2024-2025学年人教B版高二数学选择性必修第三册压轴题：导数（解析版）

专题03导数

目录

解题知识必备.......................................................2

压轴题型讲练.......................................................2

类型一、平均速度、瞬时速度..................................................2

类型二、导数的概念...........................................................5

类型三、求导公式和求导法则..................................................8

类型四、导数的几何意义......................................................11

压轴能力测评(10题)..............................................16

”解题知识必备”

1、概念

函数/(x)在X=X。处瞬时变化率是lim^=肥尸+♦)-/(X。),我们称它为函数〉=/卜)在X=%

处的导数，记作/(/)或.

知识点诠释：

①增量Ax可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0.Ax-0的意义：Ax与0之间距离要多近有

多近，即|Ax-0|可以小于给定的任意小的正数；

②当Axf0时，勺在变化中都趋于0,但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与

包=/(.%+Ar)-/(Xo)无限接近；

AxAx

③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率.如瞬时速度即是位移在这一时

刻的瞬间变化率，即/(X。)=lim包=lim"%+>)-小。).

Ax。Ax

2、几何意义

函数y=/(x)在x=x0处的导数/(%)的几何意义即为函数y="x)在点P(x。，％)处的切线的斜率.

3、物理意义

函数s=s(f)在点％处的导数J4)是物体在为时刻的瞬时速度V,即v=s乜)；v=v(f)在点)的导数

v'((0)是物体在％时刻的瞬时加速度4,即a=v'(t0).

4、求导的基本公式

基本初等函数导函数

/(x)=c(c为常数)r(x)=o

rx

f(x)=xa(aEQ)f(x)=ax~

f(x)=ax(Q>O,Qwl)f'(x)=axina

f(x)=log。x(〃〉0,aw1)r(x)=一一

xlna

/(x)=e*

f(x)=\nx

f,M=-

X

/(x)=sinxf\x)=cosx

/(x)=cosxf\x)=-sinx

5、导数的四则运算法则

(1)函数和差求导法则：［/(X)±g(x)］'=/'(x)土g'(x)；

(2)函数积的求导法则：［/(x)g(x)］=/，(x)g(x)+/(x)g，(x)；

(3)函数商的求导法则：g(x»O,则［织］=，(x)g(x)：〈(x)g'(x)

g(x)g(x)

6、复合函数求导数

复合函数了=/［g(x)］的导数和函数y=/("),u=g(x)的导数间关系为匕'

1、在点的切线方程

切线方程y-f{x0)=/'(x0)(x-%)的计算：函数了=/(x)在点Ng,/(x。))处的切线方程为

y=f(x)

抓住关键＜00

y-fM=f'(x0)(x-x0)

k=f'(xa)

7、过点的切线方程

设切点为尸(%,%),则斜率后=/(工0)，过切点的切线方程为：y-y0=f'(x0)(x-x0),

又因为切线方程过点/(〃?，”)，所以〃-%=-%)然后解出的值.(%有几个值，就有几条

切线)

♦♦压轴题型讲练”

类型一、平均速度、瞬时速度

【变式训练1】一质点尸的运动方程为s«)=sin/(位移单位：m,时间单位：S),则该质点在，=兀时的瞬

时速度是()

A.-2m/sB.-Im/sC.Im/sD.2m/s

【答案】B

【详解】质点尸的运动方程为S«）=sinf,所以S"）=cosl,

所以该质点在t=兀时的瞬时速度是cos7t=-lm/s.

故选：B.

【变式训练2】向高为，的容器中注水，且任意相等的时间间隔内所注入的水体积相等，若容器内水面的高

度了与注水时间x的函数关系的图象如图所示，则该容器的形状可能是（）

h\........7

【详解】根据函数图象可知，随着注水时间x的增大，在相等时间间隔内容器内水面的高度了的增加量越来

越大，即了的变化率逐渐增大，

故该容器从下到上宽度应逐渐减小，选项C中容器符合要求.

故选：C.

【变式训练3】物体运动方程为s（0=3产（位移单位：m,时间单位：s）,若丫=1向.3+加）T（3）=i8m/s,

AtfOA?

