2024-2025学年人教版八年级数学下册重难点专练：利用勾股定理解决最短路径问题（解析版）

重难点07利用勾股定理解决最短路径问题

m题型解读

国典题精练

【题型1用计算法求平面中的最短问题】

【例题1】（2024春》皇中区校级月考）如图，某工厂C前面有一条笔直的公路，原来有

两条路/C,8c可以从工厂C到达公路，经测量/C=600%,8c=800加，/8=1000掰，现

需要修建一条路，使工厂C到公路的路程最短，请你帮工厂C设计一种方案，并求出新建

的路的长.

公路B

【分析】过/作CD，/反修建公路CD,则工厂C到公路的距离最短，首先证明△NBC

是直角三角形，然后根据三角形的面积公式求得CD的长，

【解答】解：过/作垂足为。，如图：

:.AC2+BC2=AB2,

：.ZACB=90°,

11

■:S“CB=]4B・CD=-AC-BC,

11

-x600X800=-x1000X08,

解得：AD=480,

答：新建的路的长为480%.

【点评】本题考查了勾股定理逆定理以及三角形的面积公式，关键是证明△NBC是直角

三角形.

【变式1-1】（2024春•荣县校级月考）如图，Rt4/BC中，/B=90：48=3,3c=4,

点尸是NC边上一动点，则线段2尸长度的最小值为（）

A.3B.2.5C.2.4D.2

【分析】根据勾股定理得出NC=5,当依，/C时，依的值最小，利用面积法求解即可.

【解答】解：在RtZkNBC中，Z5=90°,4S=3,BC=4,

'.AC-7AB2+BC2=5,

:当P3_LNC时，8P的值最小，

11

此时：△NBC的面积为：-AB-BC=~ACBP,

：.5PB=3X4,

：.PB=2A,

故选：C.

【点评】本题主要考查了垂线段最短和三角形的面积公式，学会利用面积法求高是解题

的关键.

【变式1-2】如图，学校2前面有一条笔直的公路，学生放学后走/团2c两条路可到达

公路.经测量，2c=600加，A4=800m,AC^lOOQm.现需修建一条从学校2到公路距

离最短的小路，则这条小路的长（即图中8。的长）为m.

【分析】方法一：利用勾股定理逆定理易知△NBC为直角三角形，设NO=xc〃z,则CD=

（1000-x）cm,在RtZUBD和RtASCZ）中，利用双勾股定理求解.

方法二：利用勾股定理逆定理易知△/BC为直角三角形，再直接利用三角形的面积公式

即可求解.

【解答】解：方法一：：BC=600加，BA=800m,^C=1000m.且/g2+8c2=/c2,

...△A8C为直角三角形，

'：BD±AC,

MABD和△3。均为直角三角形，

设加，则CD=(1000-x)cm,

在RtA4BD,AD2+BD2^AB2,X2+5P2=8002(1),

在RtABCD中，CD2+BD2^BC2,即(1000-x)2+BD2^6002(2),

①-②得，x2-(1000-x)2=8002-6002,

解得：x=640,

22

.'.AD=640mfBD=V800—640=480(m).

222

方法二：'：BC=600mf艮4=800m,AC=1000m.5.AB+BC=AC,

•••△/BC为直角三角形，

11c

:.S“BC二万"8,BC=-X80X60=2400(m2),

,:BDJLAC,

11

*'•^AABC=yC•8。=]X100xBD=24000,

.\BD=4S0m.

故答案为：480.

【点评】本题主要考查勾股定理的逆定理、勾股定理、三角形面积公式，解题关键是利

用勾股定理的逆定理证明△ZBC是直角三角形.

【变式1-3】(2024秋•丹徒区期末)如图，△/2C中，4B=AC=5,BC=6,点D是4B

边上的一个动点，则线段CD的最小值为

【分析】先利用等腰三角形三线合一的性质求出8〃=3,再利用勾股定理求出N〃=4,

然后利用三角形的面积公式计算即可.

【解答】解：如图，过点4作8c于点〃，

AB—AC—5,BC—6,

1

：.BH=CH=-BC=3,

：.AH=7AB2—BH2=5/52^32=4,

由垂线段最短可知，当CZ)_L45时，线段CD的值最小，

11

：.-AB-CD=-BC-AHf

A5CD=6X4,

24

：.CD=~,

24

故答案为：y.

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，垂线段最短，掌握等腰三角形的性

质，勾股定理是解题的关键.

【变式1-4】(2024秋•大名县期末)如图，在△48。中，AC=2LBC=13,D是4c边

上一点，BD=V2,AD=16.

