2024-2025学年四川省凉山州高二数学下学期第二周考试试卷（含答案）

2024-2025学年四川省凉山州高二数学下学期第二周考试试卷

一、单选题

1.已知集合河={-2,—1,0,1,2},N=2T-62。},则McN=()

A.{-2,-1,0,1}B.{0,1,2}C.{-2}D.2

2.在复平面内，复数z对应的点的坐标是贝卜的共轨复数彳=()

A.1+V3ZB.1-V3i

C.-1+V3iD.-1-百

3.在一ABC中，(a+c)(sinA-sinC)=Z?(sinA-sinB),则NC=(

,712兀5兀

A.-C.—D.

63T

4.已知向量〃=(3』),b=(2,2),则cos(〃+Z?,Q—b)=(

B.叵26

AC.D.

-17175"I-

22

5.双曲线土-匕=1的渐近线方程是(

49

2尸±3

AA.y=+-3xB.y=±—xC.D.

349

6.圆G：Y+/+2x+2y-2=0和圆。2：/+/—4x-2y+1=0的公切线的条数为()

A.1B.2C.3D.4

7.记S〃为等差数列｛4｝的前〃项和.若。2+%=1。，%。8=45,则05=()

A.25B.22C.20D.15

8.下列函数中，在区间(0,+8)上单调递增的是()

A./(x)=-ln.xB./(x)=]

2

c./(%)=--D./(x)=3M

二、多选题

9.下列统计量中，能度量样本4尤2，，尤“的离散程度的是()

A.样本占,9，的标准差B.样本%,马,一，%的中位数

C.样本石，尤2,一，%的极差D.样本石，龙2，，无“的平均数

10.下列函数中既是奇函数，又是定义域上的减函数的是()

A.〃龙)=-3%5B./(x)=2v

C.=1D./(%)=-2%3

11.某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修排

气扇恢复正常，排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为64ppm,继续排气4分钟后又测得浓

度为32ppm.由检验知该地下车库一氧化碳浓度y(单位：PPm)与排气时间/(单位：分钟)

之间满足函数关系>=配将(a,R为常数，e是自然对数的底数).若空气中一氧化碳浓度不高于

O.5ppm,人就可以安全进入车库了，则下列说法正确的是()

A.a-128

B.7?=-ln2

4

C.排气12分钟后浓度为16Ppm

D.排气32分钟后，人可以安全进入车库

12.已知正方体贝I()

A.直线Bq与所成的角为90°B.直线BG与C4所成的角为90°

C.直线3G与平面B8QQ所成的角为45。口.直线BG与平面相切所成的角为45°

三、填空题

13.掷一枚骰子，记事件4掷出的点数为偶数；事件必掷出的点数大于2.下面说法正确的是.

(1)P(A)>P(B)(2)P(AB)>P(AB)(3)P(AB)>P(AB)

14.若0e(ogltan。=；,贝!Jsin6-cose=.

15.己知直线/：尤一冲+1=0与(C:(x-iy+y2=4交于48两点，写出满足“ABC面积为彳”

的m的一个值.

16.底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2,高为3的正

四棱锥，所得棱台的体积为.

四、解答题

17.记上WC的内角A,3,C所对边分别为〃，瓦c,已知b(3cosC-l)=c(l-3cos5).

⑴证明：(+c=3a；

(2)求cosA的最小值.

18.已知曲线丁=/(X)=%3.求:

(1)曲线。上横坐标为1的点处的切线方程；

(2)(1)中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？

19.如图，在三棱锥A-BCD中，平面5CD,平面平面ABD,AC=AD,AB=BD.

⑵求二面角A-CD-B的余弦值.

20.如图，点/、8分别是椭圆5+《=1长轴的左、右端点，点户是椭圆的右焦点，点尸在椭圆上,

3620

且位于X轴上方，PA±PF.

(1)求点尸的坐标;

(2)设〃是椭圆长轴A3上的一点,〃到直线AP的距离等于\MB\,求椭圆上的点到点〃的距离d的

最小值.

