2024-2025学年四川省泸州市泸县高二数学上学期第一次月考检测试题（含答案）

2024-2025学年四川省泸州市泸县高二数学上学期第一次月考

检测试题

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

个选项是符合题目要求的.

1.已知力很=(2,1/)，则2G+B等于()

A.(4,1,-1)B,(4,1,1)c(3,1,1)工(3」，°)

【答案】A

【解析】

【分析】根据空间向量的坐标运算可得.

【详解】因为3=(2,U),

23+6=2(1,0,-1)+(2,1,1)=(4,1,-1)

//I匕人•

故选：A

2.把红、蓝、黑、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得一张，事件“甲分得红牌”

与事件“乙分得红牌”是()

A.对立事件B.必然事件

C.互斥但不对立事件D.不可能事件

【答案】C

【解析】

【分析】事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”不可能同时发生，也可能都不发生

【详解】事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”不可能同时发生，

也可能都不发生，故它们是互斥但不对立事件

故选：C

【点睛】两个事件互斥指的是不能同时发生，两个事件对立指的是不能同时发生，但必有一个发

生.

3.设x,"R向量"=("』」)，3=(1),1),。=(2,-4,2)且bHct则

|万+B|=o

A.2&B,厢C,3D,4

【答案】C

【解析】

【分析】根据a'B,bHc,解得x,%然后由空间向量的模公式求解.

【详解】因为向量"（X」」）,3=（1，，1）,己=（2，-4,2）且由力3得》+了+1=0,由

1_y_

bUc,得5-4解得了=-2,x=l,所以向量"=（1,1,1）,3=（1,—2,1）,

所以2+B=（2,T,2）,

所以m+Bi=JF而声=3

故选：C

4.在一个不透明的袋子里装有四个小球，球上分别标有1,2,3,4四个数字，这些小球除数字

外都相同.甲、乙两人玩“猜数字”游戏，甲先从袋中任意摸出一个小球，将小球上的数字记为

m,再由乙猜这个小球上的数字，记为〃.如果如〃满足帆一叶41,那么就称甲、乙两人“心

领神会”，则两人“心领神会”的概率是（）

13.5

A.4B.8C.2D.8

【答案】D

【解析】

【分析】用列举法列出处〃的所有情况，根据古典概型的概率公式计算.

【详解】根据题意，如〃的情况如下：（1，1），（1，2）。3）,（1,4）,（2,1）,（2,2）,（2,3）,（2,4）,

（3,1）,（3,2）,（3,3）,（3,4）,（4,1）,（4,2）,（4,3）,（4,4）,共、种情况，

其中如〃满足帆一"归1的情况如下：

（1,1）,（1,2）,（2,1）,（2,2）,（2,3）,（3,2）,（3,3）,（3,4）,（4,3）,。4）,共］0种情况，

10_5

所以两人“心领神会”的概率是168.

故选：D.

5.已知a=(2,—l,3),b=(—l,4,—2),c=(7,5"),若a,"c共面，则实数2的值为()

62636560

A.7B.7c.7D.7

【答案】C

【解析】

【分析】根据空间向量的共面定理，存在实数元歹使得-xa+S成立，列出方程组，即可求解.

【详解】由向量a=（2,—1，3）/=（-1,4,-2）,c=（7,5,礼

因为°共面，则存在实数'J使得"=工+还成立，

即(7,5,X)=x•(2,-1,3)+y•(-1,4,-2)成立,

2x-y=l

-x+4y=5_33_17331765

尻―2)=人解得"=7/=亍A=3x--2x—=

T

可得则77

故选：c.

6.如图，平行六面体/8CO一44G0所有棱长都为1,底面4BCD为正方形,

ZA1AB=ZA1AD=60°则对角线的长度为（）

【答案】B

【解析】

【分析】利用基底法求解即可.