(1)求证：BDLAC；

(2)若月是边45上的动点，求线段。£的最小值.

【分析】（1）利用勾股定理的逆定理解决问题即可.

（2）根据垂线段最短解决问题即可.

【解答】解：（1）-：AC=219AD=16,

：.CD=AC-AD=5,

U：BD2+CD2=122+52=169=802,

；・NBDC=90°,

：.BD±AC.

（2）当Z）E_L45时，DE最短,

'•AB=V>1D2+BD2-V162+122=20,

11

•/•AD・DB=3・AB・DE,

16x12

•'•DE=—-—=96

线段DE使的最小值为9.6.

【点评】本题考查勾股定理以及逆定理，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基

本知识，属于中考常考题型.

【变式1-5】如图所示，/、3两块试验田相距200米，C为水源地，/C=160加，BC=

120m,为了方便灌溉，现有两种方案修筑水渠.

甲方案：从水源地C直接修筑两条水渠分别到/、2

乙方案；过点C作N5的垂线，垂足为X,先从水源地C修筑一条水渠到所在直线上

的”处，再从〃分别向/、8进行修筑.

(1)请判断△N3C的形状(要求写出推理过程)；

(2)两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短？请通过计算说明.

【分析】(1)由勾股定理的逆定理即可得出△4BC是直角三角形；

(2)由△N8C的面积求出C",得出4C+BCVCH+4H+BH,即可得出结果.

【解答】解：(1)△4BC是直角三角形；理由如下：

AC2+BC2=1602+1202=40000,^52=2002=40000,

：.AC1+BC1=AB1,

△/BC是直角三角形，NACB=9Q°；

(2)甲方案所修的水渠较短；理由如下：

；4ABC是直角三角形，

11

/.△NBC的面积--AB-CH=-AC-BC,

ACBC160x120

•••8=下一=200=96(旭)，

'：CHLAB,

：.ZAHC=90°,

•9-AH=yJAC2-CH2=V1602-962=128(m),

：.BH=AB-AH=72m,

•：AC+BC=160加+120m=280m,CH+AH+BH=96m+200冽=296m,

：.AC+BC<CH+AH+BH,

，甲方案所修的水渠较短.

【点评】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理、三角形面积的计算；熟练掌握

勾股定理，由勾股定理的逆定理证出△/8C是直角三角形是解决问题的关键.

【变式1-6】(2024春•南昌县期末)入冬前，我区对部分旧城区暖气管道进行修缮，在修

缮过程中发现某地原有管道弯曲太多，容易带来安全隐患，决定进行改造.管道N-2

改造方案如图所示(实线为改造前，虚线为改造后，所有实线均平行或垂直).

(1)求改造前原有管道的长度是多少？

(2)求改造后N、8之间的管道长度减少了多少？

100m

A------------------------------->

(20m

120m八

30m

【分析】(1)直接把图中管道的长度相加即可；

(2)过点B作5CLNM于点C,根据利用勾股定理求出AB的长即可.

【解答】解：(1)由图可知，

改造前原有管道的长度=170+30+120+70+100+20=510(m).

答：改造前原有管道的长度是510加；

(2)过点8作河于点C,

由图可知，AC=170-(120-100)=170-20=150(m)；

8c=30+(70-20)=30+50=80(m),

'­AB=V/1C2+BC2=V1502+802=170(w).

510-170=340(m).

答：改造后/、3之间的管道长度减少340m.

D100m

AAf

20m

B

H

G

120m

30m

A

170mCM

【点评】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解

题的关键.

【变式1-7】小明听说“武黄城际列车”已经开通，便设计了如下问题：如图，以往从黄

石/坐客车到武昌客运站比现在可以在Z坐城际列车到武汉青山站C,再从青山站C

坐市内公共汽车到武昌客运站2.设/2=80加，BC=2Qkm,N4BC=12（T.请你帮

助小明解决以下问题：

（1）求/、C之间的距离；（参考数据：721=4.6）

（2）若客车的平均速度是60痴/〃，市内的公共汽车的平均速度为40回建，城际列车的平

均速度为180和;，，为了最短时间到达武昌客运站，小明应该选择哪种乘车方案？请说明

理由.（不计候车时间）

【分析】（1）过点C作45的垂线，交的延长线于E点，利用勾股定理求得/C的长即

可；

（2）分别求得乘车时间，然后比较即可得到答案.

