2024-2025学年浙教版七年级数学下册题型专练：直线的相交（解析版）

第01讲直线的相交

题型归纳

【题型1对顶角及其性质】

【题型2垂线的定义】

【题型3垂线的画法】

【题型4垂线段的性质】

【题型5点到直线的距离】

【题型6同位角、内错角和同旁内角】

基础知识,知识梳理理清教材

考点1：相交线

1.相交线的定义

在同一平面内，如果两条直线只有一个公共点，那么这两条直线叫做相交线，公共点称

为两条直线的交点。如图1所示，直线与直线切相交于点0。

图1

2.对顶角的定义

若一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向延长线，那么这两个角叫做对顶角-

如图2所示，N1与N3、N2与N4都是对顶角。

注意：两个角互为对顶角的特征是：

（1）角的顶点公共；

（2）角的两边互为反向延长线；

（3）两条相交线形成2对对顶角。

3.对顶角的性质：对顶角相等。

题型分类深度剖析

【题型1对顶角及其性质】

【典例1］（23-24七年级下•全国•单元测试）下列各图中，N1与42是对顶角的是（）

【分析】本题主要考查了对顶角的识别，理解并掌握对顶角的定义是解题关键.如果一

个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角

是对顶角.根据对顶角的定义逐项分析判断即可.

【详解】解：A,不是对顶角，本选项不符合题意；

B.是对顶角，本选项符合题意；

C.不是对顶角，本选项不符合题意；

D.不是对顶角，本选项不符合题意.

故选：B.

【变式1-1］（23-24七年级下•广东江门•期中）下列各图中，41和N2是邻补角的是（）

【答案】D

【分析】本题考查邻补角的定义，只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具

有这种关系的两个角，互为邻补角.根据邻补角的定义进行解答即可.

【详解】解：A、不是两条直线相交组成的角，本选项不符合题意；

B、是对顶角，本选项不符合题意；

C、不是两条直线相交组成的角，本选项不符合题意；

D、符合邻补角的定义，本选项符合题意；

故选：D.

【变式1-2］（23-24七年级下•广东肇庆•期中）如图，直线a,b相交，Z1=40°,贝此2—N3

等于（）

【答案】C

【分析】本题考查了对顶角，邻补角的计算，根据题意可得Nl=N3=40。,

zl+z2=180°,由此即可求解.

【详解】解：根据图示可得，Zl=N3=40。，41+42=180。，

.-.Z2=180°-40°=140°,

.•,Z2-Z3=140°-40°=100°,

故选：C.

【变式1-3］（23-24七年级下,全国•单元测试）如图，直线48、CD相交于点。，若

AAOC+^BOD=120°,则NBOC=（）

A.100°B.110°C.120°D.130°

【答案】C

【分析】本题主要考查了对顶角相等，邻补角互补，先根据对顶角相等和已知条件求出

^AOC=乙BOD=60°,再根据邻补角互补即可得到答案.

【详解】解：•.2OC+NBOD=120。，Z.AOC=^BOD,

：.^LAOC=乙BOD=60°,

；zBOC=180°-zXOC=120°,

故选：c.

基础知识知识梳理理清教材

考点2：垂线

1.垂线的定义：如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相

垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.如下图，两条直线互

相垂直，记作a或ABLCD垂直于点0.

注意：垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有：

N4OC=90°—磐三CDXAB.

性质

2.垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三

角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点,

沿此直角边画直线，则所画直线就为己知直线的垂线(如图所示).

注意：

(1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的

反向延长线上，也可能在线段的延长线上.

(2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段.

3.垂线的性质：

(1)在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.

(2)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简单说成：垂线段最短.

4.点到直线的距离：

定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离.

p

图4

如图4所示，m的垂线段PB的长度叫做点P到直线m的距离。

注意：

（1）点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离；

（2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线

段的长度.

