A

【变式3-3］如图，二阶魔方为2X2X2的正方体结构，本身只有8个方块，没有其他结构

的方块，已知二阶魔方的体积约为64cm3（方块之间的缝隙忽略不计），那么每个方块的棱

长为cm.

【答案】2

【分析】本题考查立方根的实际应用，结合已知条件求得每个方块的体积是解题的关

键.根据题意求得每个方块的体积，再利用立方根的定义求得每个方块的边长即可.

【详解】解：由题意可得每个方块的体积为64+8=8(cm3)

则其边长为踞=2cm

故答案为：2.

【题型4算术平方根和立方根的综合应用】

【典例4］已知2x+1是49的算术平方根，x+4y-10的立方根是-3.

⑴求的值；

(2)求2x-y的立方根.

【答案】(1)久=3,y=-5

(2)V11

【分析】本题主要考查了根据算术平方根和立方根求原数，求一个数的立方根：

(1)对于两个实数。、6若满足a2=b,那么。就叫做6的平方根，若。为非负数，那

么a就叫做b的算术平方根，若满足c?=6,那么a就叫做b的立方根，可得2x+l=

V49=7,3+4y—10=(—3)3,解方程即可；

(2)根据(1)所求求出2x-y的值，再根据立方根的定义求解即可.

【详解】(1)解；:Zx+l是49的算术平方根，

；2x+1=V49=7,

=3,

•••X+4y-10的立方根是-3,

.­-3+4y-10=(-3)3,

=-5；

(2)解：由(1)得x=3,y=-5,

：.2x—y=2x3—(—5)=11,

・••2x-y的立方根是近工

【变式4-1】已知2a-1的算术平方根是3,3a+6-1的立方根是4,求：

(1)。、b的值；

(2)a+b—6的平方根.

【答案】(l)a=5,b=50

(2)a+b-6的平方根是±7

【分析】本题主要考查了算术平方根、平方根和立方根的定义，解题的关键是熟练掌握

相关的定义，准确计算.

(1)根据2a-l的算术平方根是3,3a+6—1的立方根是4,得出2a-l=9,

3a+b—1—64,求出结果即可；

(2)把a=5,6=50代入a+6-6求出a+b-6=49,然后求出a+b—6的平方根即可.

【详解】⑴解：•；2a—1的算术平方根是3,3a+6—1的立方根是4,

/.2a—1=9,3a+b—1=64,

解得：a=5,b=50；

(2)解：・・・a=5,b=50,

.,.a+b—6=49,

•••a+b-6的平方根是±WB=±7.

【变式4-2］已知3a+2的立方根是一1,2a+b-1的算术平方根是3.

⑴求a,b的值；

(2)求"—4a的平方根.

【答案】⑴｛仁,

(2)±2

【分析】不同考查了立方根的定义，算术平方根的定义，求一个数的平方根，解二元一

次方程组等知识.

(1)根据立方根、算术平方根的定义得到关于。、6的方程组，解方程组即可求解；

(2)先求出Vb—4a=4,即可求出Vb-4a的平方根为±2.

【详解】⑴解：由题意得｛:Kk1(二¥，

解得隹弦;

(2)解：Vfo-4a=V12-4x(-l)=V16=4,

••-4的平方根为±2,

・Rb-4a的平方根为士2.

【变式4-3］已知2a-1的算术平方根是3,3a+b-1的平方根是±4,c是叵的整数部分,

求：

⑴a、b、c的值；

(2)a+36—c的立方根.

【答案】(l)a=5,b=2,c=3

(2)2

【分析】本题考查了算术平方根、平方根、立方根、求算术平方根的整数部分等知识点,

能求出a、b、c的值是解题的关键.

(1)根据算术平方根和平方根的定义求出a、b的值，再估算出疥的大小，求出c的值

即可；

(2)将(1)中求出的a、6、c的值代入a+3b-c,求出结果后再求出立方根即可.

【详解】(1)解：「Za-l的算术平方根是3,3a+b—1的平方根是±4,

2a-1=32=9,3a+b-1=(±4)2=16,

解得：a=5,b=2,

9<15<16,

3<V15<4,

•••g三的整数部分是3,即c=3,

•*,ci—5,b=2,c=3；

(2)解：a=5,b=2,c=3,

•••a+3b—c=5+3x2—3=8,V8=2,

・•・a+3b-c的立方根是2.

【题型5立方根的小数点移动的规律】

【典例5】若必3,75x1.554,V37.5~3.347,则为750()

A.33.47B.15.54C.155.4D.334.7

【答案】B

【分析】本题考查了立方根的性质，解题的关键是掌握立方根的性质.根据历前=

V3.75x1000=10X必3.75,即可求解.

【详解】解：：V3.75-1,554,

■­■V3750=V3.75x1000=10XV3.75«15.54,

故选：B.

【变式5-1】已知近市x0.6188,VZ37〜1.3326,V237〜2.8724,则反而〜.

【答案】13.326

【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，立方根的规律问题，根据后7=L3326,

即可得到答案.

【详解】解：■.■VZ37«1.3326,

•••V2370=V2.37x1000«13,326,

故答案为：13.326.

【变式5-2】观察：V6l37«2.477,V6A37«1.8308,若安=0.18308,贝收=.

