2024-2025学年浙教版七年级数学下册题型专练：分式方程及应用（八大题型）解析版

专题03分式方程及应用（八大题型）

题型归纳

【题型1分式方程定义】

【题型2解分式方程】

【题型3分式方程的增根】

【题型4分式方程应用-工程问题】

【题型5分式方程应用-行程问题】

【题型6分式方程应用-销售问题】

【题型7分式方程应用-方案问题】

【题型8分式方程应用-其他问题】

部题型专练

【题型1分式方程定义】

1.下列方程中，是分式方程的是（）

1%1

A.B.%+-=2C.2x=x-5D.x-4y=1

【答案】B

【分析】分母中含有未知数的方程；

【详解】解：根据定义，x+：=2为分式方程；

故选：B.

【点睛】本题考查分式方程的定义，理解分式方程的定义为解题的关键.

2.下列关于x的方程是分式方程的是（）

2+x3+xxxx—13—3y

AA而

--=-B.C.=3D.?%=1

【答案】C

【分析】由分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫分式方程.根据定义结合选项

即可求解.

【详解】解：选项A、B、D是整式方程，不符合题意；

选项C,是分式方程，符合题意；

故选：c.

【点睛】本题考查分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键.

3.下列方程：①为=2；@^-1=|；③卫一去=8；④;+三=1.其中分式方程有

()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】根据分母中含有未知数的方程叫做分式方程，判断即可.

【详解】

解：①分母中含有未知数，故是分式方程；

②分母中不含有未知数，故是整式方程；

③分母中含有未知数，故是分式方程；

④分母中含有未知数，故是分式方程.

故选：C.

【点睛】

本题考查了分式方程，熟练掌握定义是解题的关键.

4.在①/一乂+5，②3-3=a+4,(3)|+5x=6,④会=1中，其中关于X的分式方程的

个数为()

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【分析】直接根据分母中含有未知数的方程叫做分式方程进行判断即可得到答案.

【详解】解：0x2-%+p是分式，不是分式方程，故①错误，不符合题意；

②:-3=a+4是关于a的分式方程，故②错误，不符合题意；

=6,是一元一次方程，不是分式方程，故③错误，不符合题意；

④会=1,是关于x的分式方程，故④正确，符合题意；

关于》的分式方程的个数为1个，

故选：A.

【点睛】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握分母中含有未知数的方程叫做分式方程

是解题的关键.

【题型2解分式方程】

5.分式方程捻-告=0的解是（）

A.x=1B.%=-5

C.x=4D.久=—5或汽=1

【答案】C

【分析】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的基本方法，是解题的关键,

先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可.

【详解】解：总-六=0,

去分母得：3(刀—1)—(x+5)=0,

去括号得：3%—3—%—5=0,

移项，合并同类项得：2尤=8,

系数化为1得：x=4,

检验：把x=4代入（％+5）（久-1）得：（%+*0-

•・・久=4是原方程的解，

故选：C.

6.方程白+若=-1的解是（）

A.%=2B.x=1C.%=0D.无解

【答案】D

【分析】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是"转化思想分式方程去分

母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解.

【详解】解：出+喜=-1，

去分母得：1一%=-（1-X），

.-.1—%=—1+%,

移项合并得：2%=2,

解得：%=1,

检验：将久=1代入1一%=0,

・・・原方程无解.

故选：D.

【答案】%=-1

【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程是解题的关键.

先将分式方程两边同时乘以Q+l)(x-1)化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后

检验即可求解.

【详解】解：署―甘=1

3x—1—(2%—1)(x+1)=%2—1

3%—1—(2,+2x—x—l)—x2+1=0

3X—1—2X2—X+l—%2+1=0

3X2-2X-1=0,

解得：/=1,%2=一|，

经检验：当汽1=1时，(%+1)(%-1)=0，当％2=-3时，(%+1)(%-1)。0，

・•・原分式方程的解为％=-,

8.解下列方程：

,.%-2_-31____3____5_

')x-55—%*''1—x21—x1+x*

【答案】⑴原方程无解

3

(2比，

【分析】本题主要考查解分式方程，掌握解分式方程的步骤是关键.

(1)运用取分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1,检验根的方法求解即可;

(2)运用取分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1,检验根的方法求解即可.

【详解】(1)解：三|=言变形得，三|=捷，

去分母得，尤―2=3,

移项、合并同类项得，%=5,

检验，当x=5时，原分式方程的分母为0,

••・原分式方程无解；

135

解：二

(2)1—x1+x

去分母得，1B3(1+%)-5(1-X),

去括号得，1=3+3x—5+5x,

移项、合并同类项得，8%=3,

系数化为1得，O

检验，当时，原分式方程有意义,

O

二原分式方程的解为

O

14.解下列方程:

(1七=占(23=2+刍

⑶言=言;2x+怎

(4)-2x-l=3.