【解答】解：（1）过点C作的垂线，交的延长线于E点，

VZABC=120°,8c=20,

.'.BE—10,CE=10V3

在△/CE中，

V^C2=8100+300,

：.AC=20V21=20x4.6=92km；

801

（2）乘客车需时间力1=忘OU=1孑D（小时）；

92201

乘列车需时间七2=诉+右=1而（小时）;

loU4Uzf\J

•••选择城际列车.

【点评】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是正确的构造直角三角形.

【题型2用平移法求平面中的最短问题】

【例I题2】如图，相邻的两边互相垂直，则从点8到点/的最短距离为（）

A

11

~~b

~~I2

A.13B.12C.8D.5

【分析】如图，连接48,构造直角△/•・利用勾股定理解决问题即可.

【解答】解：如图，连接构造直角

A

：j4'^a、、＞、、、

H..........4'B

由题意AH=1+2+2=5,571=4+4+4=12,

；・4B=7AH2+BH2=V52+122=13.

故选：A,

【点评】本题考查勾股定理，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三

角形解决问题.

【变式2-1】（2024春•凉城县期末）如图为某楼梯的侧面，测得楼梯的斜长N8为5米,

高8c为3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要米.

【分析】在Rta/BC中，根据勾股定理即可求出/C的长，再根据地毯的长度=/C的长

度+8C的长度，代入数据即可得出结论.

【解答】解：在RtzX/BC中，48=5米，2c=3米，/ACB=90°,

：.AC=^AB2-BC2=4（米），

：.AC+BC=3+4=1（米）.

故答案为：7.

【点评】本题考查了勾股定理的应用以及生活中的平移现象，结合实际生活掌握“地毯

的长度=/C的长度+8C的长度”是解题的关键.

【变式2-2】（2024春•梁山县期中）如图，已知/B=/C=/D=NE=90°,且48=

CD=3,BC=4,DE=EF=2,则N,尸两点间的距离是（）

【分析】过点尸作/GL/8交的延长线于点G,根据题意求出NG、尸G,根据勾股定

理计算，得到答案.

【解答】解：过点尸作尸GL/3交48的延长线于点G,

则/G=/B+CD+EF=8,FG=BC+DE=6,

由勾股定理得，AF=^AG2+FG2=^，

故选：D.

E

4

D/

tt

ff

G

【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a,b,斜边长为

c,那么a2+b2—c2.

【变式2-3】如图，某校科技创新兴趣小组用他们设计的机器人，在平坦的操场上进行走

展示.输入指令后，机器人从出发点/先向东走10米，又向南走40米，再向西走20

米，又向南走40米，再向东走70米到达终止点2.求终止点8与原出发点/的距离

AB.

出发点10

4二

、

20心、、、

S

40''、、

-----------二B

70终止点

【分析】直接构造直角三角形进而利用勾股定理得出答案.

【解答】解：如图所示：过点/作/CUC8于C,

则在RtZUBC中,ZC=40+40=80（米），

BC=10-20+10=60（米），

故终止点与原出发点的距离/5=、602+802=100（米），

答：终止点3与原出发点N的距离为100加.

出发点10

-

（、

206'、、

■,、、

、、

40：、、、

■、

---------------

C70终止点

【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，正确构造直角三角形是解题关键.

【变式2-4】（2024秋•丰城市校级期末）某会展中心在会展期间准备将高5m、长13m、

宽2m的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米20元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道

至少需要元.

D2m

【分析】地毯的长是楼梯的竖直部分与水平部分的和，即AB与BC的和，在直角^ABC

中，根据勾股定理即可求得AB的长，地毯的长与宽的积就是面积，再乘地毯每平方米的

单价即可求解.

【解答】解：由勾股定理得AB=，AC2—Bl=V132—52=12（m）,

则地毯总长为12+5=17（m）,

则地毯的总面积为17x2=34（平方米），

所以铺完这个楼道至少需要34x20=680（元）.

故答案为:680.

【点评】本题考查了勾股定理的应用，正确理解地毯的长度的计算是解题的关键.

【题型3用对称法求平面中的最短问题】

【例题3】（2024秋•武侯区校级月考）如图，4、8两个村子在河CD的同侧，4、8两村

到河的距离分别是/C=l而，BD=-3km,CD=3km,现在河边CD上建一水厂向/、B

两村输送自来水，请你在河CD边选择水厂位置。，使水厂到两村的距离之和最小，并

求出铺设水管的长度.