【答案】0.006137

【分析】本题考查了立方根，根据立方根的定义计算即可得出答案，熟练掌握立方根的

定义是解此题的关键.

【详解】解：■■•V6l37«1.8308,叛=0.18308,

:.X«0.006137,

故答案为:0.006137.

【变式5-3】已知0.5325,VL51=1.147,V151=2.472,则V—1510=.

【答案】-11.47

【分析】本题考查立方根的估算.熟练掌握忆獭=-10是解题关

键.—1510=—1000x1.51,据此即可求解.

【详解】解：•••-1510=-1000x1.51

•■•V-1510=V-1000x1.51=V-1000XV1.51«1.147X（-10）«-11.47

故答案为：一11.47.

备达标测试

1.（24-25八年级上•北京通州・期末）8的立方根是（）

A.2B.-2C.±2D.±4

【答案】A

【分析】本题主要考查立方根，熟练掌握立方根是解题的关键；根据23=8可进行求解.

【详解】解：由23=8可知：8的立方根是2；

故选A.

2.（24-25八年级上•河南郑州,期中）的相反数是（）

A.-3V3B.-3C.3V3D.3

【答案】D

【分析】本题考查了实数的性质，主要利用了相反数的定义.先根据立方根的定义求出

口7,再根据相反数定义解答.

【详解】解：V^27=-3,

所以，忆7相反数是3,

故选：D.

3.（24-25八年级上■广东佛山•阶段练习）下列说法正确的是（）

A.（-3）2的平方根是±3B.VI石的平方根是±4

C.-4的平方根是2D.9的立方根是3

【答案】A

【分析】本题考查了立方根、平方根，乘方运算，算术平方根，根据相关运算法则进行

逐项分析，即可作答.

【详解】解：A、（-3）2=9,9的平方根是±3,故该选项是符合题意的；

B、场=4,4的平方根是±2,故该选项是不符合题意的；

C、-4没有平方根，故该选项是不符合题意的；

D、9的立方根是强，故该选项是不符合题意的；

故选：A.

4.（24-25八年级上,山西晋中,期中）小华制作了一个棱长为a的正方体，小夏也准备制作一

个正方体，其体积是小华制作的正方体体积的8倍，则小夏制作的正方体的棱长为（）

A.8aB.4aC.2aD.近a

【答案】C

【分析】本题主要考查了立方根的定义的应用，正方体的体积等知识点，根据正方体的

体积公式计算出这个正方体的体积，再根据立方根的定义解答，熟练掌握立方根的定义

并能灵活运用是解决此题的关键.

【详解】•.•小华制作了一个棱长为a的正方体，小夏制作的正方体体积是小华制作的正方

体体积的8倍，

小夏制作的正方体体积是8a3,

•••小夏制作的正方体的棱长为历=2a,

故选：C.

5.（24-25七年级上•浙江绍兴•期中）已知|x|=2,y3-27,且久y>0,则x+y的值等于

（）

A.5B.1C.一5D.-1

【答案】A

【分析】本题考查了绝对值、立方根的定义，根据绝对值、立方根的定义求出x、y的值,

再求出x+y的值，注意把不符合题意的舍去.

【详解】解：久|=2,丁=27,

.•.比=±2,y=3,

>0,

：.x=2,y=3,

:.x+y=2+3=5,

故选：A.

6.（24-25七年级上•浙江杭州•期中）一次数学游戏活动时，有6个同学藏在大木牌后面，女

同学的木牌前写的是正数，男同学的木牌前写的是负数，6个木牌如下所示，则男生有

)

(~2)83______

(-2007)2007一(—4)2一7—80-1-201—5X(一5产

23-32

A.3人B.4人C.5人D.6人

【答案】C

【分析】本题考查了实数的运算，先根据有理数的乘方、相反数、立方根、绝对值、有

理数的乘法法则分别计算，再根据正数和负数的定义判断即可得出答案，熟练掌握有理

数的乘方、相反数、立方根、绝对值、有理数的乘法法则以及正负数的定义是解题的关

键.

【详解】解：（一2007）2007<0,

一（_4）2=_16<0,

•^4=三=-28<0,

23-328-9

-V-80=V80>0,

—|—20|——20<0,

—5X（—5）2=-5x25=—125<0,

二结果是负数的有5个，即男同学有5人，

故选：C.

7.（24-25九年级上•吉林长春•期末）小裴同学通过计算观察下列正数的立方根运算，发现

了一定规律；

m0.0040964.096409640960004096000000

Vm0.161.6161601600

运用你发现的规律，探究下列问题：已知痴=2.35,则V5而与"（）

A.0.235B.0.0235C.2.35D.0.00235

【答案】A

【分析】本题考查立方根的规律运算，先根据表格发现规律：一个数的小数点向右移动

3位，则它的立方根的小数点向右移动1位，据此求解即可.

【详解】解：VV13=2.35,

•••VO.013=0.235,

故选：A.

8.（24-25七年级上•浙江杭州•期中）如图，二阶魔方为2X2X2的正方体结构，本身只有8

个方块，没有其他结构的方块，已知二阶魔方的体积约为lOOOcn?（方块之间的缝隙忽

略不计），那么每个方块的边长为cm.

【答案】5

【分析】本题主要考查了立方根的概念，根据题意求得每个方块的体积，再利用立方根

的定义求得每个方块的边长即可,熟练掌握其性质并能灵活运用