【详解】由题知数=4+血+石，

所以NCJ=(AB+AD+AA^^AB\AD\AA^+lAB-AD+lAl)-AA^lAA^AB

222

^AB+AD+AA1+2|2g|•|2o|cos900+2|2D|•|cos600+212^|•|2g|cos60°

=1+1+1+0+1+1=5

所以国卜",即/G=5

故选：B.

8

7.如图，在长方体4co—44G2中，AB=2,5C=cq=1；E为CD中点、,则4到

平面'QE的距离为。

DiG

A.1B.0C.V3D.2

【答案】C

【解析】

【分析】以。为坐标原点，建立合适的空间直角坐标系，求出平面。/£的法向量，利用距离公

式即可得到答案.

【详解】以。为坐标原点，分别以04℃，02为x轴，了轴，z轴，建立空间直角坐标系,

则D(0,0,0),幺(1,0,0),£(0,1,0)/(0,0,1),5(1,2,0),男(1,2,1),

m-DA=(x,y,z)-(l,0,-l)=x-z=0

<x

设平面Q/E的法向量为玩=(x/,z),则［应♦或=(x),2>(l,—l,0)=x—y=0,

令x=l得：y=l,z=l,所以应=(1,1,1),幺用=(0,2,1)

”吗.3

则点与到平面**的距离为由J1+1+1,

故选：C.

DC<

/y\/

I、

11•、、

s

8.在棱长为。的正方体4CD-44G与中，M,N分别为Bl,与G的中点，点尸在正方

体表面上运动，且满足"P'CN,点p轨迹的长度是().

A.(2+括〉B.G+G>

C.(3+6>D.4a

【答案】A

【解析】

【分析】建立空间直角坐标系设点尸(*//),利用"P'CN以及“

,"两点的位置关系可得

点尸的轨迹为四边形MG/f,求出该矩形周长即可得结果.

【详解】在正方体'Be—481G2中,以。为坐标原点，分别以£%,DC,。"为x轴,

y轴，z轴建立空间直角坐标系，

MA/aaa\,/a

.0(0,0,0)^2)C(0,a,0).=

••，，

设尸(…),贝严十之《，T,

_________Ci

4-----G

二/\\乩By

鼠/_________，

rB

a(a\(a\

—x---+QZ-------二0

•；MPA.CN,22)I2J,可得2X+42-3Q=0；

a3a

z——z——

当x=°时，4,当x=0时，4,

取F^a,a,^G[O,a,*]

连结瓦"FG,GH,HE,

则丽=屈=（0,凡0）EH=FG-a,Q,-

四边形E以汨为矩形，则而•国=0,EH-CN=0,

即£尸,CN,EHLCN,又EF和EH为平面EFGH中的两条相交直线,

.•.。2^平面环3笈，

aaaaaa

EM~~,)~MG~,>~,>~

又224224

为EG的中点，则Me平面ENG”,

为使MP1CN,必有点Pe平面EFGH,

又点尸在正方体表面上运动，所以点尸的轨迹为四边形MG",

V5

EH=FG=—a

又EF=GH=a,2，:.EF手EH,则点尸的轨迹不是正方形，

则矩形EFGH的周长为&

故选：A

【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用线面垂直证明MP'CN过程中辅助线较为复杂，所以

建立空间直角坐标系可简化求解过程，得出点尸的轨迹形状即可求得周长.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.设〃是两个不同的平面，/是一条直线，以下命题不正确的是（）

A.若则B,若〃/。，〃/，则/u〃

C,若/,a,0〃广，贝D.若〃/。，。,廿，贝武，/

【答案】ABD

【解析】

【分析】

在正方体中可找到ABD的反例，结合平行与垂直的关系可得结果.

对于A,若〔为他,々为平面/BCD,〃为平面4片。1。1,贝M'a,但"."，A

错误；

对于B,若/为"4,a为平面8CG4,乃为平面。皿牝则///。，〃/分，但B错

误；

对于C,若两平面平行，则垂直于一个平面直线必垂直于另一个平面，C正确；

对于D,若/为"4,a为平面NBC。，〃为平面贝”//a,a'/?,但/<=〃，口

错误.