【答案】⑴X=5

(2)无解

(3)X=-4

1

⑷X=-2

【分析】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的基本方法，是解题的关键,

(1)先去分母变分式方程为整式方程,然后解整式方程,最后对方程的解进行检验即

可;

(2)先去分母变分式方程为整式方程,然后解整式方程,最后对方程的解进行检验即

可;

先去分母变分式方程为整式方程,然后解整式方程,最后对方程的解进行检验即

可;

(4)先去分母变分式方程为整式方程,然后解整式方程,最后对方程的解进行检验即

可.

【详解】(1)解：2=二

X—oX—4

去分母得：2(%一4)=%-3,

去括号得：2%—8=x—3,

移项，合并同类项得：%=5,

检验：把久=5代入(%_3)(%_4)得：(%-3)(%-4)*0,

.•.%=5是原方程的解；

⑵解：==2+为

去分母得：x=2(久一3)+3,

去括号得：x=2x—6+3,

移项，合并同类项得：-x=-3,

系数化为1得：x=3,

检验:把%=3代入(x-3)得：(%-3)=0,

・4=3是原方程的增根，

•••原方程无解；

⑶解：==的

去分母得：5(x+1)=3(x-l),

去括号得：5X+5=3X-3,

移项，合并同类项得：2x=-8,

系数化为1得：x=-4,

检验：把％=-4代入(x-l)(x+l)得：(%-1)(久+1)#0,

・4=-4是原方程的根；

(4)解：21+1-2=3,

去分母得：2%-5=3(2%-1)，

去括号得：2%—5=6%—3,

移项，合并同类项得：—4%=2,

系数化为1得：%=-p

检验：把久='代入(2久—1)得：2x-1^0,

.4=-9是原方程的根.

15.解下列分式方程:

(企=s；(2)*2+x+/—Xx2-1"

【答案】⑴%=一5

(2)x=3

【分析】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是"转化思想"，把分式方程转

化为整式方程求解.解分式方程一定注意要验根.

(1)方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到％的值，经检验即可得到分式

方程的解；

(2)方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式

方程的解.

【详解】(1)解：去分母得5x—10=7%,

移项合并得：2x=-10,

解得：x=-5,

经检验，尤=-5是分式方程的解；

(2)解：去分母得：7x—7+x+l=6x,

移项合并得：2%=6,

解得：x=3,

经检验，久=3是分式方程的解.

16.解下列分式方程：

231212

x+1'("x+33—X%2-9,

【答案】(1)久=2

(2)无解

【分析】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程

转化为整式方程求解.解分式方程一定注意要验根.

(1)方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式

方程的解；

(2)方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到％的值，经检验即可得到分式

方程的解.

【详解】(1)解：去分母得：2%+2=3%,

解得：x=2,

经检验％=2是分式方程的解；

(2)解：去分母得：x-3+2x+6=12,

移项合并得：3%=9,

解得：x=3,

经检验x=3是增根，分式方程无解.

【题型3分式方程的增根】

17.若分式方程喜=2+三无解，则a的值为()

A.4B.2C.1D.0

【答案】A

【分析】本题考查了分式方程无解的条件，是需要识记的内容.分式方程无解，既要考

虑分式方程有增根的情形，又要考虑整式方程无解的情形.

关于x的分式方程蠢=2+£无解，即分式方程去掉分母化为整式方程，整式方程的

解就是方程的增根，即x=4,据此即可求解.

【详解】解：m=2+£,

去分母得：a,

x-2(x-4)=

解得：x=8-a,

,•,分式方程曰=2+占无解，

•••x—4=0,

•,•%=4,

•*-8—CL=4,

解得：a=4.

故选：A

18.若关于久的分式方程与=言-3有增根，则根的值是()

A.3B.1C.-3D.-1

【答案】A

【分析】本题考查了解分式方程.首先解分式方程求出方程的根为％=与”，因为分式方

程有增根，所以方程的根为力=竽=2,解关于根的一元一次方程求出m的值即可.

【详解】解:三=会-3,

去分母得：m=%+1-3(X-2)，

去括号得：771=X+1—3%+6,

移项得：3%—%=1+6—TH,

合并同类项得：2x=7-m,

系数化为1得：％=空，

关于X的分式方程刍=言-3有增根，

7-m

•••x=-^―=2,

解得：m=3.

故选：A.

19.关于x的方程箸-三=1无解，贝la的值为（）

A.1或一3B.1C.-3D.不能确定

【答案】A

【分析】本题考查分式方程的知识，解题的关键是掌握分式方程无解的性质.先去分母

把分式方程化为整式方程，然后分两种情况讨论，当。-1=0时，当。-1#0时，即可求

解.