题型分类深度剖析/

【题型2垂线的定义】

【典例2】（2024•陕西榆林•模拟预测）如图，点3在直线4C上，N&BF=34。,8尸，平

分乙CBE,贝比。8。的度数为（）

【答案】A

【分析】本题考查了角平分线的定义，垂直的定义，平角的定义，熟练掌握知识点是解

题的关键.

根据NEBC=180°-AABF-^EBF^^EBC,再根据角平分线求解即可.

【详解】解：

:./-EBF=90°,

；/EBC=1SO°-^ABF-^EBF=56°,

•••BD平分NCBE,

.-.^CBD=^CBE=28°,

故选：A.

【变式2-1］（2024・贵州贵阳•二模）如图，直线AB,CD相交于点O,EO1AB,

NCOE=56。，则NBOD的度数为（）

D

A.34°B.54°C.56°D.66°

【答案】A

【分析】本题考查了对顶角，垂直的定义.首先求出N20C=9。°—56°=34°,然后根据

对顶角相等求解即可.

【详解】--EOLAB,NCOE=56°,

.•/AOC=90°—56°=34°,

"DOB=^.AOC=34°.

故选：A.

【变式2-2］（23-24七年级下•贵州毕节•期中）如图，N1与N2的关系是（）

A.互补B.互余D.同位角

【答案】B

【分析】本题考查了垂线定义、平角定义、两角互余定义，熟练掌握两角互余的定义是

解答的关键.

根据垂线定义及平角定义可得N1+42=90。，再根据两角互余的定义即可解答.

【详解】解：Z1+90°+Z,2=180°,

.-.Z1+42=90°,

即41与42互为余角.

故选：B.

【变式2-3］（23-24七年级下•黑龙江齐齐哈尔•期末）如图，直线与直线CD相交于点。，E

是N40D内一点，0E14B,NBOD=40。，则NCOE的度数是

E

【答案】130

【分析】本题考查了垂直的定义，对等角线段，角度和差，利用垂直的定义得〃OE=90。,

由对顶角相等得NBOD=N40C=40。，最后利用角度和差即可，熟练掌握知识点的应

用是解题的关键.

【详解】-：OELAB,

.ZOE=90°,

•2BOD=N4OC=40°,

;/COE=^AOE+/-AOC=90°+40°=130°,

故答案为：130.

【题型3垂线的画法】

【典例3】（23-24七年级下•北京西城・期中）作图并回答:

⑴如图，点尸在乙40B的边。4上.

①过点尸作。4的垂线交。B于点C.

②作点尸至UOB的垂线段PM.

（2）上述作图中，线段一的长度表示点尸至!JOB的距离；

⑶线段PM,PC与0C的大小关系是：_（用“（"连接），判断依据：

【答案】⑴①见解析；②见解析

（2）PM

{3}PM<PC<0C,垂线段最短

【分析】本题考查作图一一基本作图和垂线段最短，解题的关键是掌握点到直线的距离

中，垂线段最短.

（1）根据垂线的画法作图即可；

（2）根据点到直线的距离是垂线段的长度即可判断；

（3）根据垂线段最短即可判断.

【详解】（1）解：①如图所示，PC即为所求；

X-

②如图所示，PM即为所求；

。乙X-M&B

（2）解：•••PM_LOB,

•••线段PM的长度表示点P至DOB的距离，

故答案为：PM；

（3）解：rPMlMN,

.-.POPM,

■■PC1OP,

：.0C>PC,

.-.PM<PC<OC,判断依据为：垂线段最短，

故答案为：PM<PC<OC-垂线段最短.

【变式3-1］（23-24七年级下•贵州黔南•期末）过点尸作直线/的垂线CD,下面三角板的摆

【答案】A

【分析】本题考查了垂线，根据垂线的定义，即可解答.

【详解】解：过点P作4B的垂线CD,三角板的放法正确的是

故选：A.

【变式3-2］（23-24七年级下•山东潍坊,期中）过点8画线段4C所在直线的垂线段，正确的

是（）

【分析】本题主要考查过直线外一点作已知直线的垂线段，根据垂线段的定义依次判断

每个选项.