故选：ABD.

10.有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中不放回的随机取两次，每次取1

个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是偶

数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，丁表示事件”两次取出的球的数字之和是

偶数”，则()

A.乙发生的概率为万B.丙发生的概率为万

C.甲与丁相互独立D.丙与丁互为对立事件

【答案】ACD

【解析】

【分析】先计算出甲乙丙丁的概率，故可判断AC的正误，再根据独立事件的乘法公式可判断C

的正误，根据对立事件的意义可判断D的正误.

【详解】设A为事件“第一次取出的球的数字是奇数”，3为事件“第二次取出的球的数字是偶

数”，

C为事件”两次取出的球的数字之和是奇数”，。为事件“两次取出的球的数字之和是偶数”,

「⑷二,尸⑻

则62,65652,故A正确.

P（Z））=2x-x-=-

655,故B错误.

尸（2。）=^^=1=尸（2）尸

而6x55,故C正确.

两次取出的数字之和要么为奇数，要么为偶数，故丙与丁互为对立事件，

故D正确.

故选：ACD.

11.已知空间向量"=（—2T1）,3=（345）,下列结论正确的是（）

卜卜+©=3石

_V3

B.Z,3夹角的余弦值为6

C.若直线，的方向向量为Z,平面a的法向量为加=（42左），且Ua,则实数上=—2

__--b

D.。在书上的投影向量为1°

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据空间向量的运算，空间位置关系得到向量表示，投影向量的概念依次讨论各选项即

可.

【详解】对于A,Z+%（1，3,6）,*=炉万苕=屈，故人错误；

对于B,因为［（—2T1）,5=（3,4,5）,所以同=&-2）2+（-1）2+12=后,

|^|=732+42+52=572

a_-5_V3

一-2VA一大aC°==

a）=-2x3—lx4+lx5=-5,设。与6的夹角为，，则IIII

故B正确；

-2_-1_J_

对于C,因为"a,所以°〃冽，则42I,解得上=一2,故c正确;

⑸b

____X______--b

6J50

。在刃上的投影向量为10

对于DD正确.

故选:BCD.

12.疫情当下，通过直播带货来助农，不仅为更多年轻人带来了就业岗位，同时也为当地农民销

售出了农产品，促进了当地的经济发展.某直播平台的主播现要对6种不同的脐橙进行选品，其

方法为首先对这6种不同的脐橙(数量均为1),进行标号为广6,然后将其放入一个箱子中，从

中有放回的随机取两次，每次取一个脐橙，记第一次取出的脐橙的标号为4,第二次为出，设

A=幺

-%」，其中㈤表示不超过x的最大整数，则()

P(a,+a1=5)=—'c

A.4B,事件％=6与4=0互斥

C.-12D,事件%=1与4=0对立

【答案】BC

【解析】

【分析】根据有放回的随机取两次结果36种逐个分析判断即可解决.

【详解】由题知，从中有放回的随机取两次，结果有(记为“必2)：

11,12,13,14,15,16,21,22,23,24,25,26,31,32,33,34,35,36,

41,42,43,44,45,46,51,52,53,54,55,56,61,62,63,64,65,66,

共36种，

若%+%=5,此时取1,4或2,3

41

尸(％+%=5)=—=—

所以~369,故A错误；

A=幺>1

若%=6,则［?」恒成立，

所以与/=0互斥，故B正确;

5+4+3+2+15

P(q>a2)=

6^612,故C正确;

_A==1

当%=3,%=2时，［的」，此时事件电=1与4=0均未发生，

所以事件为=1与4=°不对立，故D错误.

故选：BC

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%,现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮

恰有两次命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命

中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮的结果，经随机模

拟产生了如下12组随机数：

137960197925271815952683829436

据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为.

【答案】4##o.25

【解析】

【分析】根据在这12组随机数中，表示该运动员三次投篮恰有两次命中的有3组，即可得出结

论.