则下列说法中正确的是（）

A.18m/s是物体从开始到3s这段时间内的平均速度

B.18m/s是物体从3s到（3+Af）s这段时间内的速度

C.18m/s是物体在3s这一时刻的瞬时速度

D.18m/s是物体从3s到（3+zV）s这段时间内的平均速度

【答案】C

【详解】v=lim5（3+^~5（3）是物体在3s这一时刻的瞬时速度，是物体从3s到（3+A/）s这段时间内的平均

速度的极限值，即是是物体在3s这一时刻的瞬时速度.

故选：c

【变式训练4】（多选）在一次跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度,（单位：m）

与起跳后的时间/（单位：s）存在函数关系人。）=-4.9/+2&+11,则下列说法正确的是（）

A.在0Wt<0.2这段时间里，运动员的平均速度"=1.82m/s

B.在运动过程中运动员的瞬时速度丫（/）=-9.8/+2.8

C.在起跳到落水的过程中运动员的速度不可能为0

D.第0.2s时刻瞬时速度为0.84m/s

【答案】ABD

【详解】选项A：T⑼J1.364_ll=］m/s,所以选项A正确；

0.2-00.2

选项B：对函数求导得：/。）=-9.8+2.8,所以选项B正确；

选项C：令〃（。=-9&+2.8=0,解得：f='S,即在起跳到落水的过程中运动员的速度可以为0,所以选

项C错误；

选项D：把f=0.2代入〃'（7）=-9.8f+2.8,得“（0.2）=-9.8x0.2+2.8=0.84m/s,所以选项D正确.

故答案为：ABD.

【变式训练5】（多选）一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离〃（单位：m）与时间/（单位：S）

之间的函数关系为“"）=2〃+2/,则下列说法正确的是（）

A.前3s内球滚下的垂直距离的增量M=20mB.在时间［2,3］内球滚下的垂直距离的增量△〃=12m

C.前3s内球在垂直方向上的平均速度为8m/sD.在时间［2,3］内球在垂直方向上的平均速度为

10m/s

【答案】BC

【详解】前3s内，"=3s,AA=A（3）-A（0）=24m,故A错误；

此时球在垂直方向上的平均速度为M===8m/s,故C正确；

△t3

在时间［2,3］内，AZ=Is,△/z=/z（3）-7z（2）=12m,故B正确，

此时间内球在垂直方向上的平均速度为妆=?=12m/s,故D错误.

△t1

故选：BC.

【变式训练6】（多选）某高校无人机兴趣小组通过数学建模的方式测得了自主研发的无人机在关闭发动机

的情况下自由垂直下降的距离〃（单位：m）与时间t（单位：s）之间满足函数关系刈。=2»+2乙贝U

（）

A.在2W/W3这段时间内的平均速度为：LOm/s

B.在2这段时间内的平均速度为12m/s

C.在f=4s时的瞬时速度为18m/s

D.在f=4s时的瞬时速度为16m/s

【答案】BC

［详解］在2W3这段时间内的平均速度为“3)_"2)=2x32+2x3_2x22_2x2=］2m/s,故A错误，B

3-23-2

正确；

因为“⑺=47+2,所以〃(4)=4x4+2=18,即在f=4s时瞬时速度为18m/s,故C正确，D错误.

故选:BC.

类型二、导数的概念

【变式训练。设是可导函数，若)-/(3)=3,则/，⑶()

以->°Ax

11

A.—1B.—C.-D.1

33

【答案】A

［详解］由lim03-3-)-〃3)=§可得Hm⑶=_】，

以->oAx―一°—3Ax

所以/\3)=lim"3-3Ar)-〃3)=一，

故选：A

【变式训练2】函数V=/(x)在区间(。/)内可导，且(a,6)若1面外士外必包二4=4,则/(%)=

2。h

()

，

A.1伉)=1B./(x0)=2

C.r(xo)=4D.7,(X。)不确定

【答案】B

【详解】根据导数定义可得：

,()=lim/(xo+/z)-/(xo-A)=llim/(xo+A)-/(xo-/z)=2.