21.某景点某天接待了1000名游客，其中老年500人，中青年400人，少年100人，景点为了提

升服务质量，采用分层抽样从当天游客中抽取100人，以评分方式进行满意度回访.将统计结果按

照[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分成5组，制成如下频率分布直方图：

(1)求抽取的样本老年、中青年、少年的人数;

(2)求频率分布直方图中a的值;

(3)估计当天游客满意度分值的75%分位数.

22.记S"为数列｛%｝的前A项和.已知一s-+n=2an+l.

n

(1)证明：｛%｝是等差数列；

(2)若%，%，%成等比数列，求S"的最小值.

参考答案:

1.c

【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合N,即可根据交集的运算解出.

方法二：将集合“中的元素逐个代入不等式验证，即可解出.

【详解】方法一：因为N={巾2-x-6N0}=(y,-2]63,+功，而M={-2,-1,0,1,2},

所以AfcN={-2}.

故选：C.

方法二：因为M={-2,-1,0,1,2},将-代入不等式尤2-X-620,只有-2使不等式成立,

所以McN={—2}.

故选：C.

2.D

【分析】根据复数的几何意义先求出复数z,然后利用共辗复数的定义计算.

【详解】z在复平面对应的点是(T,6)，根据复数的几何意义，z=T+gi,

由共轨复数的定义可知，z=-l-V3i.

故选：D

3.B

【分析】利用正弦定理的边角变换与余弦定理即可得解.

【详解】因为(。+c)(sinA-sinC)=b(sinA-sinB),

所以由正弦定理得m+。）（。—C）=b（a—b）,^a2-c2=ab-b2,

a2+b2-c2ab

则a2+b2—c2=ab故cosC=

lablab2

TT

又0<C<7i,所以c=§.

故选：B.

4.B

【分析】利用平面向量模与数量积的坐标表示分别求得卜+4卜-4(a+6>(a-6),从而利用平面

向量余弦的运算公式即可得解.

【详解】因为”=(3,l),b=(2,2),所以。+6=(5,3),。-6=(1,-1),

则1+0=q5。+3?=5^4,|(?—/?|=V1+1=>72,(a+6).(q_6)=5xl+3x(_l)=2,

/---\\a+b\\a-b\2而'

所以cos(a+6M-b)=^~~「广=".

、/卜+闻后义近17

故选：B.

5.A

【分析】直接利用双曲线方程求解渐近线方程即可.

尤2

【详解】双曲线上2-V匕=1的渐近线方程是：y=±39

492

故选:A

6.B

【分析】根据圆的一般式判断圆心与半径，利用几何法判断两圆位置关系，进而确定公切线的数

量.

【详解】两个圆Cl：x2+y2+2x+2y-2=。与C2：x2+y2-4x-2y+l=0,

••.圆C|圆心为(-1,—1),半径为2,圆G圆心为(2,1),半径为2,

二两圆圆心距为7(-1-2)2+(-1-1)2=V13,

2-2<713<2+2=4,

两圆相交，有2条公切线.

故选：B.

7.C

【分析】方法一：根据题意直接求出等差数列｛%｝的公差和首项，再根据前“项和公式即可解出;

方法二：根据等差数列的性质求出等差数列｛4｝的公差，再根据前〃项和公式的性质即可解出.

【详解】方法一：设等差数列｛%｝的公差为d,首项为生,依题意可得，

%+4=4+d+4+5d=10,即4+3d=5,

又的8=(6+3d)(6+7d)=45,解得：d=l,%=2,

5x4

所以S5=5q+-y-xd=5x2+10=20.

故选：c.

方法—*：%+〃6=2〃4=1。，〃4。8=45,所以〃4=5,。8=9,

从而d=£l=i,于是“=g_[=5_1=4,

8-4

所以S5=5%=20.

故选：C.

8.C

【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC,举反例排除D即可.