【详解】解：箸-9=1，

等式两边同时乘以：Q—1）,

：.ax+1+2=x—1,

=-4,

当。-1二0时，

方程=-4无解，此时a=l

当Q-lWO时，

-4

x=--

CL—1

•••方程无解，

.•・二=1

a—1

解得：a=-3

的值为：1或-3.

故选：A.

20.如果关于x的分式方程六=2+£无解，则。的值为（）

A.-4B.-C.2D.-2

【答案】A

【分析】本题考查了分式方程无解的条件，是需要识记的内容.分式方程去分母转化为

整式方程，由分式方程有增根，得到久-4=0,求出x的值，代入整式方程求出。的值

即可.

【详解】M=2+E

解：去分母得：x=2（x-4）-«

解得％=a+8.

当分母第一4=0,即久=4时方程无解，

••・a+8=4.

•••CL=一4时方程无解.

故选:A.

21.若关于x的方程六一舞=1无解，贝b”的值为（）

x—zz—X

A.2B.-2C.1D.-1

【答案】B

【分析】本题考查了解分式方程、根据分式方程的解的情况求参数，先解分式方程可得

x=4+m,再由分式方程无解可得4+m=2,计算即可.

【详解】解：去分母得：1+m+1=x-2,

移项合并同类项得：x=4+m,

••・关于x的方程2一野=1无解，

/.%—2=0,

=2,

.,.4+m=2,

：.m=—2,

故选：B.

【题型4分式方程应用-工程问题】

22.瓦房店市被誉为轴承之都，某轴承厂接受生产240件大型轴承任务，由甲、乙两个车间

承担，甲车间单独生产这批轴承比乙车间单独生产这批轴承多用5天，乙车间每天生产

的能力是甲车间的1.5倍.求：甲、乙两车间单独生产这批轴承各需要几天.

【答案】乙车间单独生产这批轴承需要10天，则甲车间单独生产这批轴承需要15天

【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关

键.设乙车间单独生产这批轴承需要x天，则甲车间单独生产这批轴承需要(x+5)天,

就可以表示出甲、乙两车间的工作效率，根据乙车间每天生产的轴承是甲车间的1.5倍

建立方程求出其解即可.

【详解】解：设乙车间单独生产这批轴承需要x天，则甲车间单独生产这批轴承需要

(%+5)天，

4曰240240.广

得丁=短'1.5,

解得：尤=10,

经检验，久=10是原方程的解，

所以甲车间单独生产这批轴承需要的时间为：10+5=15(天).

答：乙车间单独生产这批轴承需要10天，则甲车间单独生产这批轴承需要15天.

23.为了创建全国卫生城市，某社区要清理一个卫生死角内的垃圾，租用甲、乙两车运送,

两车各运6趟可完成，需支付运费2400元.已知甲、乙两车单独运完此堆垃圾，乙车

所运趟数是甲车的2倍，且乙车每趟运费比甲车少100元.

(1)求甲、乙两车单独运完此堆垃圾各需运多少趟？

(2)若单独租用一台车，租用哪台车合算？

【答案】⑴甲车单独运完需9趟，乙车单独运完需18趟；

(2)租用甲车合算

【分析】本题主要考查分式方程，一元一次方程的解实际问题，理解数量关系，正确列

式求解是关键.

(1)设甲车单独运完此堆垃圾需运x趟，则乙车单独运完此堆垃圾需运2万趟，根据题

意列分式方程求解即可；

(2)设甲车每一趟的运费是a元，由题意得列出方程求解即可.

【详解】(1)解：设甲车单独运完此堆垃圾需运x趟，则乙车单独运完此堆垃圾需运2比

趟，根据题意得出：

111

----1-------=—

%2x6

解得：%=9,

经检验得出：％=9是原方程的解，

：.2x=18,

答：甲车单独运完需9趟，乙车单独运完需18趟；

（2）解：设甲车每一趟的运费是a元，由题意得：6a+6（^-100）=2400,

解得:a=250,

则乙车每一趟的费用是：250-100=150（元），

单独租用甲车总费用是：9x250=2250（元），

单独租用乙车总费用是：18x150=2700（元），

2250<2700,

单独租用一台车，租用甲车合算.

24.某市为治理污水，保护环境，需铺设一段全长为6000米的污水排放管道.为了减少施

工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工作效率比原计划增加20%,结果提前

25天完成铺设任务.求原计划每天铺设管道多少米？

【答案】原计划每天铺设管道40米

【分析】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出

合适的等量关系，列方程求解，注意检验.