1072。2h22oh

故选：B

【变式训练3】已知函数=e2i则R5"1一板)［(1+')的值为()

Qe

A.—4eB.—2eC.—D.一

22

【答案】A

【详解】/''(x)=2e2a,

Hm匈=_2lim_3一〃1+「=-2r(l)=-2x2e-=-4e.

Ax-2Ax

故选：A.

类型三、求导公式和求导法则

【变式训练1】下列求导运算结果不正确的是()

A.(cosx)r=sinxB.(Inx)'=—

x

【答案】A

【详解】(cosx)，=-sinx,故A错误；

(Inx)1=—,故B正确；

X

(e]'=e"，故C正确；

(J=(一)=-1乂工一1=--y,故D正确.

故选：A.

【变式训练2】下列求导运算正确的是(

A.(sina)'=cos。(a为常数)B.(sin2x)r=2cos2x

XZX

C.(3)=3log3e

【答案】B

【详解】A：因为。为常数，所以(sina)'=0,故A错误;

B：(sin2%)'=cos2x•(2%)'=2cos2x,故B正确;

C：(3x/=3xln3,故C错误；

D：(Vx+iy=[(x+1)2]z=—(x+1)2.(x+l)z=—j==,故D错误.

故选：B

【变式训练3】已知的数＞=/(x)的高阶导数为y=/(")(x),即对函数/(x)连续求"阶导数.例如/(x)=sinx,

则/"'(x)=cosxJ"(x)=-sinx=-cosxj")(x)=sinx,/⑸(x)=cos%,...,若/'(x)=,则

/阿(无)的展开式中加(x)的系数是()

A.210B.255C.280D.360

【答案】A

【详解】由/(x)=g(x)〃(x)得:/⑴(x)=g0)(x)力(x)+g(x)力⑴(X),

再继续求二阶导整理得：/⑵(X)=g⑵(X)4X)+2g(1)(x)泄(x)+g(x)加(%),

求三阶导整理得：/（3）（x）=g（3）（x“（x）+3g（2）（x）/i）（x）+3g（i）⑴〃⑵（x）+g（x）〃⑶⑴,

此时可以把求函数的10阶导理解为十次方的二项式展开式，

则有g⑶（x）/7⑹（x）的系数是C：。=Rx；x7=210,

故选：A.

【变式训练4】已知可导函数〃x）的定义域为R,/'（X）是/（x）的导函数，且"2尤-1）为偶函数/（2x+l）

为奇函数，/（0）=1,贝|广（2024）+广（2025）+/（2026）=（）

A.-2B.-1C.0D.1

【答案】C

【详解】因为函数，'（2x+l）为奇函数,则r（-2x+l）="3+l）,

IP/,（-2x+l）+/,（2x+l）=0,令（=2无，贝++=

所以，函数r（x）的对称中心为（i,o）,且/—do,①

在等式①中，令=1可得2r⑴=o,解得/'⑴=。，

在等式①中，令f=0可得/'（。）+/'（2）=0,

因为函数〃2X-1）为偶函数，则〃-2x-l）=〃2x-l）,

令f=2x,可得=求导得—）=/'（"1）,

则/⑺+/'（-2-/）=0,②

由①②可得/'（2—）=/'（-2一），令s=-2T,贝U/'（4+s）=/'（s）,

所以，函数/'（x）是周期为4的周期函数，

所以,r（2024）+r（2025）+r（2026）=r（0）+r（l）+r（2）=0.

故选：C.

【变式训练5】（多选）下列求导正确的是（）

c.4X-sin-=4vln4D.(Ig2y=――

I4)xxlnlO

【答案】BCD

【详解】A选项，(x^'+e?)=［工7+(e)+0=-^-Vx，A错误;

(cosx)x-cosx_-xsinx-cosx_xsiwc+cosx

B选项,B正确;

C选项,=4vln4-0=4'ln4)C正确;

D选项,(lg2x)'=--------2=-----D正确.