【详解】解：A.图上为过/点画线段BC所在直线的垂线段，故该选项不符合题意；

B.图上为过点8画线段4C所在直线的垂线段，故该选项符合题意；

C.图上为过BC上一点。画线段4C所在直线的垂线段，故该选项不符合题意；

D.图上为过点8画线段BC的垂线段，故该选项不符合题意；

故选：B.

【变式3-3］（23-24七年级下,安徽阜阳,期中）过直线1外一点P画珀勺垂线CD,下列操作三角

板正确的是（）

【答案】D

【分析】本题考查垂线的定义及作风，熟记垂线的作法是解决问题的关键.

【详解】

D

解：根据垂线的作法可得。，

故选：D.

【题型4垂线段的性质】

【典例4］（23-24七年级下•河南信阳•期中）如图,△A8C中，^ACB=90°,AC=6,

BC=8,48=10,尸为直线48上一动点，连接PC,则线段PC的最小值是（）

A.4.4B.5C.4.8D.4

【答案】C

【分析】本题考查垂线段最短.根据垂线段最短，得到当PCL4B时，PC的值最小，利

用等积法进行计算即可。

【详解】解：•••点到直线的距离，垂线段最短，

当PC14B时，PC的值最小，

在RtUBC中，

■-^ACB=90°,AC=6,BC=8,AB=10,

：^AB-PC=^AC-BC,即：10PC=6x8,

/.PC=4.8,

故选：C.

【变式4-1］（23-24七年级下•全国•单元测试）用〃垂线段最短〃来解释的现象是（）

A.测量跳远成绩

c.■■两钉子固定木条

【答案】A

【分析】本题考查了线段的性质，根据给出的现象逐一分析即可，解题时注意：两点的

所有连线中可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短,

从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段，垂线段的性质是

垂线段最短.

【详解】解：A、测量跳远成绩是利用了"垂线段最短"，故选项符合题意；

B、木板上弹墨线是利用了"两点确定一条直线"，故选项不符合题意；

C、两钉子固定木条是利用了"两点确定一条直线"，故选项不符合题意；

D、把弯曲的河道改直，就能缩短路程是利用了"两点之间，线段最短"，故选项不符合

题意；

故选：A.

【变式4-21（23-24七年级下•吉林长春•开学考试）如图，N是直线/外一点，过点A作AB11

于点2,在直线/上取一点C连接2C,使4C=24B,P在线段BC上连接4P.若

4B=3,则线段4P的长不可能是（）

【答案】D

【分析】本题主要考查直线外一点与直线上各点连接的所有线段中垂线段最短，正确求

出线段4P的长度范围是解题关键.

先计算出4C的长度，再由垂线段最短得出2P的范围，然后逐项判断即可解答.

【详解】解：・.71B=3,

AC=2AB=6cm,

结合垂线段最短可得：3WAPW6.

故4P不可能是6.5,

故选：D.

【变式4-3］（23-24七年级下•全国•单元测试）如图，现要从村庄/修建一条连接公路PQ的

最短小路，过点/作A”1PQ于点〃，沿4”修建公路，则这样做的理由是

A

P---------------------------------g

【答案】垂线段最短

【分析】本题考查垂线段最短，根据垂线段最短，作答即可.

【详解】解：过点/作4HLPQ于点“，沿4H修建公路，则这样做的理由是垂线段最

短；

故答案为：垂线段最短.

【题型5点到直线的距离】

【典例5］（23-24七年级下糊北宜昌•期末）如图，点4,B,C是直线/上的三点，点尸在

直线/外，PA11,垂足为4,PA=4cm,PB=6cm,PC=5cm,则点尸到直线/的距离

是cm.

【答案】4

【分析】本题考查了点到直线的距离的定义.根据点到直线的距离的定义，直线外一点

到直线的垂线段长度叫做点到直线的距离，判断P2=4cm是点P到直线/的距离即可.

【详解】解：••・直线外一点到直线的垂线段长度叫做点到直线的距离，P411，垂足为

A,PA=4cm,

•1•点P到直线I的距离是4cm,

故答案为：4.