设原计划每天铺设管道x米，则实际每天铺设管道（1+20%）%米，根据工作时间=工作

总量+工作效率结合实际比原计划提前25天完成铺设任务,即可得出关于x的分式方程,

解之经检验后即可得出结论.

【详解】解：设原计划每天铺设管道x米，则实际每天铺设管道（1+20%产米，

解得：刀=40,

经检验，久=40是原方程的解，且符合题意，

答：原计划每天铺设管道40米.

25.为顺利通过"文明城市”验收，某市拟对城区部分排水主干道公用设施全面更新改造，为

响应城市建设的需要，需在一个月内完成工程，现有甲、乙两个工程队有意承包这项工

程，经调查知道，乙工程队单独完成此项工程的时间是甲工程队单独完成此项工程时间

的1.5倍，若甲、乙两工程队合作只需12天完成.

⑴甲、乙两个工程队单独完成此项工程各需多少天？

（2）若甲工程队每天的工程费用是5万元，乙工程队每天的工程费用是3万元，若两队

合作6天后，要抽调一个工程队完成其他任务，剩下的任务由另一个队单独完成，问抽

调哪个队能使工程费用较少？

【答案】（1）甲工程队单独完成该工程需20天，乙工程队单独完成该工程需30天；

（2）抽调甲工程队能使工程费用较少.

【分析】本题考查了分式方程的应用及一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出

分式方程是解题的关键.

（1）设甲工程队单独完成该工程需x天，则乙工程队单独完成该工程需1.5久天.再根据

"甲、乙两队合作完成工程需要12天〃，列出分式方程，解方程即可；

（2）通过列方程，分别求出甲、乙两工程队还需要完成的天数.再分别计算出所需的

工程费用，再比较即可.

【详解】（1）解：设甲工程队单独完成该工程需万天，则乙工程队单独完成该工程需l.5x

天，

根据题意得：9+急=1，

解得：%=20,

经检验，x=20是原方程的解，且符合题意，

.­-1.5%=1.5x20=30（天）,

答：甲工程队单独完成该工程需20天，乙工程队单独完成该工程需30天；

（2）解：若剩下的任务由甲单独完成，设甲还需要小完成，则

7n+66

寸+茄=L

解得：m=10,

•••甲还需要10天完成，

则所需的工程费用为：16x5+6x3=98（万元），

若剩下的任务由乙单独完成，设乙还需要几完成，则

6n+6

而+而=L

解得：n=15,

・•・乙还需要15天完成，

则所需的工程费用为：6x5+21x3=93（万元），

•••93<98,

••・抽调甲工程队能使工程费用较少.

26.2024年中央一号文件强调"强化农业科技支撑”，充分发挥科技生产力对企业和产业发

展的作用，某镇计划引进无人机田间喷洒农药技术，经实践调查，一架无人机每小时喷

洒农药的亩数是一个人每小时喷洒农药亩数的7.5倍，120亩的农田利用一架无人机喷

洒农药比一个人喷洒节约13小时，求一架无人机平均每小时喷洒农药的亩数.

【答案】60亩

【分析】本题考查了分式方程的应用，设一个人平均每小时喷洒农药x亩，根据利用一

架无人机喷洒农药比一个人喷洒节约13小时列方程求解，然后检验即可.

【详解】解：设一个人平均每小时喷洒农药x亩，

根据题意，得号-黑=13,

解得：%=8,

经检验，*=8是原方程的解，且符合题意，

二一架无人机平均每小时喷洒农药7.5%=7.5x8=60亩.

所以一架无人机平均每小时喷洒农药60亩.

27.长春市为了做好"全国文明城市”验收工作，计划对市区的道路进行改造，现安排甲、乙

两个工程队进行施工.已知甲工程队改造360米的道路与乙工程队改造300米的道路所

用时间相同.若甲工程队每天比乙工程队多改造30米，求乙工程队每天改造道路的长

度是多少米.

【答案】乙工程队每天改造道路的长度是150米.

【分析】本题考查分式方程的知识，解题的关键是掌握题意，设乙工程队每天改造道路

x米，则甲工程队每天改造(x+30)米，根据题意，列出分式方程，进行解答，即可.

【详解】解：设乙工程队每天改造道路x米，则甲工程队每天改造Q+30)米，

•••甲工程队改造360米的道路与乙工程队改造300米的道路所用时间相同，

.360_300

'x+30x'

解得：龙=150,

经检验，久=150是原方程的解，

乙工程队每天改造道路的长度是150米.