2x-In10xlnlO

故选：BCD

【变式训练6】（多选）下列求导运算正确的是（）

B.(x2e%y=2x+e%

2x-1D-1T=T

【答案】AD

【详解】1_L]=--L.(lnxy=-一匚，故A正确;

vlnxjInxxlnx

(Je[=^x2+2x^ex，故B错误;

cos=-2sinf2x-y，故C错误;

l2x-3-

x--j=1+4，故D正确.

【变式训练61［多选］下列求导数运算正确的是（）

20252024

A.（2025、）'=X2025*TB.（x+log2x）1=2O25x+

C.(8H]'=sin2x二cos%口.(x2r\=2xr+x2rin3

Vsinx)sin2x

【答案】BD

【详解】[(2025、)=20251n2025,A错误；

20252025

(x+log2x),=(x),+(log2x),=2025/24+_1_,B正确；

jcosx]_-sinx-sinx-cosx-cosx_1J

VsinxJsin2xsin2x

(X23X)'=(/)1.3r+x2x(3")'=2x3*+x23xln3,D正确.

故选：BD

类型四、导数的几何意义

【变式训练1】已知直线/的斜率为L若/与圆（A0）2+/=I和曲线y=e…均相切，贝|］“=（）

A.1B.1+2V2C.1或1-2亚D.1或1+2行

【答案】D

【详解】由直线/的斜率为1,可设直线/的方程为y=x+m,

由直线/与圆。-血）2+/=1相切，所以二」=1，解得俏=0或机=-2a，

Vi+i

x

又/与曲线歹=e1相切，设切点为（%,%）,求导得V=ei,yU0=e0-\

当加=0,直线/的方程为歹=工，

%=%

所以』二e『，解得〃=1,

3。一』

当加=—2后，直线/的方程为歹=工一2行，

y0=x「2亚

所以』=eL，解得a=l+2后，

ex0-a=l

综上所述：0=1+2也或4=1.

故选：D.

【变式训练2】曲线＞=巴（。＞0）与N=lnx和y=e，分别交于42两点，设曲线夕=在A处的切线斜率为

X

%/=e，在2处的切线斜率为&,若%+质=：,则。=（）

A.21n2B.21n3C.31n2D.31n3

【答案】A

【详解】因为＞=1砧和＞=^互为反函数，其图象关于直线〉=x对称，

且反比例函数〉=q（。＞0）的图象也关于直线〉=x对称，

X

可知点48关于直线》=无对称，设/（Xo，lnXo）,Xo＞1,则8（lnXo，Xo）,

设/（x）=lnx,g（x）=e*,则（（x）=：,g〈x）=e*,

由题意可得：K+k2=—+^=—+x0=1,解得x0=2或％=］（舍去），

Xox022

可得/（2,ln2）,则£=ln2,所以a=21n2.

故选：A.

【变式训练3】已知过点/（。⑼作曲线＞=（2-冷尸的切线有且仅有1条，则。的值为（）

A.—2或2B.—1或3C.3D.-2

【答案】A

【详解】设切点为(%,(2-%产力，由已知得了=(l-x)ei,则切线斜率左=(1-/声5，

所以切线方程为V-(2-%)e%T=(l-x0)e。(x-x。)，

因为直线过点/0),则一(2-无。)e'S=(1-％)e"-/,

化简得X；-(。+2)毛+。+2=0,

又因为切线有且仅有1条，即A=(a+2)2_4(a+2)=0,解得。=-2或2,

故选：A

【变式训练4】曲线”阿龙+1)|在/(西,必)，以孙力)两点处的切线互相垂直，则'的值为()

A.-1B.0C.1D.e

【答案】A

【详解】由"网x+l)|=-1＜。力=1,/

Lx+i

不妨设再＜马,两切线的斜率分别为匕，左2，

当°冷气时,则有占=击，—七,此时岫%+1)；+1)-显然快i

因此4^/2不成立，不符合题意；

当-1"＜%＜0时，则有匕=一64=一下，此时快飞+帆+1)＞°，显然桃2~1，

因此4,4不成立，不符合题意；

,1,1

当-1＜网＜04%,则有左=-----；，h=-

玉+1x2+1

111

此时桃?=一1nxrx2+xi+x2=0,变形得不十1=.