【详解】对于A,因为y=lnx在（0,+向上单调递增，在（0,+e）上单调递减，

所以〃x）=-lnx在（0,+力上单调递减，故A错误；

对于B,因为y=2,在（0,+8）上单调递增，y=g在（0,+e）上单调递减，

所以〃力=，在（0,+8）上单调递减，故B错误；

对于C,因为y在（0,+动上单调递减，在（0,+e）上单调递减，

所以〃切=」在（0,+e）上单调递增，故C正确；

X

对于D因为吗）=3切=3—5/（I）=3M=3°=1,/（2）=3IM=3,

显然〃尤）=3门在（0,+向上不单调，口错误.

故选：C.

9.AC

【分析】考查所给的选项哪些是考查数据的离散程度，哪些是考查数据的集中趋势即可确定正确

选项.

【详解】由标准差的定义可知，标准差考查的是数据的离散程度；

由中位数的定义可知，中位数考查的是数据的集中趋势；

由极差的定义可知，极差考查的是数据的离散程度；

由平均数的定义可知，平均数考查的是数据的集中趋势；

故选：AC.

10.AD

【分析】由解析式直接判断函数的奇偶性与单调性即可得解.

【详解】对于A,/(x)=-3V是奇函数，在其定义域上单调递减，故A正确；

对于B,/(*)=2*是在其定义域上单调递增的指数函数，故B错误；

对于C,==故=：在其定义域上不单调递减，故C错误；

1

对于D,〃尤)=_2/是奇函数，在其定义域上单调递减，故D错误.

故选：AD.

11.ACD

【分析】由题意列式，求出。=128,R=-：ln2,即可判断A,B；可得函数解析式，将x=12代入,

即可判断C；结合解析式列出不等关系，求出人可以安全进入车库的排气时间，判断D.

a.e4R=64

【详解】设/。)=。/'，代入(4,64),(8,32),得8S…

a-e=32

解得a=128,R=」ln2,A正确，B错误.

4

.(1Y7£

此时加)=128卜口)=2，.24=24,所以，12)=24=16(ppm),C正确.

当了⑺40.5时，即27—40.5=2-，得7-;《一1,所以此32,

所以排气32分钟后，人可以安全进入车库，D正确.

故选:ACD.

12.ABD

【分析】数形结合，依次对所给选项进行判断即可.

【详解】如图，连接与C、BG，因为图〃与C,所以直线BG与2。所成的角即为直线与。4

所成的角，

因为四边形防。。为正方形，则4CJ.BG，故直线BG与所成的角为90。，A正确;

连接A|C,因为44,平面B4GC，8^<=平面8耳£。，则

因为与c„L8C1,A44c=4,所以BGJ.平面A4C,

又ACU平面A4C,所以BG^CA,故B正确；

连接AG，设ACBR=O,连接BO,

因为3月_L平面AfiGR，。1。(=平面4用。12，则

因为GO_LB12，B,D1^BlB=Bl,所以CQ，平面88QD,

所以ZQBO为直线BCX与平面3BQD所成的角，

设正方体棱长为1,则CQ=也，BC\=M，sinZC1B0=-1^=|,

所以，直线BG与平面88QD所成的角为30,故C错误；

因为GC，平面A3CD,所以NGBC为直线8G与平面ABCD所成的角，易得“其=45,故D

正确.

故选：ABD

13.(3)

【分析】根据对应事件求概率，即可比较.

【详解】掷一枚骰子共6种情况，偶数点有2,4,6,大于2的点有3,4,5,6,

1o

则尸(A)=JP⑻=鼻,P(A)<P(B),故(1)错误；

A豆表示既为偶数又是小于等于2的点，只有2,所以尸(■)=%,

通表示既为奇数又是大于2的点，有3,5,所以川通)=；,P(AB)<P(AB),故(2)错误；

A3表示既为偶数又是大于2的点，有4,6,所以P(A2)=；,

而表示既是奇数又是小于等于2的点，有1,所以尸（而）=，，P（AB）>P（AB）,故（3）正确.