B

<I

A

QjiD

【分析】过4‘作4,ELBD交于点瓦因为A'关于CD对称，则C=

1km,又因为四边形CDE为矩形，则C=DE=lkm,CD=A'E=3km,推出BE

BD+DE=4km,A'B=y/A'E2+BE2=5/cm.

【解答】解：过⑷作卬ELBD交于点£,

'：A,A'关于CD对称，

J.AC^A'C=lkm,

又四边形HCDE为矩形，

.".A'C=DE=\km,CD=A'E—?>km,

BE=BD+DE—4km,

在直角三角形HBE中由勾股定理得：A'B=y/A'E2+BE2=5fcm,

答：设水管的长度的长度为5的?.

B

_____________

A7E

【点评】本题考查了相似三角形的应用：用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的

长度.也考查了最短路径问题.

【变式3-1】（2024春•潍坊期末）如图，等边三角形/2C的周长为12,是BC边上的

高，厂是4D上的动点，E是48边上一点，若AE=2,则AF+即的最小值为

【分析】要求EF+8尸的最小值，需考虑通过作辅助线转化CE的值，从而找出其最小值

求解.

【解答】解：连接CE,与交于点E

；AD是BC边上的高，

：.4D是BC的垂直平分线，

:.BF=CF,

：.CE=EF+BF,

J.EF+BF的最小值即为CE的长；

•.•等边的周长为12,AE=2,

等边△4BC的边长为4,

：.BE=AB-AE=4-2=2,

为48边的中点，

J.CELAB,

在RtZ\3C£中，

CE=\IBC2-BE2=V42-22=2V3，

：.EF+BF的最小值为2百，

故答案为：2西.

【点评】此题主要考查了等边三角形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用，熟

知等腰三角形“三线合一”的性质是解答本题的关键.

【变式3-2】(2024春•雄县期末)如图，高速公路的同一侧有A、B两城镇，它们到高速

公路所在直线MN的距离分别为AA，=2km,BB，=4km,且AE=8km.

(1)要在高速公路上A，、之间建一个出口P,使A、B两城镇到P的距离之和最

小.请在图中画出P的位置，并作简单说明.

(2)求这个最短距离.

B

A

_____□____________□_____

MA'B'N

【分析】（1）根据题意画出图形，再利用轴对称求最短路径的方法得出P点位置；

（2）结合勾股定理得出即可.

【解答】解：（1）如图，作点B关于MN的对称点C,连接AC交MN于点P,则点P即

为所建出口，

此时A、B两城镇到出口P的距离之和最小，最短距离为AC的长.

B

___h_____p____

P

MA'\\IB'N

、（I

C"在此处键入公式。

（2）作AD1BB，于点D,在Rt^ADC中，AD=A,B,=8km,DC=6km.

.1.AC=VT1£）2+CD2=V82+62=10km,

二这个最短距离为10km.

【点评】此题主要考查了应用与设计作图，两点之间线段最短、勾股定理等知识，解题的

关键是学会利用对称解决最短问题.

【变式3-3】（2024秋•新吴区期中）如图，牧童在离河边3府的N处牧马，小屋位于他

南6碗东9左机的3处，他想把他的马牵到河边饮水，然后回小屋.他要完成此过程所

走的最短路程是多少？并在图中画出饮水C所在在位置（保留作图痕迹）.

小河

I

0b.....5小屋

【分析】先作N关于的对称点，连接H瓦构建直角三角形，利用勾股定理即可得

出答案.

【解答】解：如图，作出力点关于九W的对称点,连接N'B交MN于点、P,

则从/延AP到P再延PB到B,

AP+BP=A'B,

在中，由勾股定理求得

A'B-7DA'2+DB2=J(3+3+6/+92=15km,

答：他要完成这件事情所走的最短路程是15km.

【点评】本题考查的是勾股定理和轴对称在实际生活中的运用，需要同学们联系实际，题

目是一道比较典型的题目，难度适中.

【变式3-4】如图所示，在aABC中，ZACB=9O°,AC=BC=2,D是BC的中点，E是

AB上的一动点，且不与A,B重合，是否存在一个位置，使DE+CE的值最小？若不

存在，说明理由；若存在，试求出最小值.

【分析】过点C作C01AB于0,延长C0到C：使0C=0C；连接DC,交AB于E,连

接CE,止匕时DE+CE=DE+EC=D。的值最小；再根据勾股定理求出DC即可.