28.为积极发展新质生产力支持农业现代化建设，/、2两机械生产公司接受3600台微耕机

的生产任务.已知/公司每天生产微耕机的台数是2公司每天生产微耕机台数的*

(1)若/公司生产40天，2公司生产30天，则恰好完成生产任务.问3公司每天生产

多少台微耕机？

(2)由于时间紧任务重，/、5两公司每天生产微耕机的台数均在原来的基础上提高了

50%,/、8两公司各完成总生产任务的一半，N公司完成任务所需要的时间比8公司

完成任务的时间多5天.问B公司现在每天生产多少台微耕机？

【答案】(1)8公司每天生产60台微耕机

(2记公司现在每天生产120台微耕机

【分析】本题考查了一元一次方程的应用，分式方程的应用.熟练掌握一元一次方程的

应用，分式方程的应用是解题的关键.

(1)设8公司每天生产x台微耕机，则/公司每天生产，台微耕机，依题意列方程求

解即可；

(2)设2公司原来每天生产。台微耕机，则3公司现在每天生产1.5a台微耕机，/公

司现在每天生产白台微耕机，依题意得列方程求解作答即可.

O

【详解】。)解：设8公司每天生产x台微耕机，则/公司每天生产，台微耕机，

依题意得，40x«4+30久=3600,

解得，x=60,

答：3公司每天生产60台微耕机；

(2)解：设8公司原来每天生产a台微耕机，则8公司现在每天生产1.5a台微耕机,

A公司现在每天生产为x1,5台微耕机，

4o

18001onn

依题意得，--5=^,

ga1.5a

解得a=80,

经检验，a=80是原分式方程的解，且符合要求；

.-.1.5x80=120(台),

--B公司现在每天生产120台微耕机.

29.某校图书馆新到一批图书需要整理.若图书管理员张老师一人单独整理完需要40

min.现在张老师与陈老师共同整理20min后，张老师因事外出，陈老师再单独整理了

20min才完成.

(1)陈老师单独整理完这批图书需要多少分钟？

(2)若陈老师的整理时间不超过30min,要整理完这批图书，张老师至少要整理多少分钟？

【答案］⑴80

⑵25

【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的应用等知识点，仔细

审题，按照题中隐含的不等关系及等量关系正确列出方程或不等式是解题的关键.

(1)设陈老师单独整理完这批图书需要x分钟，则陈老师的工作效率为3根据"张老师

与陈老师共同整理20分钟的工作量+陈老师再单独整理了20分钟的工作量=1",

列方程求解即可；

(2)根据陈老师的整理时间不能超过30分钟，列不等式求解即可.

【详解】(1)解：设陈老师单独整理完这批图书需要比分钟，则陈老师的工作效率为:,

由题意，可得：20(^+!)+20x1=l,

解得：%=80,

经检验，x=80是原分式方程的解，

答：陈老师单独整理完这批图书需要80分钟；

(2)解：设张老师要整理y分钟，

由题意,可得：(1—金+白W30,

解得：y>25,

答：若陈老师的整理时间不超过30min,要整理完这批图书，张老师至少要整理25分

钟.

【题型5分式方程应用-行程问题】

30.甲、乙两组学生从学校出发，去距学校4.5km的敬老院打扫卫生，甲组学生步行出发

0.5h后，乙组学生骑自行车开始出发，骑自行车速度是步行速度的3倍，结果两组学生

同时到达敬老院.步行与骑自行车的速度各是多少？

【答案】6km/h；18km/h

【分析】本题主要考查分式方程的运用，理解数量关系，正确列分式方程求解是关键.

设步行速度为xkm/h,则自行车的速度为3比km/h,由此列分式方程求解即可.

【详解】解：设步行速度为xkm/h,则自行车的速度为3久km/h,

4.5_-4.5

二05=宝,

解得，x=6,

检验，当x=6时，原分式方程有意义，

二步行速度为6km/h,

.-.3x=3x6=18km/h,

•・•自行车的速度为18km/h.

31.某旅行社组织游客从甲地到乙地的博物馆参观，已知甲地到乙地的路程为210千米，乘

坐a型车比乘坐B型车少用1小时，a型车的平均速度是2型车的平均速度的1.5倍，求B

型车的平均速度.

【答案】B型车的平均速度为70千米每小时

【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，解题的关键是找准等量关系.

设B型车的平均速度为x千米每小时，根据时间找等量关系，列出方程求解检验即可.

【详解】解：设B型车的平均速度为万千米每小时，根据题意得，

210210

--------------=1

x1.5%

解得久=70,

经检验，x=70是原分式方程的解，并符合题意，

所以，B型车的平均速度为70千米每小时.

32.甲乙两车从/地前往相距120千米的2地，甲车的速度是乙车的1.5倍，乙车比甲车早

出发1小时，乙车到达8地20分钟后甲车才到，求甲乙两车各自的速度.