【详解】这12组随机数中，表示该运动员三次投篮恰有两次命中的有：

137、271、436共3组,

2__j_

故该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为：124,

故答案为：4.

14.底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2,高为3的正

四棱锥，所得棱台的体积为.

【答案】28

【解析】

【分析】方法一：割补法，根据正四棱锥的几何性质以及棱锥体积公式求得正确答案；方法二:

根据台体的体积公式直接运算求解.

2_£

【详解】方法一：由于12,而截去的正四棱锥的高为3,所以原正四棱锥的高为6,

-x(4x4)x6=32

所以正四棱锥的体积为3,

-x(2x2)x3=4

截去的正四棱锥的体积为3,

所以棱台的体积为32-4=28.

-X3X(16+4+V16X4)=28

方法二：棱台的体积为3'7.

故答案为：28.

15.已知空间中三点”(1,1,6),8(1,-1,2),C(0,0,0),则点/到直线8C的距离为

【答案】班

【解析】

【分析】利用向量的模公式及向量的夹角公式，结合同角三角函数的平方关系及锐角三角函数的

定义即可求解.

［详解］;^(l,l,V3),S(l,-l,2),C(0,0,0),

.-.G4=(1,1,V3),CS=：(1,-1,2)

.".|G4|=#+12+小)=45,\CB\="+(—1)2+(2)2=瓜

cos<CACB>-瓦瓦_lxl+lx(-l)+2V3_2V3_V10

..COS<CA,cn>—I.|-----g-----------------j=------3=------------I———-----------

cJ(c5lV5xV6V305

sin<CA,CB>=yjl-cos2<CA,CB>=晅

设点/到直线BC的距离为“，则

t/=|G4|sin<G4,C5>=V5x^p=V3

故答案为：拒.

16.如图，若正方体的棱长为2,点尸是正方体的底面481Goi上的一个动

点（含边界），。是棱0C的中点，则下列结论中正确结论的序号是.

百兀

①若保持/PQQ=60°,则点P在底面481Goi内运动路径的长度为2

4

②三棱锥乌―口。体积的最大值为3

V15

③若PQLBD,则二面角片-°°—G的余弦值的最大值为5

2

④若PQ’BD则48与尸。所成角的余弦值的最大值为3

【答案】①②④

【解析】

【分析】对于①，易知点尸的轨迹是以C为圆心，半径为r=G的圆在底面内的四分之一圆,

即可知①正确；对于②，ABOA的面积,△磴4=逐为定值，建立空间直角坐标系求得尸到平

276

面8QA的距离最大值为3,可得②正确；对于③，若PQLBD,由空间向量可得二面角

片-0的余弦值的最大值为《，即③错误；异面直线48与尸。所成角的余弦值的最大值

2

为即④正确.

【详解】对于①，根据题意可知QG,平面所以为直角三角形，即

ZPC12=90°；且。£=1

若保持4°G=6（r,可知

所以点尸的轨迹是以G为圆心，半径为‘=001=也的圆在底面内的部分，即为四分之一圆,

1CK国百兀

—x271y——又73—-----

因此点P在底面内的运动路径长度为422,即①正确;

对于②，以2为坐标原点，分别以'/"AG，。］。为X//轴建立空间直角坐标系,

如图所示：易知1（,,）,（），。（，，），贝U1。（，，），0（5）,

设平面BQD［的一个法向量为元=&V，z）,

n-DQ=2y+z=0

<X

可得-2x-z=0,令z=2,可得x=Ty=T,即"=（TT2）；

可设尸（加,〃,0）,0WmW2,0W〃W2,则A尸=（机,〃,0）,

…巫

所以「到平面80口的距离为Ha,易知当加="=2时，距离最大值为3

又在△BQ'中，易知8Q=O©=亚股=2百，所以即边上的高为行;

=X

^ABQDtT2cX=V6

其面积为定值，即2

所以尸到平面8Q2的距离最大时，三棱锥2一四。体积的最大为

,_1/7276_4

X

~S.BQD=T^6X——=-

3t333,即②正确;