【解答】解：如图所示：过点C作COLAB于0,延长CO到C，，使0C=0C；

连接DC,交AB于E,连接CE,此;时DE+CE=DE+EC=DC的值最小；

连接BC,由轴对称的性质得：ZC,BE=ZCBE=45°,

.•ZCBC'=9O°,

.,.BC'_LBC,NBCC'=ZBC'C=45°,

.•.BC=BC'=2,

•・・D是BC边的中点,

・・・BD=1,

根据勾股定理得：DC=」BC'2+BD2=A/22+12=V5；

-.DE+CE的最小值为遥.

【变式3-5】（2024春•永善县期中）如图，河CD的同侧有/、3两个村，且48=2而

km,4、3两村到河的距离分别为NC=2局，BD=6km.现要在河边CD上建一水厂分

别向/、8两村输送自来水，铺设水管的工程费每千米需2000元.请你在河岸CD上选

择水厂位置0,使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用w（元）.

【分析】作A点关于CD的对称点为A',连接A'B交CD于点O,过点A作AF±BD于

点F,过点4作A'E±BD交BD的延长线于点E,分别利用勾股定理求出AF和A'B的长

即可.

【解答】解：如图所示，作/点关于CD的对称点为⑷，连接交CD于点。，

过点A作AFVBD于点F,过点4作A'E±BD交BD的延长线于点E,

B

此时/。+5。最小，

""AC—2km,BD=6km,

:.BF=4km,DE—1km,

AB=2-\[13km,

.'.AF=J(2V13)2—42=6(km),

在中，由勾股定理得：

A'B-y/A'E2+BE2=5/62+(6+2)2=10(km),

：.AO+BO=\Q(km),

，铺设水管的总费用少=10X2000=20000(元).

【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，构造直角三角形运用勾股定理是解题的关键.

【变式3-6】(2024春•爱辉区期末)如图，在矩形/BCD中，8c=8,ZABD=30°,若

点M、N分别是线段50、N8上的两个动点，求/M+九W的最小值.

【分析】作/点关于AD的对称点H,过4作交AD于点M，交AB于点、N,

则AM+MN的最小值为A'N的长.

【解答】解：作A点关于BD的对称点A',过4作A'N±AB交BD于点M,交AB于点

N,

由对称性可得，AM^A'M,

：.AM+MN=A'M+MN^A'N,

J.AM+MN的最小值为A'N的长,

VZABD=30°，

：.ZDAE=3Q°，

,:BC=8,

；.DE=4,

.,./£=4百，

在RtZUN'N中，ZA'AN=60°,

.•.4N=4'/•亨=8百X亨=12,

二/M+MN的最小值为12.

A'

【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法、垂线段最短

是解题的关键.

【题型4用展开图求长方体中的最短问题】

【例题4】（2022秋•南关区校级期末）如图，一长方体木块长/8=6,宽8C=5,高BBi

=2.一只蚂蚁从木块点/处，沿木块表面爬行到点Ci位置最短路径的长度为（）

A.V89B.V85C.V125D.V80

【分析】连接NQ,求出的长即可，分为三种情况：画出图形，根据勾股定理求出每

种情况时/Q的长，再找出最短的即可.

【解答】解：展开成平面后，连接ZCi，则/Ci的长就是绳子最短时的长度，

22

如图1,由勾股定理得：ACX=76+(2+5)=V85(cm)；

如图2,由勾股定理得：AQ=V(5+6)2+22=5V5(cm)；

如图3,同法可求/Ci=552+(2+6)2=府(cm)；

VV85<V89<5V5;

，最短路径的长度为

故选：B.

图3

【点评】本题考查了平面展开-最短路线问题和勾股定理的应用，本题具有一定的代表性,

是一道比较好的题目，注意：要分类讨论.

【变式4-1】(2024春•芙蓉区校级期末)如图是棱长为4c加的立方体木块，一只蚂蚁现在

N点，若在8点处有一块糖，它想尽快吃到这块糖，则蚂蚁沿正方体表面爬行的最短路

程是cm.

【分析】根据“两点之间线段最短”，将点力和点8所在的各面展开，展开为矩形，AB

为矩形的对角线的长即为蚂蚁沿正方体表面爬行的最短距离.

【解答】解：将点/和点3所在的面展开为矩形，为矩形对角线的长，

,矩形的长和宽分别为8cm和4cm,

'.AB=V82+42=4近cm.

故蚂蚁沿正方体的最短路程是

【点评】本题的关键是将蚂蚁所走的最短路程转化为求矩形的对角线的长.