【答案】乙车的速度为60km/h,甲车的速度为90km/h.

【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设乙车的速度为赤m/min,则甲车的速

度为1.5xkm/min,根据乙车比甲车早出发1小时，乙车到达8地20分钟后甲车才到建

立方程求解即可.

【详解】解：设乙车的速度为xkm/min,则甲车的速度为1.5久km/min,

由题意得，+60—20=

解得x=1,

经检验，久=1是原方程的解，且符合题意，

•••1.5%=1.5,

.,.lkm/min=60km/h,1.5km/min=90km/h.

答：乙车的速度为60km/h,甲车的速度为90km/h.

33.列分式方程解应用题

甲、乙两地相距1200km,从甲地到乙地乘高铁列车比乘特快列车少用8h,已知高铁列

车的平均行驶速度是特快列车的3倍，乘高铁列车从甲地到乙地需要多长时间？

【答案】乘高铁列车从甲地到乙地需要4h.

【分析】此题考查分式方程的实际运用.由路程+速度=时间，利用"乘高铁列车从甲地

到乙地比乘特快列车少用8h,高铁列车的平均行驶速度是特快列车的3倍〃得出等量关

系即可建立方程求得答案即可.

【详解】解：设高铁列车从甲地到乙地的时间为yh,则特快列车从甲地到乙地的时间

为0+8）h,

…g口二―,口12001200

根据题思得亏-=3x亍话，

解这个方程得y=4,

经检验，y=4是原分式方程的根，

答：乘高铁列车从甲地到乙地需要4h.

34.某天上午，甲乙两位同学相约去博物馆参观，甲乘坐出租车，乙乘坐公共汽车，到博物

馆门口集合，行进路线如图所示.参观回来后，两个人对话如下：

甲说：我家到博物馆的距离是12km,我比你晚出发了20分钟，还比你早到了10分钟；

乙说：我家到博物馆比你家近2km,你的速度是我的速度的3倍；

甲说：参观结束，我们11：00一起乘坐出租车按原路返程；

乙说：我们一起在我家下车后，你是步行回家的.

⑴若设乙的速度是xkm/h,则甲的速度为km/h（用含x的代数式表示）；

（2）求甲乙两人的速度分别是每小时多少千米？

⑶若甲同学最晚在11：45回到家，则步行速度至少是km/h（结果精确到

0.1）?

【答案】（1）3%

（2）甲的速度为每小时36千米，乙的速度为每小时12千米；

(3)4.2km/h

【分析】此题考查了分式方程的应用，列代数式、一元一次方程的应用.

(1)根据甲的速度是乙的速度的3倍即可写出答案；

(2)设乙的速度是xkm/h,则甲的速度为3xkm/h,甲比乙晚出发了20分钟，还比乙

早到了10分钟，据此列方程并解方程，检验后即可得到答案；

(3)设步行速度为。km/h,甲同学最晚在11：45回到家，据此列方程，解方程即可

求出答案.

【详解】(1)解：若设乙的速度是比km/h,则甲的速度为3xkm/h,

故答案为：3x

(2)设乙的速度是xkm/h,则甲的速度为3xkm/h,

„,,12-21230

则-------=—,

八Jx3x60

解得％=12,

经检验，％=12是分式方程的解且符合题意，

则3%=36,

答：甲的速度为36km/h,乙的速度为12km/h

(3)设步行速度为ukm/h,

12-22_45

K石，

解得vX4.2

答：步行速度至少是4.2km/h

35.小李从4地出发去相距4.5千米的8地上班，他每天出发的时间都相同.第一天步行去上

班结果迟到了5分钟.第二天骑自行车去上班结果早到10分钟.已知骑自行车的速度

是步行速度的1.5倍.

⑴①求小李步行的速度和骑自行车的速度分别为多少千米/小时？

②小李恰好不迟到时，从4地到B地所用的时间为小时；

(2)有一天小李骑自行车出发，出发1.5千米后自行车发生故障.若小李立即跑步去上班,

且恰好提前5分钟到达，求跑步的速度为多少千米/小时？

【答案】(1)①小李步行的速度为6千米/小时，则骑自行车的速度为9千米/小时；

②I

⑵跑步的速度为7.2千米/小时

【分析】本题考查了分式方程的应用及一元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关

系，列出方程.

(1)①设小李步行的速度为X千米/小时，则骑自行车的速度为1.5X千米/小时，由题意：

小李从/地出发去相距4.5千米的8地上班，他每天出发的时间都相同.第一天步行去

上班结果迟到了5分钟.第二天骑自行车去上班结果早到10分钟，列出分式方程，解

方程即可；

②根据求出的速度，列式求出结果即可；

(2)设小李跑步的速度为加千米/小时，根据出发1.5千米后自行车发生故障，跑步去上

班，恰好提前5分钟到达，列出一元一次方程，解方程即可.