【变式5-1］（2024七年级下•全国・专题练习）如图，尸是直线/外一点，A,B,C三点在直

12

线/上，且PB1Z于点3,AAPC=90°,若24=4,PC=3,2C=5,,则点/

到直线PC的距离是—.

【答案】4

【分析】本题考查了点到直线的距离，点到直线的距离定义为从直线外一点到这条直线

的垂线段长度，由点到直线的距离的定义即可得解.

【详解】解：由题意可知，P4的长即为点N到直线PC的距离.

因为P4=4,

所以点A到直线PC的距离是4,

故答案为：4.

【变式5-2］（23-24七年级下,河南洛阳•期中）点P为直线/外一点，点/、8在直线/上，

若P4=5cm,PB=7cm,则点P到直线/的距离是（）

A.5cmB.小于5cmC.不大于5cmD.6cm

【答案】C

【分析】本题主要考查了垂线段最短，点到直线的距离，根据垂线段最短，得出点P

到直线I的距离应小于等于P4的长度.

【详解】解：•••点尸到直线/的距离是点P到直线/所有点的连线中最短的线段的长度,

•••点P到直线I的距离应小于等于P4的长度，

即点P到直线/的距离是不大于5cm.

故选：C.

【变式5-3］（23-24七年级下•广西河池,期末）如图，ACLBC,CDLAB,下列说法①线段

CD的长度是C点到直线力B的距离；②线段力C的长度是/点到直线BC的距离；③

AB>AC>CD,其中正确的有（）

C

A.0个B.1个D.3个

【答案】D

【分析】本题主要考查了点到直线的距离是指垂直距离，垂线段最短，掌握相关知识点

是解题的关键.

根据垂线段最短，点到直线距离的定义对各选项进行逐一分析即可.

【详解】--ACIBC,CD1AB,

・•・①线段CD的长度是。点到直线4B的距离，正确；

②线段4c的长度是/点到直线BC的距离，正确；

（3）AB>AC>CD,正确.

综上所述，其中正确的有3个.

故选：D.

基础知识,知识梳理理清教材

考点3：三线八角

两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如图5所示。

（1）同位角：可以发现N1与N5都处于直线/的同一侧，直线口、6的同一方，这样位置

的一对角就是同位角。图中的同位角还有N2与N6,N3与/7,N4与/8。

（2）内错角：可以发现N3与N5都处于直线/的两旁，直线b的两方，这样位置的一

对角就是内错角。图中的内错角还有/4与/6。

（3）同旁内角：可以发现/4与/5都处于直线/的同一侧，直线b的两方，这样位置

的一对角就是同旁内角。图中的同旁内角还有/3与/6。

图5

题型分类深度剖析

【题型6同位角、内错角和同旁内角】

【典例6］（23-24七年级下•山东聊城・开学考试）如图，从已经标出的五个角中,

（1）直线北，BD被直线ED所截，N1与是同位角；

（2）直线AB,CD被直线4C所截，41与是内错角；

（3）直线AB,CD被直线所截，42与是同旁内角.

【答案】N2Z4Z3

【分析】此题主要考查了三线八角，关键是掌握同位角的边构成尸形，内错角的边构

成Z形，同旁内角的边构成。形.根据两条直线被第三条直线所截，所形成的角中，

两角在两条直线的中间，第三条直线的两旁，可得内错角，两角在两直线的中间，第三

条直线的同侧，可得同旁内角，两角在两条直线的同侧，第三条直线的同侧，可得同位

角.

【详解】解：（1）直线AC,BD被直线E0所截，N1与是N2同位角；

（2）直线48,CD被直线4：所截，N1与N4是内错角；

（3）直线4B,CD被直线BD所截，42与N3是同旁内角.

故答案为：乙2,Z4,Z3

【变式6-1］（23-24七年级下•贵州铜仁•期中）如图，下列说法错误的是（）

A.N1和N3是同位角B.N1和45是同位角

C.N1和42是同旁内角D.45和46是内错角

【答案】B

【分析】本题考查三线八角，根据同位角，同旁内角和内错角的定义，逐一进行判断即

可.