对于③，根据正方体性质可知8。工平面”4G。，又。是棱CG的中点，PQ^BD

所以可得点尸在平面“4G。，又点尸在底面44G2内，平面'4G°n平面

AXBXCXDX=4G,所以尸金4G

根据6中的坐标系可知，所以可得0（加，2—加,0）,°<加42

5,（2,2,0）,^（0,2,0）,0（0,2,1）

则B[Q=（-2,0,1）,4尸=（加_2,_加,0）

u•B】Q=-2x+4=0

<___l

设平面4Po的一个法向量为八G，凹，4）,可得卜.率=（掰一2）%-町=0,

令%=tn,则乂=加—2,4=2加，即汗=（加,加—2,2加）.

易知平面PQG的一个法向量为05=（2,2,0）,

——►2m+2（m-2）

cosDB,u=--------J、J=

匚匚-2-V2xJm2+（m-2）2+4m22V2x飞6m2-4加+4,3/-2m+2

所以vv7

易知当加=1时，cosDS,日=0,

775-I.2-2.+1

当me（1,2]时，ssDB/述川一22,

m2-2m+1

/（根）=e（L2]

令3m2—2m+2

/»=岂即+i）5一?〉o

可得G根-2m+2）在（⑼上恒成立，即/（加）在oa上单调递增;

cosDB,u=^~

此时机=2时，10最大,

m2—2m+1

^me[O,l)c°sDBE2

3m-2m+2；易知/（加）在［°］）上单调递减,

cosDBu—-----

所以机=0时，2,

又由图可知，当加=°时，0（°2°）点与c重合，

产

综上二面角片一0°一「的余弦值的取值范围为12人故③错误;

对于④，根据选项。易知'8=（0,2,°）,0°=（一见机,1）,

cos丽网=刍鸟=_2ffl

s22

可14lp0|2xJ机2+m+1V2m+1

当加=0时，cosAB^PQ=0

—>—*Tn

cosAB,PQ=/=,,

42—+1/2+2+'

当加WO时，7m2,易知当机=2时，Vm2取到最大值为

2

3,

2

综上可知，48与尸。所成角的余弦值的最大值为3,即④正确；

故答案为：①②④

【点睛】关键点点睛：在求解二面角以及线面角最值问题时，一般需要借助空间向量得出空间角

余弦值的表达式，再利用基本不等式或函数单调性求出最值即可.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知甲、乙、丙参加某项测试时，通过的概率分别为0.6,0.8,0.9,而且这3人之间的测试

互不影响.

（1）求甲、乙、丙都通过测试的概率；

（2）求甲、乙、丙至少有一人通过测试的概率；

（3）求甲、乙、丙恰有有两人通过测试的概率.

【答案】(1)0.432

(2)0.992(3)0,444

【解析】

【分析】(1)根据相互独立事件的乘法公式求解；

(2)根据独立事件的乘法公式、对立事件概率计算公式可得答案;

(3)根据互斥事件的概率加法公式，独立事件的乘法公式计算.

【小问1详解】

甲、乙、丙都通过测试的概率为66x0.8x0.9=0.432.

【小问2详解】

甲、乙、丙至少有一人通过测试的概率为1一(1一°，6)*(l—0-8)x(1-0.9)=°.992.

【小问3详解】

甲、乙、丙恰有两人通过测试的概率为：

0.6x0.8x0.1+0.6x0.2x0.9+0.4x0.8x0.9=0.444

18.四棱柱48co—HBC'O'的六个面都是平行四边形，点M在对角线48上，且

［点N在对角线/C上，且I311.

——,一LUUI「_____►___►

(1)设向量在="AD=b,AA'=c,用万、b、,表示向量%\D'N.

(2)求证：M、N、三点共线.

fXM^~a-b--cD^N=-a--b+-c

【答案】(1)33,444

(2)证明见解析

【解析】

【分析】(1)借助空间向量的线性运算计算即可得；

(2)借助向量共线定理证明说"访即可得.