【详解】(1)解：①设小李步行的速度为x千米/小时，则骑自行车的速度为1.5x千米

/小时，

।xa4.554.510

由题思倚：丁一而=笳+而，

解得：x-6,

经检验，％=6是原方程的解，且符合题意，

则1.5久=9,

答：小李步行的速度为6千米/小时，则骑自行车的速度为9千米/小时;

②小李恰好不迟到时，从4地到B地所用的时间为：

-一示=耳(小时)；

-7OOUo

(2)解：小李骑自行车出发1.5千米所用的时间为1.5+9=《(小时)，

6

设小李跑步的速度为6千米/小时，

由题意得1.5+(|-1-±)m=4.5,

解得：m=7.2,

答：为了提前5分钟到达，则跑步的速度为7.2千米/小时.

【题型6分式方程应用-销售问题】

36.某商场用3000元购进一批商品，售完后，第二次购进这种商品时，每件的进价提高了

20%,用3000元购进这种商品的数量比第一次少了10件.

(1)求该商场第二次购进这种商品时每件商品的价格；

(2)若该商场两次购进的商品售价均为70元，且全部售完，求两次售出这种商品的总利

润.

［答案］(1)该商场第二次购进这种商品时每件商品的价格为60元

(2)两次售出这种商品的总利润为1700元

【分析】本题考查分式方程的实际应用，正确的列出分式方程是解题的关键：

(1)设第一次购进这种商品时每件商品的价格为久元，根据第二次购进这种商品时，每

件的进价提高了20%,用3000元购进这种商品的数量比第一次少了10件，列出方程进

行求解即可；

(2)根据总利润等于总售价减去总成本，列出算式进行计算即可.

【详解】(1)解：设第一次购进这种商品时每件商品的价格为x元，由题意，得：

3000_3000

-F=(l+20%)x+10'

解得：%=50；

经检验x=50是原方程的解，

•••(1+20%)*=1-2义50=60；

答：该商场第二次购进这种商品时每件商品的价格为60元；

(2)由(1)可知，第一次购进商品3000+50=60件，第二次购进商品60—10=50

件，

.-.70X(60+50)-3000X2=1700(元)；

答：两次售出这种商品的总利润为1700元.

37.随着农业数字化转型加速推进，某乡村振兴示范县积极发展特色农产品电商产业.当地

一家农产品电商店铺计划购进两种以本地特色花卉为原料的加工产品，已知购进一个N

产品比购进一个2产品多5元，且用1600元购进2产品的数量与用1800元购进/产

品的数量相等.求购进一个/产品，一个8产品各需要多少元？

【答案】购进一个/产品45元，购进一个2产品40元

【分析】本题主要考查分式的运用，理解数量关系，正确列分式方程求解是关键.

设购进一个8产品x元，则购进一个N产品(x+5)元，根据数量关系列分式方程求解即

可.

【详解】解：设购进一个8产品x元，则购进一个/产品Q+5)元,

•.•用1600元购进8产品的数量与用1800元购进4产品的数量相等

1600_1800

xx+5

解得，x=40,

检验，当x=40时，x（x+5）*0,

•・•久=40是原分式方程的解，则久+5=40+5=45（元）

.•.购进一个/产品45元，购进一个8产品40元.

38.某校为了让学生体验农耕劳动，开设了校园劳动基地.现计划购买甲、乙两种型号的劳

动工具.已知甲型劳动工具的单价比乙型劳动工具少3元，且用300元购买甲型劳动工

具的数量与用345元购买乙型劳动工具的数量相等.求甲型号劳动工具的单价.

【答案】甲型劳动工具的单价为20元.

【分析】本题考查了分式方程的应用，设甲型劳动工具的单价为x元，则乙型劳动工具

的单价为Q+3）元，根据"用300元购买甲型劳动工具的数量与用345元购买乙型劳动

工具的数量相等"列分式方程，解方程并检验即可.

【详解】解：设甲型劳动工具的单价为x元，则乙型劳动工具的单价为（久+3）元.

根据题意，得哼=冷，

解得x=20.

经检验，x=20是原方程的解且符合题意，

贝1］久+3=23,

答：甲型劳动工具的单价为20元.

39.全国节能宣传周是实施全面节约战略、开展节能降碳宣传教育、推动形成绿色低碳生产

生活方式的重要举措.某小区计划近期更换小区内照明灯，经过市场调研发现，4种型

号节能灯的单价比B种型号节能灯的单价贵10元，且用5000元购买的4种型号节能灯

的数量与用3000元购买的B种型号节能灯的数量相同，求两种型号节能灯的单价.