故选：A

【变式训练5】若直线/与函数〃x)=ei(x＞l)和g(x)=lnx的图象分别相切于点48,则|叫=(

A.2B.25/2C.V2D.273

【答案】C

【详解】设/(西©~)(占＞1),S(x2,lnx2),

因为/'(x)=e・2,g'(x)=：,

所以函数/(x)=ei的图象在点A处的切线方程为＞-ex1-2=d二(x一玉)，即y=+(1-再)e*T,

函数g(x)=hr的图象在点3处的切线方程为丁-皿2，即y='x+lnx2-l,

因为直线/是两函数图象的公切线，所以无2，

(1-xJeX1-2=lux2-1②

由①可得2—%=liu2,代入②得(1—/)炉一2=1-%1,

因为%＞1,所以[所以/(2,1),5(1,0),

氏二1

所以可=^(2-1)2+(1-0)2=V2.

故选：C.

【变式训练6】已知曲线/(x)=2/+3x+4,g(x)=-e*+"，Mx)=f+»2,则()

A.直线＞=7x+2与曲线/(X)相切

B.若直线了=-》-4与曲线g(x)相切，贝lj"=-3

C.当曲线〃(x)与曲线/(x),g(x)都相切时，m+n=-1

D.当”=0时，若过原点可作曲线y=g(x/(x)的两条切线，则加＜0或机＞4

【答案】ACD

【详角军】选项A：联立/(x)=2,+3x+4和了=7x+2,得——2x+l=0,A=0,

所以直线夕=7x+2与曲线/(x)相切，故A正确；

x+n

(_e=_-[fx=-3

选项B：由g(x)=5+",得g'(x)=-e，*由_得，故B错误;

I-ex+/j—x—4J

选项C：由/(x)=2尤2+3X+4,得/'(x)=4x+3,令/'(尤)=-1,得x=-l,

则/(-1)=2-3+4=3,所以切线方程为y-3=-(x+l),即y=-x+2,则加=2,

令g'(x)=-e""=-1,得x=-〃，贝i]g(_”)=_e。=一1,

所以切线方程为y+l=_(x+〃)，即y=贝！|=2,”=一3,

所以加+〃=-1,故C正确；

选项D：当"=0时，g(x)=-ex,令J(x)=g(x)/z(x)=-e*(f+7M),

则，(x)=-e'(-x+加-1),设过原点的直线与曲线[可切于点(%,-砂(-/+加))，

A

则切线方程为y+e"(-x0+m)=-e°(-x0+m-l)(x-x0),

xx

将原点(0,0)代入得e°(-x0+m)=xoe°(-x0+m-l),整理得-mxo+m=O,

则A'=加2一4机＞o,解得加＜o或加＞4,故D正确.

故选：ACD.

♦♦压轴能力测评”

L（多选）下列命题正确的有（）

A.（尸）'=-尸

B.已知函数“X）在R上可导，若/'⑴=2,则lim+⑴=2

-Ax

C.已知函数〃x）=ln（2x+l）,若八%）=1,则x°=g

D・[(%2+2)sinx]=2xsinx+(x2+2)cosx

【答案】ACD

【详解】对于A,(e-x)'=e-x-(-%),=-e-\A正确;

〃l+2Ax)—/⑴/(l+2Ax)-/(l)

对于B,lim=2lim=2/(1)=4,B错误;

Ax2Ax-»02Ax

io21

对于C,nx)--(2x+l)^—,由罚=1,得c正确;

对于D,[(/+2)sinx]'=2xsinx+(/+2)cosx，D正确

故选：ACD

2.（多选）下列命题正确的有（）

A.（20251）=x20251-1

B.已知的数/（x）=ln（2x+l）,若/'（x0）=l,则x0=；

c.cosxxsinx+cosx

X

9

D.设函数/(x)的导函数为/'(x),^f(x)=x2+3xff(2)+lnx则/'(2)

f4

【答案】BD

【详解】(2025、)'=2025、In2025,故A错误.