【小问1详解】

\A'M\=^MB\A7M=^ArB=^QrA+ArB'^=-^AA'+^AB

因为

ITM=ITA'+A^M-AD+\--AA'+-AB\^-a-b--c

所以I33J33

|HN1=；1NC|

又因为

irN^DFA'+A[N^-AD+-（A[A+AB+AD'\=-AB--AD+-AA'

所以八7444

【小问2详解】

^-A7C--ArB^-（A7C-ArB）-—ArB^-BC--A7B

因为434、712412

=4|BC-^-A^B\MD'=1^-A［M=A［D'--A7B=BC--A^B

413人且33,

MN=-MD'

所以4，即V、N、DC三点共线.

19.9月19日，2023年中国地理标志博览会主会场启动仪式在泸州市成功举行，志愿者的服务

工作是丰收节成功举办的重要保障，泸州市新时代文明实践中心承办了志愿者选拔的面试工

作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组口5,55),第二组［55,65),

第三组15,75),第四组［75,85),第五组［85,95),绘制成如图所示的频率分布直方图.已知

第三、四、五组的频率之和为0.7,第一组和第五组的频率相同.

(1)估计这100名候选者面试成绩的第80百分位数；

(2)从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的宣传者.现计划从第四组和第

五组抽取的人中，再随机抽取2名作为组长.求选出的两人来自同个一组的概率.

【答案】(1)77.5

3

(2)5

【解析】

【分析】(1)根据题意列式求兄，的值，进而结合平均数和百分位数的定义运算求解.

(2)根据分层抽样求分层人数，利用列举法结合古典概型运算求解.

【小问1详解】

+0.65=0.7fa=0.005

由题意可知/(2""°-°65)X10=1,解得做。65,

可知每组的频率依次为0-05,°，25,0.45,0.2,0,05,

因为0.05+0.25+0.45=0.75<0,8,且0.05+0.25+0.45+0.2=0,95>0,8,

设第8。百分位数为xe175,85),则0.75+0.02(x-75)=0.8,解得x=77.5,

第80百分位数为77.5.

【小问2详解】

0.02

根据分层抽样175,贫)和［85,95］的频率比为0.005,

故在［75,85)和［85,95］中分别选取4人和1人，分别设为力,%%,%和4,

则这5人中随机抽取两个的样本空间。包含的样本点有1出，

axa3a1乙帖、a2a3a2a4a2bla3a4a^bx44bliti0个即〃（。）=10

记事件/="两人来自同一个组”，则事件A包含的样本点有6%,

^^4^^2^^3^^2^^4^^3^^4।上6艮|3〃（4）=6

H‘'八'

20.一位同学想调查某学校学生阅读古典四大名著《红楼梦》《三国演义》《西游记》《水浒传》

的情况，他随机问了5名同学（J表示已读），得到了以下表格:

《红楼梦》《三国演义》《西游记》《水浒传》

同学/VVV

同学6VV

同学CVV

同学，VVV

同学£VV

（1）现在从这五位同学中选出两位，设事件/为“两位同学都读过《红楼梦》和《三国演义》”,

请用集合的形式分别写出样本空间和事件/所包含的所有结果，并计算出事件/的概率；

（2）经过统计，该学校读过《红楼梦》《三国演义》《西游记》《水浒传》四本名著的概率分别为

323

4,3,5,4,求一位同学恰好读过其中三本书的概率.

3

【答案】（1）样本空间和事件/所包含的所有结果见解析；事件/的概率为10

13

（2）32

【解析】

【分析】（1）根据题干中表格写出样本空间和事件力所包含的所有结果，利用古典概型的概率公

式计算即可；

（2）利用互斥事件的概率加法公式及独立事件的概率乘法公式即可求解.