【详解】解：A、41和43是同位角，正确，不符合题意；

B、N1和45是内错角，原说法错误，符合题意；

C、N1和N2是同旁内角，正确，不符合题意；

D、N5和46是内错角，正确，不符合题意；

故选B.

【变式6-2］（23-24七年级下,山东德州•开学考试）如图，按各组角的位置，判断错误的是

A.41与乙4是同旁内角B.43与N4是内错角

C.N5与N6是同旁内角D.42与N5是同位角

【答案】C

【分析】本题考查了同位角、同旁内角、内错角的定义，根据同位角、同旁内角、内错

角的定义结合图形，逐项判断即可得出答案.

【详解】解：A、N1与乙4是同旁内角，故本选项正确，不符合题意；

B、N3与44是内错角，故本选项正确，不符合题意；

C、45与N6不是同旁内角，故本选项错误，符合题意；

D、42与45是同位角，故本选项正确，不符合题意；

故选：C.

【变式6-3］（23-24七年级下,全国•单元测试）根据图形填空：

（1）若直线ED,BC被直线所截，则N1和—是同位角;

（2）若直线ED,BC被直线4F所截，则N3和—是内错角;

（3）N1和N3是直线力B,4F被直线所截构成的角；

A

【答案】乙2Z4DE内错

【分析】本题考查了同位角和内错角的定义，解题的关键是掌握同位角和内错角的定义.

（1）根据同位角的定义求解即可；

（2）根据内错角的定义求解即可；

（3）根据内错角的定义求解即可.

【详解】解：（1）直线ED,BC被直线AB所截，则N1和N2是同位角；

（2）直线EO,BC被直线2F所截，则N3和”是内错角;

（3）N1和N3是直线48,4尸被直线DE所截构成的内错角；

故答案为：N2,N4,DE,内错.

年达标测试

1.（24-25七年级上•黑龙江绥化•阶段练习）下面四个图形中，N1与42是对顶角的为（）

【分析】本题考查了对顶角.两条边互为反向延长线的两个角叫对顶角，根据定义结合

图形逐个判断即可.

【详解】解：A、不符合对顶角的定义，故本选项不符合题意;

B、不符合对顶角的定义，故本选项不符合题意；

C、符合对顶角的定义，故本选项符合题意；

D、不符合对顶角的定义，故本选项不符合题意;

故选：C.

2.（2024七年级上•全国・专题练习）下面四个图形中，N1与42互为对顶角的是（）

【答案】C

【分析】本题主要考查了对顶角的定义，如果两个角有公共顶点，且角的两边互为反向

延长线，那么这两个角互为对顶角，据此求解即可.

【详解】解；根据对顶角的定义可知，四个选项中只有C选项中的N1与42互为对顶角，

故选：C.

3.（24-25七年级上•吉林长春•期末）如图，直线48、CD相交于点0,若41=30。，则乙2的

度数是（）

iD

A.30°B.40°C.60°D.150°

【答案】A

【分析】本题考查了对顶角相等，根据对顶角相等，即可求解.

【详解】解:依题意，N2=41=30。，

故选：A.

4.（24-25七年级上•吉林长春•阶段练习）如图，直线、CD相交于点。，NCOE为直角,

乙4。£=60。，贝！（）

E

一上

C~D

A.130°B.150°C.120°D.140°

【答案】B

【分析】本题主要考查了对顶角相等，根据对顶角相等和已知条件求出

^BOD=AAOC=150°,即可得到答案.

【详解】解：TNCOE为直角，^AOE=60°,

"BOD=4Aoe=乙COE+^AOE=150°,

故选：B.

5.（24-25七年级上•吉林长春・期末）如图，直线力B,CD相交于点0,过点。作。E14B,若

乙DOB=43°,贝UCOE的度数是（）

A.43°B.137°C.57°D.47°

【答案】D

【分析】本题考查了垂线，平角的知识，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解

题的关键.根据垂直定义可得：^BOE=90°,然后利用平角定义进行计算，即可解答.