【变式4-2】如图，在长方体透明容器（无盖）内的点8处有一滴糖浆，容器外/点处

的蚂蚁想沿容器壁爬到容器内吃糖浆，已知容器长为5c%,宽为3cm,高为4c加，点/

距底部1cm,请问蚂蚁需爬行的最短距离是（容器壁厚度不计）（）

A.3V17cmB.10cmC.5-75cmD.VT13cm

【分析】将容器侧面展开，建立/关于跖的对称点,根据两点之间线段最短可知

B的长度即为所求.

【解答】解：将容器的侧面展开，如图所示：

作/关于斯的对称点H,连接B,则2即为最短距离,

由题意得：EC=4cm,AC=\cm,8c=5+3=8(cm),

,'.AE=A'E=EC-AC=4-1=3(cm),

：.A'C=A'E+EC=3+4=7(cm),

由勾股定理得：A'B7A'C2+BC2="2+82=(cm).

故选：D.

【点评】本题考查了平面展开-最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的

性质和勾股定理进行计算是解题的关键.同时也考查了同学们的创造性思

维能力.

【变式4-3】(2024秋•荏平区期末)如图，一个长方体盒子的长、宽、高分别为9cm,

7cm,12cm,一只蚂蚁想从盒底的点/沿盒的表面爬到盒顶的点3,那么它爬行的最短

路程是cm.

【分析】分为三种情况展开，根据勾股定理求出线段的长度，再进行比较即可.

【解答】解：①如图1,展开后连接则就是在表面上从4到8的最短距离,

在中，由勾股定理得：AB->JAM2+BM2=V(9+7)2+122=V400-20

(cm)；

②如图2,展开后连接N8,则N8就是在表面上从N到8的最短距离,

在RtdADB中,由勾股定理得：AB=ylAD2+BD2=>/92+(12+7)2=V442(cm)；

在Rt4ANB中，由勾股定理得：AB=VXW2+BN2=772+(12+9)2=V490=7V10

（。加）.

・••蚂蚁爬行的最短路程是20cm.

【点评】本题考查了平面展开-最短路线问题和勾股定理等知识点，关键是能画出展开

图形并能求出符合条件的最短路线.

【变式4-4】如图，长方体的底面长和宽分别为4c机和2c加，高为5c机.若一只蚂蚁从P

点开始经过4个侧面爬行一圈到达。点，则蚂蚁爬行的最短路径长为cm.

【分析】要求长方体表面两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体侧面展开;

接下来利用“两点之间，线段最短”以及直角三角形勾股定理来解答即可.

【解答】解：根据题意，画出侧面展开图.

'：PA=2X(4+2)=12,QA=5,

PQ-V52+122—13(cm).

故蚂蚁爬行的最短路径长为13cm.

故答案为：13.

【点评】本题主要考查两点之间线段最短，以及如何把立体图形转化成平面图形.

1

【变式4-5】边长分别为4c加，3c机两正方体如图放置，点尸在EiQ上，且=

%,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点/爬到点尸，需要爬行的最短距离是

【分析】求出两种展开图尸/的值，比较即可判断;

【解答】解：如图，有两种展开方法：

方法一：PA=夜2+42=V65cm,

故需要爬行的最短距离是痛57.

【点评】本题考查平面展开-最短问题，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中

考常考题型.

【变式4-6】（2024春•乾安县期末）如图，有一个三级台阶，每一级的长、宽、高分别是

50cm>30cm、10c%,点/和点2是这个台阶的两个相对的顶点，有一只壁虎从/点出

发,沿着台阶面爬向8点去吃可口的食物;请你想一想,这只壁虎至少需要爬cm.

B

【分析】首先画出4到3的最短路径的展开图，然后利用勾股定理求出答案.

【解答】解：如图所示：^c=10X3+3X30=120cm,BC=50cm,ZACB=90°,

由勾股定理得：AB=Vi4C2+BC2=V1202+502=130（c冽），

故答案为：130.

B

【点评】本题主要考查了勾股定理，解题关键是画出求/到8的最短路径的展开图.

【变式4-7】在一个长为8分米，宽为5分米，高为7分米的长方体上，截去一个长为6

分米，宽为5分米，深为2分米的长方体后，得到一个如图所示的几何体.一只蚂蚁要

从该几何体的顶点A处，沿着几何体的表面到几何体上和A相对的顶点B处吃食物，

求它需要爬行的最短路径的长.

【分析】将长方体展成平面图形，根据两点之间线段最短即可确定蚂蚁爬行的最短路线为

AB,利用勾股定理求出N8的长度即可.

48=+2+6+2+1）2+52=13（分米）.

情形2：平面展开图如图所示:

VV149<13,

答：它需要爬行的最短路径的长是VI而分米.

