2024-2025学年人教版八年级数学下册重难点专练：利用勾股定理解决最短路径问题（原卷版）

重难点07利用勾股定理解决最短路径问题

m题型解读

国典题精练

【题型1用计算法求平面中的最短问题】

【例题1】（2024春》皇中区校级月考）如图，某工厂C前面有一条笔直的公路，原来有

两条路/C,8c可以从工厂C到达公路，经测量/C=600%,8c=800加，/8=1000掰，现

需要修建一条路，使工厂C到公路的路程最短，请你帮工厂C设计一种方案，并求出新建

的路的长.

公路B

【变式1-1】（2024春•荣县校级月考）如图，Rt4/BC中，/2=90°,48=3,3c=4,

点尸是NC边上一动点，则线段2尸长度的最小值为（）

A

B.2.5C.2.4

【变式1-2】如图，学校8前面有一条笔直的公路，学生放学后走N3,8c两条路可到达

公路.经测量，BC=600m,BA=S00m,AC=]000m.现需修建一条从学校8到公路距

离最短的小路，则这条小路的长（即图中2。的长）为m.

A\

【变式1-3】（2024秋•丹徒区期末）如图，△/8C中，AB=AC=5,BC=6,点、D是AB

边上的一个动点，则线段CZ）的最小值为.

BC

【变式1-4】(2024秋•大名县期末)如图，在△NBC中，NC=21,2C=13,D是4c边

上一点，BD=12,40=16.

(1)求证：BDLAC-,

(2)若E是边48上的动点，求线段的最小值.

【变式1-5】如图所示，/、3两块试验田相距200米，C为水源地，/C=160加，BC=

120m,为了方便灌溉，现有两种方案修筑水渠.

甲方案：从水源地C直接修筑两条水渠分别到/、2

乙方案；过点C作N5的垂线，垂足为X,先从水源地C修筑一条水渠到所在直线上

的”处，再从〃分别向/、8进行修筑.

(1)请判断△N3C的形状(要求写出推理过程)；

(2)两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短？请通过计算说明.

水源池

【变式1-6】（2024春•南昌县期末）入冬前，我区对部分旧城区暖气管道进行修缮，在修

缮过程中发现某地原有管道弯曲太多，容易带来安全隐患，决定进行改造.管道4-3

改造方案如图所示（实线为改造前，虚线为改造后，所有实线均平行或垂直）.

（1）求改造前原有管道的长度是多少？

（2）求改造后N、8之间的管道长度减少了多少？

100m

A-------------------------------------

（20m

120m八

30m

【变式1-7】小明听说“武黄城际列车”已经开通，便设计了如下问题：如图，以往从黄

石/坐客车到武昌客运站现在可以在4坐城际列车到武汉青山站C,再从青山站C

坐市内公共汽车到武昌客运站2.设/2=800〃，BC=2Qkm,/4BC=120°.请你帮

助小明解决以下问题：

（1）求AC之间的距离；（参考数据：721=4.6）

（2）若客车的平均速度是60碗"，市内的公共汽车的平均速度为40妹"，城际列车的平

均速度为18067",为了最短时间到达武昌客运站，小明应该选择哪种乘车方案？请说明

理由.（不计候车时间）

R

【题型2用平移法求平面中的最短问题】

【例题2】如图，相邻的两边互相垂直，则从点8到点/的最短距离为（）

A

11

42

42

5

A.13B.12C.8D.5

【变式2-1】（2024春•凉城县期末）如图为某楼梯的侧面，测得楼梯的斜长N8为5米,

高2C为3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要米.

【变式2-2】（2024春•梁山县期中）如图，已知/B=/C=/D=NE=90°,且48=

8=3,BC=4,DE=EF=2,则/,厂两点间的距离是（

C.8+V2D.10

【变式2-3】如图，某校科技创新兴趣小组用他们设计的机器人，在平坦的操场上进行走

展示.输入指令后，机器人从出发点/先向东走10米，又向南走40米，再向西走20

米，又向南走40米，再向东走70米到达终止点2.求终止点8与原出发点/的距离

AB.

出发点10

月二、

205、'、、

、

40''、、

-----------二B

70终止点

【变式2-4】（2024秋•丰城市校级期末）某会展中心在会展期间准备将高5m、长13m、

宽2m的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米20元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道

至少需要元.