【小问1详解】

设五位同学分别为a,b,c,d,e

样本不间。=Mb,ac,ad,ae,bc,bd»be,cd,ce,de）

/、〃⑷3

P（A）=v7=一

事件Z={ad,ae,de},则〃（Q）10

【小问2详解】

设一位同学读过《红楼梦》，《三国演义》，《西游记》，《水浒传》分别为事件4B,C,D,

则一位同学恰好读过其中三本的概率为

P=P（ABC5}P（AB《D）+P&CD}PQBCD）

3211321331131213

=—X—X—X—+—X—X—X—+—X—X—X—+—X—X—X—

4324432443244324

133113

一+一+一+一

1616321632

13

故一位同学恰好读过其中三本书的概率为32.

21.如图，在四棱锥尸一48CD中，BC//AD,AD=2BCM是棱上靠近点尸的三等分

(1)证明：尸8〃平面M4C；

(2)设平面与平面PCD的交线为/,若平面平面45CD,48,40,尸2,40,

PA=AD=2AB=2,求/与平面上伍。所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

V2

(2)6

【解析】

【分析】(1)连接8。交4c于点°,连接由PBH0M可得尸8〃平面跖4C；

(2)延长4s,交于点N,则直线NP就是平面P4B与平面PCD的交线/,以点/为原

点建立空间直角坐标系，求出尸N及面M4C的法向量，求/与平面所成角的正弦值.

【小问1详解】

连接80交/C于点°,连接。

OBBC

因为8C〃ZD,AD=28C,所以AD2,

又因M是棱PD上靠近点P的三等分点，

OBPM

所以0。MD2,所以PBH0M,

又。“u平面M4C,尸5a平面上,所以尸8〃平面上£4C；

【小问2详解】

延长”民℃,交于点

所以N，P为平面PAB与平面PCD的公共点，

所以直线NP就是平面PAB与平面PCD的交线/；

因为平面PAD±平面ABCD,PA1AD,平面PADn平面ABCD=AD,PAu平面p^D,

所以PN,平面/BCD,又45u平面4SC。，所以P4L48,

如图，以点力为原点建立空间直角坐标系,

因为BC〃肛AD=2BC

BN_BC_BN

所以ZNAD2BN+1,所以BN=T,

N（0,0,0）,C（1,1,0）,：才，尸（0,0,2）,N（2,0,0）

则I3

AC^（1,1,0）,AM0,j,1l,P2V=（2,0,-2）

则

设平面M4C的法向量为"=("//),

n-AC=x+y=0

—►24

•二”丁:0,可取为=（2「2,1）,

则有

n-PN_4+0-2_V2

cos亢,PN

问网3x2后6

则

V2

即/与平面MZC所成角的正弦值为6

22.如图①所示，长方形48co中，4D=1,AB=2,点M是边8的中点，将△/£(河沿

翻折到连接尸8,PC,得到图②的四棱锥尸—4SCM.

(1)求四棱锥尸-4goW的体积的最大值；

(2)若棱总的中点为N,求CN的长；

(3)设y-/河-。的大小为“，若I2」，求平面上加和平面尸8C夹角余弦值的最

小值.

V2

【答案】(1)4

(2)2

VTT

(3)H

【解析】

【分析】(1)作出辅助线，得到当平面P/"，平面4SCN时，户点到平面4?。/的距离最大,

n，…，PG=-AM=^—

四棱锥尸-48CN的体积取得最大值，求出22,从而得到体积最大值；(2)作

CN=MQ=\i^\+12=—

出辅助线，证明出四边形。纲为平行四边形，从而得到2;(3)作

出辅助线，得到/尸切为P-/四-。的平面角，即〃GD=e,建立空间直角坐标系，用含

”的关系式表达出平面必〃和平面阳。的法向量，利用空间向量夹角余弦公式得到

9

cosa=i

J80—+60-9,结合Z的取值范围求出余弦值的最小值

【小问1详解】

取川的中点G,连接用，

因为PA=PM,则PGVAM,

当平面P4X，平面4SCW时，户点到平面L的距离最大，

四棱锥尸的体积取得最大值，

PG=-AM=—

此时平面4sCM,且22,

17

(l+2)xlx—=—

底面4sCM为梯形，面积