【答案】A种型号节能灯的单价为25元，则甲型号节能灯的单价为15元

【分析】本题主要考查了分式方程的应用，审清题意、正确列出分式方程是解题的关键.

设A种型号节能灯的单价为x元，则B型号节能灯的单价为10）元，根据“用5000

元购买的4种型号节能灯的数量与用3000元购买的B种型号节能灯的数量相同"列分式

方程求解即可.

【详解】解：设/种型号节能灯的单价为x元，则8型号节能灯的单价为Q-10）元，

解得：x=25,

经检验，x=25是分式方程的解.

所以刀-10=25—10=15.

答：N种型号节能灯的单价为25元，则甲型号节能灯的单价为15元.

40.某公司计划共花费2800元为所有员工网购工作服，恰逢双11购物狂欢节，商家将服

装原价上涨40%后再打五折，该公司实际比原计划可多买3件.

(1)求每件服装的原价；

(2)若该公司按原计划数量购买服装，将剩余的钱用来购买围巾和袜子.一条围巾的售

价比一双袜子的售价的12倍还多2元.该公司给每位员工购买了2条围巾和5双袜子,

恰好用完剩余的钱.求一双袜子的售价.

【答案】⑴每件服装的原价为400元

(2)一双袜子的售价为4元

【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次方程的应用，理解题意，找准等量关系，

正确列出一元一次方程和分式方程是解此题的关键.

(1)设每件服装的原价为X元，根据题意列出分式方程，解方程即可得解；

(2)先计算出该公司的员工人数，设一双袜子的售价为y元，则一条围巾的售价为

(12y+2)元，根据题意列出一元一次方程，解方程即可得解.

【详解】(1)解：设每件服装的原价为%元，

根据题意得：(1+；黑。-等=3,

解得：%=400,

经检验，x=400是所列方程的解，且符合题意.

答:每件服装的原价为400元；

(2)解：该公司共有员工2800+400=7(人)，

设一双袜子的售价为y元，则一条围巾的售价为(12y+2)元，

根据题意得：2X7(i2y+2)+5X7y=(1+40%)X400X0.5X3,

解得：y-4,

答：一双袜子的售价为4元.

41.今年春节期间开州区紫水豆干凭借过硬的质量、优质的口碑大火，豆干店的王老板用

2500元购进一批紫水豆干，很快售完；王老板又用4400元购进第二批紫水豆干，所购

数量是第一批的2倍，由于进货量增加，第二批进价比第一批每千克少了3元.求第一

批紫水豆干每千克的进价是多少元.

【答案】第一批紫水豆干每千克的进价是25元.

【分析】本题考查分式方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程;

设第一批紫水豆千每千克的进价是x元，根据第二批所购紫水豆干数量是第一批的2倍

列方程，求解即可.

【详解】解：设第一批紫水豆千每千克的进价是x元，

,,,4400„2500

由题意，Z得,。=2X丁，

解得久=25,

经检验x=25是原方程的解，

答：第一批紫水豆干每千克的进价是25元.

42."冬吃萝卜夏吃姜，不劳医生开药方"，冬季吃萝卜好处多.某蔬菜批发店销售圆萝卜和

长萝卜，已知圆萝卜每箱售价是长萝卜每箱售价的1.5倍，经调查发现销售450元的圆

萝卜箱数比销售400元的长萝卜箱数要少5箱.

(1)求圆萝卜和长萝卜每箱售价分别为多少元？

(2)该蔬菜批发店12月第一周销售圆萝卜100箱，长萝卜150箱.第二周该店调整价格，

圆萝卜打折销售，长萝卜售价不变，结果第二周圆萝卜的销量比上周增加了20%,长萝

卜的销量比上周减少了30箱，最后发现第二周的销售总金额比第一周的销售总金额少

7540元，请问圆萝卜打了几折？

【答案】⑴圆萝卜每箱售价为30元，长萝卜每箱售价为20元；

(2)圆萝卜打了八五折.

【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，掌握相关知识是解题的

关键.

(1)设长萝卜每箱售价为久元，则圆萝卜每箱售价为1.5久元，根据题意，得当-照=5,

求解即可；

(2)设圆萝卜打了a折，根据题意列出方程，求解即可.

【详解】(1)解：设长萝卜每箱售价为久元，则圆萝卜每箱售价为1.5x元，根据题意得：

400450

---------------=5

x1.5%'

解得：％=20,

经检验，x=20是所列方程的解，且符合题意,

•••1.5%=1,5X20=30.

答：圆萝卜每箱售价为30元，长萝卜每箱售价为20元；

(2)解：设圆萝卜打了m