【点评】本题考查的是平面展开路径问题，勾股定理等知识，解题的关键是明确蚂蚁爬行

的不同路线.

【变式4-8】（2024秋•南海区期中）如图，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和

地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角N处沿着木柜表面爬到柜角G处，若4B=3,

BC=4,CCi=5；

（1）请你在下面网格（每个小正方形边长为1）中，画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能

路径；

（2）求蚂蚁爬过的最短路径的长；

（3）我们发现，“用不同的方式表示同一图形的面积”可以解决计算线段的有关问题，这

种方法称为“面积法”.请“面积法”求点为到最短路径的距离.

I---------1—I---------1—I---------1—I--------1—I----------1

IIIIIIIIII

I____I____I______I____I______I____I______I____L_J

备用图

【分析】（1）有两种方案，分别画出图形即可;

（2）求出两种方案中NCi的长，可得结论；

（3）利用面积法求解即可.

【解答】解：（1）有两个方案：如图所示，

-1

（2）方案一中，AQ=V32+92=3V10.

22

方案二中，ACX=V7+5=V74，

.,.V74<3V10，

，蚂蚁爬过的最短路径的长为V7展

（3）方案二中，设/C1交AB1于点E,过点约作为?，/。于点尸.

'：AB//BxCi，

B\ECrEBiCi4

EB=~AE=AB=3

4204—4774

：.B\E=-X5=—,=yxV74=---，

11

V-XBiCi义EB\=《xB1FXEC2,

.20

.R10V74

・.B1Fr—4V74-—-—

------3/

7

点Bi到最短路径的距离是

【点评】本题考查作图-应用与设计作图，最短问题等知识，解题的关键是学会把立体几

何问题转化为平面几何问题.

【变式4-9】（2024春•新市区校级期中）如图1,长方体的底面边长分别为3加和2加，高

为1m,在盒子里，可以放入最长为m的木棒；

（2）如图2,在与（1）相同的长方体中，如果用一根细线从点/开始经过4个侧面缠绕

圈到达点C,那么所用细线最短需要加；

（3）如图3,长方体的棱长分别为/5=8C=6c%,AA!=14cm,假设昆虫甲从盒内顶点

G以2厘米/秒的速度在盒子的内部沿棱CiC向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点/以相同

的速度在盒壁的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉昆虫甲？

图③

【分析】（1）根据勾股定理即可得到结论;

（2）将长方体展开，根据两点之间线段最短，可知所用细线最短长度；

（3）利用昆虫是在侧面上爬行，两种爬行路线的最短路径相等，利用勾股定理求出即可.

【解答】解：（1）可以放入最长为132+22+12=W4（冽）的木棒；

故答案为：V14；

（2）如图所示：将长方体展开，连接/C,

--AC-J(3+2+3+2)2+1,2=,101(BI).

故答案为：Viol；

（3）因为昆虫是在侧面上爬行，可以看出，下面两图的最短路径相等，

设昆虫甲从顶点C1沿棱C1C向顶点C爬行的同时，昆虫乙从顶点/按路径N—E一凡

爬行捕捉到昆虫甲需X秒钟，如图1在RtZX/CF中，

⑵）2=122+（14-2X）2,

、85

解得：X=­•

图②

【点评】此题主要考查了平面展开-最短路径问题以及三角形的相似等知识，立体图形中的最短

距离，通常要转换为平面图形的两点间的线段长来进行解决，最短路径问题利用平面展开图分

别求出是解决问题的关键.

【题型5用展开图求圆柱体中的最短问题】

【例题5】(2024秋•成华区校级期中)如图，有一圆柱，其高为2的，它的底面半径为

\cm,在圆柱下底面/处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与/相对的点8处的食物，则蚂

蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程为C加.(Tt取3)

【分析】将圆柱的侧面展开，得到一个长方形，再然后利用两点之间线段最短解答.

【解答】解：如图所示：N2即为蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线，

B

/

✓

✓

Z

✓

Z

..,圆柱的底面半径为1cm,

11

.9.AC=~X2TTX1=-x2x3xl=3(cm),

又•：BC=2cm,

•'•AB=V71C2+BC2=V32+22=V13(cm),

・・・蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是Vile加，

故答案为：V13cw.

【点评】此题主要考查了平面展开图的最短路径问题，将圆柱的侧面展开，构造出直角

三角形是解题的关键.

【变式5-1】（2024秋•芝聚区期末）如图，已知圆柱底面的周长为12cm,圆柱高为8cm,

在圆柱的侧面上，过点/和点C嵌有一圈金属丝,则这圈金属丝的周长最小为.