对于B,因为/'(幻=/(2x+iy=1若/'(X°)=l贝即天=不故B正确.

2x4-12x+12x0+12

故俨误

对于C,因为沙(cosx)'x—cosx(x)'_-xsinx-cosxc

\Xx2x2

119

对于D,因为_f(x)=2x+3f'(2)+—,故于(2)=4+3八2)+彳,故八2)=-二，正确.

x24

故选：BD

3.(多选)下列命题正确的有()

A.已知函数/'(x)在R上可导，若/'(1)=2,则1由以1+2­)一)⑴=2

Ax

B.已知函数〃x)=ln(2x+l),若/'(无。)=1,则毛=；

C(cosx]_xsinx+cosx

VxJx2

D.设函数〃X)的导函数为/(x),且4%)=/+3矿(2)+lnx,则以2)=一、

【答案】BD

【详解】对于A因为函数〃x)在R上可导，且，'⑴=2,

所以lim"1+2、)一/⑴=2lim川+2Axi⑴=2r⑴=4,故A错误.

以一°Ax心一02Ax

1r\2]

对于B因为/'(X)=^--(2x+iy=---)若/伉)=1则丁丁=1,即/=彳，故B正确.

2x+12x+1+12

对于C因为]cosxV_(cosx)'x-cosx(x)'_-xsinx-cosx故c错误

VxJx2x2

iig

对于D因为/'(x)=2x+3『(2)+3故1(2)=4+3/(2)+5,故/(2)=-j,D正确.

故选:BD

4.(多选)已知定义在R上的偶函数〃x)满足〃0)=2J(3-x)+〃x)=l,设/(x)在R上的导函数为g(x),

2025

c.g(x+6)=g(x)D.£/(")=1011

n=l

【答案】ACD

【详解】由题得/(f)=/(力,所以-r(-x)=r(x)即-g(-x)=g(x),

所以g(x)是奇函数，故g(0)=0,

又由〃3-x)+〃x)=l得函数〃x)关于点吸,£|对称，〃-x)+〃x+3)=l,

所以〃x)+〃x+3)=l,故〃x+3)=/(3-x)=〃x-3),

所以/(x+6)=/(x),即函数〃x)是周期为6的函数，

所以g(x)也是周期为6的函数，即g(x+6)=g(x),

由/(3-x)+/(x)=l求导得一广(3-尤)+/«)=0即g(x)=g(3-x),

所以g(3)=g(0)=0,

对于A,g(2025)=g(6x337+3)=g(3)=0,故A正确；

对于B,由函数〃x)关于点吸,J寸称得g1|]=0,故B错误；

对于C,由上g(x)也是周期为6的函数，即g(x+6)=g(x),C正确；

对于D,由于-x)+/(x+3)=l得/(1)+/⑵=1,

且/(0)+/(3)=1即/(3)=-1,H./(-l)+/(4)=1即/(4)=1-/(1),

且/(一2)+〃5)=1即/⑸=1一/(2),/(6)=/(0)=2

所以/(5)+/(4)=1-/(2)+1-/⑴=2-1=1,

所以/⑴+〃2)+/(3)+/(4)+〃5)+/(6)=1-1+1+2=3,

2025337x6+3

所以£〃")=E/(«)=337x3+/(l)+/(2)+/(3)=1011,故D正确.

n=\n=\

故选：ACD

5.已知函数/(x)=sinx[l-2cos2、，则曲线/(x)在x处的切线斜率为.

【答案】|

【详解】由f(x)=sinx|1-2cos2—|=sinx(1-2x+C0Sx|=-sinx-cosx,

可知/'(x)=-cos2x+sin2x,

31

所以,H—=—

42

故答案为：y

3

6.若直线ynmx为曲线V=ln(x+l)+ox的切线，则。=

【答案】I

【详解】因为＞=ln(x+I)+ax‘所以＞'=++''

(1)

设切点为(Xo，ln(xo+l)+axo),则切线方程为y-[ln(xo+l)+«x0]-------+Q(xf),

)

1

化简可得了=--------FUx+ln(x+l)-—

毛+10

3xn+12

又因为歹=不、是曲线