【题型3用对称法求平面中的最短问题】

【例题3】（2024秋•武侯区校级月考）如图，A,3两个村子在河CD的同侧，A,8两村

到河的距离分别是NC=1碗，BD=3km,CD=3km,现在河边CD上建一水厂向/、B

两村输送自来水，请你在河CD边选择水厂位置。，使水厂到两村的距离之和最小，并

求出铺设水管的长度.

B

1I

A

iD

【变式3-1】（2024春•潍坊期末）如图，等边三角形N2C的周长为12,是2c边上的

高，厂是4D上的动点，E是48边上一点，若/£=2,则AF+E尸的最小值为.

A

【变式3-2】（2024春•雄县期末）如图，高速公路的同一侧有A、B两城镇，它们到高速

公路所在直线MN的距离分别为AA,=2km,BBMkm,且A吁=8km.

（1）要在高速公路上A\B，之间建一个出口P,使A、B两城镇到P的距离之和最

小.请在图中画出P的位置，并作简单说明.

（2）求这个最短距离.

B

A

_____□____________□_______

M4B'N

【变式3-3】（2024秋•新吴区期中）如图，牧童在离河边3府的/处牧马，小屋位于他

南6的?东9而7的8处，他想把他的马牵到河边饮水，然后回小屋.他要完成此过程所

走的最短路程是多少？并在图中画出饮水C所在在位置（保留作图痕迹）.

小河

■

Qb..............B小屋

【变式3-4】如图所示，在aABC中，ZACB=9O°,AC=BC=2,D是BC的中点，E是

AB上的一动点，且不与A,B重合，是否存在一个位置，使DE+CE的值最小？若不

存在，说明理由；若存在，试求出最小值.

【变式3-5】（2024春•永善县期中）如图，河CD的同侧有/、3两个村，且/2=2而

km,4、2两村到河的距离分别为NC=2局，BD=6km.现要在河边CD上建一水厂分

别向/、8两村输送自来水，铺设水管的工程费每千米需2000元.请你在河岸CD上选

择水厂位置0,使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用坟（元）.

【变式3-6】（2024春•爱辉区期末）如图，在矩形N2CD中，BC=8,/4BD=30°,若

点”、N分别是线段2D、48上的两个动点，求/M+JW的最小值.

B

【题型4用展开图求长方体中的最短问题】

【例题4】（2022秋•南关区校级期末）如图，一长方体木块长/8=6,宽3C=5,高BBi

=2.一只蚂蚁从木块点/处，沿木块表面爬行到点Ci位置最短路径的长度为（）

A.V89B.V85C.V125D.V80

【变式4-1】（2024春•芙蓉区校级期末）如图是棱长为4c加的立方体木块，一只蚂蚁现在

/点，若在3点处有一块糖，它想尽快吃到这块糖，则蚂蚁沿正方体表面爬行的最短路

程是cm.

【变式4-2】如图，在长方体透明容器（无盖）内的点3处有一滴糖浆，容器外/点处

的蚂蚁想沿容器壁爬到容器内吃糖浆，已知容器长为5c%,宽为3cm,高为4”/,点/

距底部1cm,请问蚂蚁需爬行的最短距离是（容器壁厚度不计）（）

A.3y/17cmB.10cmC.5^5cmD.V113cm

【变式4-3】（2024秋•在平区期末）如图，一个长方体盒子的长、宽、高分别为9cM

7cm,12cm,一只蚂蚁想从盒底的点/沿盒的表面爬到盒顶的点2,那么它爬行的最短

路程是cm.

【变式4-4】如图，长方体的底面长和宽分别为4c加和2cm,高为5cm.若一只蚂蚁从P

点开始经过4个侧面爬行一圈到达。点,则蚂蚁爬行的最短路径长为<

1

【变式4-5】边长分别为4cm,3ca两正方体如图放置，点尸在小尸i上，且£/=]%

Fi，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点/爬到点尸，需要爬行的最短距离是

cm.

【变式4-6】（2024春•乾安县期末）如图，有一个三级台阶，每一级的长、宽、高分别

是50cm、30cm>10cm,点/和点8是这个台阶的两个相对的顶点，有一只壁虎从/点出

发，沿着台阶面爬向8点去吃可口的食物；请你想一想，这只壁虎至少需要爬

cm.

【变式4-7】在一个长为8分米，宽为5分米，高为7分米的长方体上，截去一个长为6

分米，宽为5分米，深为2分米的长方体后，得到一个如图所示的几何体.一只蚂蚁要从

该几何体的顶点/处，沿着几何体的表面到几何体上和/相对的顶点3处吃食物，求它需

要爬行的最短路径的长.