故答案为：（3）

14.一好

5

【分析】根据同角三角关系求sin。，进而可得结果.

【详解】因为。e1°，；；贝l］sin6>0,cose>0,

又因为tan6>=^-^=i,则cos夕=2sin，，

cosd2

_&cos23+sin20=4sin20+sin20=5sin20=1,I?Wsin9=—sin0=--（舍去），

55

所以sin6-cos6=sin8-2sin6=-sin6=-.

5

故答案为：-好.

5

15.2（2,—2,；,—；中任意一个皆可以）

【分析】根据直线与圆的位置关系，求出弦长|谡|,以及点。到直线AB的距离，结合面积公式

即可解出.

【详解】设点C到直线A5的距离为d,由弦长公式得|AB|=244-储,

所以Z.c=2xdx2j4—d2=］，解得：d=述或］=也，

2555

11+11224垂22旧1

由1=+^=下-，所以=华或下J=等，解得：加=±2或"7=土:.

\l+mvl+myjl+m25，1+452

故答案为：2（2,-2,1,-］中任意一个皆可以）.

22

16.28

【分析】方法一：割补法，根据正四棱锥的几何性质以及棱锥体积公式求得正确答案；方法二:

根据台体的体积公式直接运算求解.

【详解】方法一：由于:=而截去的正四棱锥的高为3,所以原正四棱锥的高为6,

42

所以正四棱锥的体积为gx（4x4）x6=32,

截去的正四棱锥的体积为:x（2x2）x3=4,

所以棱台的体积为32-4=28.

方法二：棱台的体积为gx3x06+4+VI^）=28.

故答案为：28.

17.（1）证明见解析

⑵》

【分析】（1）将已知条件利用两角和差公式与正弦定理即可计算出结果；

（2）利用第一问的结果代入cosA的余弦定理表达式，再利用基本不等式即可得到结果.

【详解】（1）已知跳3cosc=3cos5）,

由正弦定理得：sinB（3cosC-l）=sinC（l-3cosB）,

整理得：sinC-3cosBsinC=3sinBcosC-sinB,

sinB+sinC=3（cosBsinC+sinBcosC）=3sin（B+C）......①

因为A=7i—（5+C）nsinA=sin（兀一（5+C））=sin（B+C）......②

②代入①有：sinB+sinC=3sinA,

再由正弦定理得Z?+c=3〃.

（2）由余弦定理得：

2222222

4b+c-a9b+9c-（b+cV8（b+c）-2bcSx2bc-2bc7

2bc-18A-18bc~18A9

7

当且仅当b=c时，等号成立，所以cosA的最小值为

18.(1)3x-y-2=0；(2)切线与曲线。的公共点除了切点外，还有另外的公共点(-2,-8).

【分析】(1)由导数的定义得出V=3l,再由导数的几何意义求出切线方程；

[3x-y-2=0

(2)由=j求出该切线与曲线。的其他公共点.

【详解】(1)将尤=1代入曲线。的方程，得y=i

二.切点为p(U)

,「Ay..(x+Ax)3-x3

y=hm——=lim-----------

——°Ax-Ax

,3X2AX+3x(Ax)?+(Ax)3

=lim--------------------

"f。Ax

=lim[3炉+3xAx+(Ax)2^|=3x2

A=i=3

过尸点的切线方程为y-1=3(x-1),

即3x-y-2=0；

Bx—y-2=0,

(2)由j)可得(X-1)2(X+2)=°

解得%=1,々=-2

从而求得公共点为(1,1)和(-2,-8).

说明切线与曲线C的公共点除了切点外，还有另外的公共点(-2,-8).

19.(1)证明见解析

⑵B

3

【分析】(1)利用线面垂直及面面垂直的性质证明即可；

(2)方法一、利用几何法，取CO中点并连接40、BM,结合条件证线线垂直，利用二面

角定义解三角形即可，方法二、构造合适的空间坐标直角系，利用空间向量计算二面角即可.