【详解】解：TOEIAB,

=90°,

"DOB=43。，

"COE=180°-ABOE-^DOB=47°,

故选：D.

6.（23-24七年级下•全国•单元测试）下列四个图形中，N1与N2是内错角的是（）

【答案】D

【分析】本题考查了内错角的定义，分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间的两

个角称为内错角，据此即可求解.

【详解】解：由内错角的定义可知：D选项符合题意；

故选：D.

7.（22-23七年级下•广西南宁•阶段练习）如图，直线相，"被直线/所截，N1的同位角是

【答案】D

【分析】本题考查三线八角，根据同位角的定义，找到"尸'型，进行判断即可.

【详解】解：由图可知，N1的同位角是45；

故选D.

8.（22-23七年级下•宁夏石嘴山•期中）如图，直线4B,CD相交于点0,E01AB,垂足为点

0,U0D=125°,贝此E0C的度数为（）

【答案】A

【分析】本题考查了对顶角相等、垂直的定义等知识点，根据NB0C=/4。。=125°、

NBOE=90。、Z.E0C=々。。—々。石即可求解.

【详解】解：•••直线IB,CD相交于点0,

:ZB0C=AA0D=125°

■.-E0LAB,

:ZB0E=90°

:/E0C=A.BOC-Z.BOE=35°

故选:A

9.（23-24七年级下•贵州黔东南•期中）如图所示，点/到直线BC的距离是线段的

长度（）

c

【答案】D

【分析】本题考查了点到直线的距离，解题的关键是掌握点到直线的距离的概念，点到

直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段.它只

能量出或求出，而不能说画出，画出的是垂线段这个图形.直线外一点到直线的垂线段

的长度，叫做点到直线的距离，根据定义作出判断即可.

【详解】解：•••直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，

•••点/到直线8c的距离是线段AE的长度.

故选：D

10.（23-24七年级上•全国,单元测试）如图已知乙4cB=90。，CDlAB^D,则图中表示点

到直线的距离的线段的条数是（）

【答案】B

【分析】本题考查了点到直线的距离的定义，直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做

点到直线的距离，根据定义作出判断即可.

【详解】解：--Z-ACB=90°,^ACIBC,CDXAB,

・••图中表示点到直线的距离的线段有：表示点/至UBC的距离是线段2C的长度；

表示点B至IMC的距离是线段BC的长度；

表示点C至必B的距离是线段CD的长度；

表示点/至北。的距离是线段4。的长度；

表示点B至IJCD的距离是线段BD的长度.

二图中表示点到直线的距离的线段的条数是5,

故选：B.

IL（24-25七年级上•全国・期末）如图，点。是直线MN上一点，射线。4、0B在MN同侧,

且。力10B,若ABON=38。，则N力。M的度数为.

【答案】52。/52度

【分析】本题考查了角的计算，准确识图是解题的关键.由。410B可知"。8=90。,

再根据平角等于180。列式计算即可求出乙40M.

【详解】解："OA1OB,

.-.^AOB=90°,

"BON=38°,^AOM+4AOB+乙BON=180°,

：.^AOM=180°-^AOB-z.BON=180°-90°-38°=52°.

故答案为：52。.

12.（24-25七年级上•北京通州・期末）观察图形，点4到直线8E的距离是线段的长.

【答案】AD/DA

【分析】本题考查了垂线段最短，结合图形，得出线段4。是垂线段，即可作答.

【详解】解：依题意，结合图形，得出线段2D是垂线段，

・••点4到直线BE的距离是线段4。的长，

故答案为：AD.

13.（23-24七年级下•全国•期末）如图所示，直线a,b,c两两相交，N1=3/3,42=75。,

贝此4=.

【答案】25。/25度

【分析】本题主要考查了对顶角的性质，根据对顶角相等得出乙1=42=75。，根据

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