【分析】要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结

果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可.

【解答】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为2/C的

长度.

:圆柱底面的周长为12cw,圆柱高为8°加,

,'.AB=Scm,BC=BC'=6cm,

.*.^C2=82+62=100,

.'.AC—10cm,

这圈金属丝的周长最小为2AC=20cm.

故答案为：20cm.

【点评】本题考查了平面展开-最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形

的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面

为平面”，用勾股定理解决.

【变式5-2】（2024秋•烟台期末）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上,

高三丈，周八尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是:

如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为3丈，底面周长为

8尺，有葛藤自点力处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点8处，则问题中葛藤的最

短长度是丈.

【分析】根据题意画出图形，在中，再根据勾股定理求解即可.

【解答】解：如图所示：表示葛藤的最短长度，

由题意可知：8c=3（丈），NC=8X5+10=4（丈），

在RtZUBC中，AB=y/AC2+BC2=V32+42=5（丈）.

故答案为：5.

【点评】本题考查了平面展开一最短路径问题，能够根据题意画出图形，构造直角三角形

是解题的关键.

【变式5-3】国庆节期间，重庆南开中学用彩灯带装饰了艺术楼大厅的所有圆柱形柱

子.为了美观，每根柱子的彩灯带需要从N点沿柱子表面缠绕两周到其正上方的8点,

如图所示，若每根柱子的底面周长均为2米，高均为3米，则每根柱子所用彩灯带的最

短长度为（）

A.夕米B.“I米C.米D.5米

【分析】要求彩带的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果,

在求线段长时，借助于勾股定理.

【解答】解：将圆柱表面切开展开呈长方形，

则彩灯带长为2个长方形的对角线长，

••,圆柱高3米，底面周长2米，

：.AC2=22+l.52=6.25,

：.AC=2.5（米），

•••每根柱子所用彩灯带的最短长度为5m.

故选：D.

【点评】本题考查了平面展开-最短路线问题，勾股定理的应用.圆柱的侧面展开图是一个

矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩

形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决.

2

【变式5-4】（2024秋•高新区校级期末）如图，圆柱底面半径为一cm,高为9cm,点力,

71

2分别是圆柱两底面圆周上的点，且B在同一条竖直直线上，用一根棉线从/点顺

着圆柱侧面绕3圈到B点，则这根棉线的长度最短为cm.

【分析】要求圆柱体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将圆柱体展开，然后利

用两点之间线段最短解答.

【解答】解：圆柱体的展开图如图所示：用一棉线从“顺着圆柱侧面绕3圈到8的运动最

短路线是：ACfCDfDB；

即在圆柱体的展开图长方形中，将长方形平均分成3个小长方形，/沿着3个长方形的对

角线运动到3的路线最短；

:圆柱底面半径为一“7,

71

2

・••长方形的宽即是圆柱体的底面周长：2nX-=4(cm)；

71

又,:圆柱高为9cm,

・••小长方形的一条边长是3cm；

根据勾股定理求得+42=5(cm)；

：.AC+CD+DB=\5(cm)；

故答案为：15.

------------

一''3

【点评】本题主要考查了平面展开--路径最短问题.圆柱的侧面展开图是一个长方形，

此长方形的宽等于圆柱底面周长，长方形的长等于圆柱的高.本题就是把圆柱的侧面展开

成长方形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决.

【变式5-5】如图是一个供滑板爱好者使用的。型池，该。型池可以看作是一个长方体去

掉一个半圆柱而成，中间可供滑行部分的截面是半径为4加的半圆，其边缘/2=CD=

20〃?，点E在CO上，CE=4m,一滑行爱好者从N点滑行到£点，则他滑行的最短距离

为________m(ir的值为3).

【分析】滑行的距离最短，即是沿着NE的线段滑行，我们可将半圆展开为矩形来研究,

展开后，AD、E三点构成直角三角形，4E为斜边，40和DE为直角边，写出/。和

的长，根据题意，写出勾股定理等式，代入数据即可得出/E的距离.

【解答】解：将半圆面展开可得：

ND=4n米，DE=£»C-C£=16米，

在RtZXADE中,

[£=[162+（4兀尸=20（米）.

即滑行的最短距离约为20米，

故答案为：20.

【点评】本题主要考查了最短路径问题，解题时注意：U型池的侧面展开图是一个矩形,

此矩形的宽等于半径为4加的半圆的长，矩形的长等于4