【详解】(1)依题意，面BCD,且RD,BCu面BCD,

所以ABSBC,AB±BD,

因为面ABC上面BCD,面ABCc面=3£>u面BCD,且

所以此上面ABC,

因为BCu面ABC,

所以3C_L3D.

（2）方法1、取CO中点并连接AM、BM.

由勾股定理可知3C=7AC2-AB2=VAD2-AB2=BD=AB-

因为BC=BD,所以BMLCZ）；

则根据二面角定义可知NAMB是二面角A-CD-B的一个平面角，

且由图可知拉为锐角.

又因为A52面5c。，同理（1）可知

设AB=a,可得创/=受°,贝！|A/=^a,

22

r-r|>r/..BM^3

所以cosZAMB=---=——，

AM3

即二面角A-CD-B的余弦值为赵.

3

方法2、

由（1）可知，AB.BC、即三者两两相互垂直，

故以点B为坐标原点，分别以BC、BD、2A的方向为X、，、z轴的正方向，建立空间直角坐标

系.

由勾股定理可知BC=VAC2-AB2=y/AD2-AB2=BD=AB-

不妨设AB=a,则4（0,0,4）,3（0,0,0）,。（60,0）,。（0,七0）,

所以AC=(a,0,-a),AD=(0,a,-«),

易得平面BCD的一个法向量可以是4=（0,0,1）,

设平面ACD的一个法向量为%=（尤,y,z）,

n•AC=ax-az=0

所以2,取z=l=%=y=l,

n2-AD=ay—az=0

故可得平面AC。的一个法向量可以是%二（1,1,1）.

设二面角A-CD-8的一个平面角为。，且由图可知。为锐角.

,I।鼠川1石

则COSa=COSHj,^=|―rq一?=~^==――,

网］叫‘33

即二面角A-CD-B的余弦值为

3

20.⑴。孚j

⑵V15

【分析】（1）设出尸点坐标,代入椭圆方程,根据PAYPF列出方程联立即可求出P点坐标；

（2）设出/点坐标,根据〃到直线AP的距离等于IMBI,列出方程,求出M点坐标,设出椭圆上点的

坐标,根据两点间距离公式列出式子，将M点坐标满足的椭圆方程代入消儿可得到关于x的二次

函数,配方即可求得距离平方的最小值,进而求得距离的最小值.

【详解】（1）解：由题知1+1=1，

3620

a=6,b=2A/5,c=4,

"（-6,0）,3（6,0）,尸（4,0）,

22

户在椭圆上,不妨设P（x,y）,.•.工+匕=1,

3620

PA1PF,:.APFP=0,

.-.(x+6,y)-(x-4,_y)=0,

即x2+2x-24+y2=0,

3620

两式联立可得:

35后

x=一,y=------

22

故点尸的坐标为

(2)〃是椭圆长轴上的一点,

不妨设M（m,0）,me[-6,6],

A（-6,0）,P

/.I:x-+6=0,

〃到直线AP的距离等于IM31,

|m+6|

/=6-m

Vl+3

gp|m+6|=12-2m,因为相£[-6,6]

所以/+6=12—2m

解得机=2

设Q（x,y）为椭圆任一点，

则满足《+〈=1，即/=180~5%\

JOzu9

则d=QM=J（x—22+<

故当％=1•时d有最小值为V15.

21.(1)50；40；10

(2)o=0.020

⑶82.5.

【分析】(1)由题意可先确定抽样比为5:4:1,分别计算可求得结果；

(2)由频率分布直方图中所有小正方形面积为1,即可解得。=0.020；

(3)由百分位数的定义计算即可得游客满意度分值的75%分位数为82.5.

【详解】(1)老年、中青年、少年的人数比例为500:400:100=5:4:1,

故抽取100人，样本中老年人数为100=5。人，

5+4+1

一4

中青年人数为1。。x