【变式4-8】（2024秋•南海区期中）如图，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和

地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角/处沿着木柜表面爬到柜角。处，若/2=3,BC=

4,CCi=5；

（1）请你在下面网格（每个小正方形边长为1）中，画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能

路径；

（2）求蚂蚁爬过的最短路径的长；

(3)我们发现，“用不同的方式表示同一图形的面积”可以解决计算线段的有关问题，这

种方法称为“面积法”.请“面积法”求点为到最短路径的距离.

备用图

【变式4-9】(2024春•新市区校级期中)如图1,长方体的底面边长分别为3a和2加，高

为1m,在盒子里，可以放入最长为m的木棒；

(2)如图2,在与(1)相同的长方体中，如果用一根细线从点/开始经过4个侧面缠绕

一圈到达点C,那么所用细线最短需要m；

(3)如图3,长方体的棱长分别为48=8C=6c%,AAi=\Acm,假设昆虫甲从盒内顶点

Ci以2厘米/秒的速度在盒子的内部沿棱CiC向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点/以相同

的速度在盒壁的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉昆虫甲？

【题型5用展开图求圆柱体中的最短问题】

【例题5】（2024秋•成华区校级期中）如图，有一圆柱，其高为2cm,它的底面半径为

1cm,在圆柱下底面/处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与/相对的点2处的食物，则蚂

蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程为cm.（it取3）

【变式5-1】（2024秋•芝景区期末）如图，已知圆柱底面的周长为12cm,圆柱高为8cm,

在圆柱的侧面上，过点/和点C嵌有一圈金属丝,则这圈金属丝的周长最小为.

【变式5-2】（2024秋•烟台期末）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上,

高三丈，周八尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是:

如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为3丈，底面周长为

8尺，有葛藤自点/处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点2处，则问题中葛藤的最

短长度是丈.

【变式5-3】国庆节期间，重庆南开中学用彩灯带装饰了艺术楼大厅的所有圆柱形柱

子.为了美观，每根柱子的彩灯带需要从/点沿柱子表面缠绕两周到其正上方的3点,

如图所示，若每根柱子的底面周长均为2米，高均为3米，则每根柱子所用彩灯带的最

B.米C.履米D.5米

2

【变式5-4】（2024秋•高新区校级期末）如图，圆柱底面半径为一cm,高为9cm,点力,

71

2分别是圆柱两底面圆周上的点，且a8在同一条竖直直线上，用一根棉线从4点顺

着圆柱侧面绕3圈到B点，则这根棉线的长度最短为cm.

【变式5-5】如图是一个供滑板爱好者使用的。型池，该。型池可以看作是一个长方体

去掉一个半圆柱而成，中间可供滑行部分的截面是半径为4,力的半圆，其边缘/2=8=

20m,点E在CD上，CE=4m,一滑行爱好者从4点滑行到E点，则他滑行的最短距离

【变式5-6】（2024秋•贵阳期末）如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为

15cm,底面周长为8c加，在容器内壁离容器底部6cm的4处有一饭粒，此时一只蚂蚁正

好在与点/处相对的玻璃杯外壁，且距离容器顶部1cm的点B处，则蚂蚁吃到饭粒需爬

行的最短路径长度是cm.

FB

//

//

//

A，

国限时测评

1.（2024秋•宁波期中）如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷

径”，在花圃内走出了一条“路”.他们仅仅少走了几步路，却踩伤了花草.他们少走的

路长为（）

A.2mB.3mC.3.5mD.4m

2.（2024春•嘉祥县期末）如图，在RtZX/BC中，N/=90°,BD平分NABC交AC于D

点，AB=12,8。=13,点P是线段8c上的一动点，则尸。的最小值是（）

A.6B.5C.13D.12

3.如图，要为一段高为5米，长为13米的楼梯铺上红地毯，则红地毯至少要米

4.（2024秋•安岳县期末）如图所示，是长方形地面，长48=10加，宽AD=5m,

中间竖有一堵砖墙高〃乂=1%一只蚂蚱从/点爬到C点，它必须翻过中间那堵墙，则

它至少要走m的路程.

5.（2024秋•青山区期末）如图，教室的墙面4D斯与地面/BCD垂直，点尸在墙面上.若

尸10米，点尸到/。的距离是6米，有一只蚂蚁要从点P爬到点8,它的最短行

AB

6.（2025•越秀区校级开学）如图长方体的长为15,宽为10,高为20,2C=5,点5处有

一滴蜂蜜，有一只蚂蚁想要沿着长方体的表面从点A