2024-2025学年中考数学二轮复习：二次函数综合题（角度问题）含答案

2024-2025学年中考数学二轮复习二次函数综合题(角度问题)

1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线、=-权2+审，+£(爪>0)与%轴交于4(-1,0),8

(犯0)两点，与y轴交于点C,并且。。=2。4连接BC.

(1)求抛物线对应的函数表达式；

(2)点P是直线BC上方的抛物线上一动点，是否存在点P,使得APOC的面积等于APAB面积

的卷2？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

⑶过点C作CDIIX轴交抛物线于点。，在y轴上是否存在点P,使得NP4B=24DAB?若存在,

请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

2.综合与探究

如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线y=/+法+c(c<0)的顶点为A,且

与y轴的交点为B,过点B作BC〃久轴交抛物线于点C(-4,-4),在CB延长线上取点D,使

BD=,连接OC,OD,AC和AD.

(1)求抛物线的解析式；

(2)试判断四边形ADOC的形状，并说明理由；

(3)试探究在抛物线上是否存在点P,使得NPOC=45。.若存在，请求出符合条件的点P

的坐标；若不存在，请说明理由.

3.如图，已知二次函数y=-/+6%+c的图象经过点4(—l,0),B(3,0),与〉轴交于点C.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点。为抛物线的顶点，求ABC。的面积；

(3)抛物线上是否存在点尸，使NP4B=N4BC,若存在，请直接写出点尸的坐标；若不存

在，请说明理由.

4.如图，已知二次函数丫=a/+2x+c的图象与%轴交于力，B两点，4点坐标为(-1,0),与y

轴交于点C(0,3),点M为抛物线顶点，点E为4B中点.

(1)求二次函数的解析式;

(2)若在直线BC上方的抛物线上存在点Q,使得NQCB=2乙48C,求点Q的坐标.

13

5.抛物线y=-y2+y+2与x轴交于点点8,与y轴交于点C,作直线BC.点N(t,0)

是线段OB上的动点(不与点O、8重合)，过点N作x轴的垂线分别交BC和抛物线于点M、

P.

(1)则直线的8C解析式为；

(2)如图1,设PM=h,求/?与/的函数关系式，并求出〃的最值；

(3)如图2,若APMC中有某个角的度数等于NOBC度数的2倍时，请求出满足条件的f的

值.

6.如图1,抛物线y=a/+bx—3经过4(—1,。)，8(3,0)两点，与y轴交于点C,P为第四象限

内抛物线上一点.

(1)求抛物线的函数表达式；

⑵设四边形P80C的面积为S,求S的最大值；

(3)如图2,过点P作PMlx轴于点M,连接力C,AP,4P与y轴交于点N,当NMP力=2NP4C

时，求点N的坐标.

7.如图，抛物线y=-%2+2%+3与x轴相交于A、B两点，与y轴交于C,顶点为D,

抛物线的对称轴DF与BC相交于点E,与x轴相交于点F.

(1)求线段DE的长；

(2)设过E的直线与抛物线相交于M(xl,yl),N(x2,y2),试判断当|xl-x2|的值最小时,

直线MN与x轴的位置关系，并说明理由；

(3)设P为x轴上的一点，zDAO+zDPO=Za,当tanNa=4时，求点P的坐标.

A0\\FB\x

8.如图，抛物线y=ax2-x+c交x轴于力(-3,0),3两点(点/在点2的左侧)，交y轴于

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1,点。(1,4)在抛物线上，过点。作DFlx轴于点过点/的直线交y轴于点E

(0,2),点尸是直线4E上方抛物线上的一动点，过点尸作PM14E于点“，PNLDF于点、N,

求与PM+PN的最大值，以及此时点尸的坐标；

(3)如图2,在(2)的条件下，将抛物线'=。/—尤+c沿射线ZM方向平移2隹个单位，得至U

新抛物线yi，点R是新抛物线月上一个动点，当4/?4。+/8。？=45。时，请直接写出所有

符合条件的点R的坐标.

9.在平面直角坐标系中，。为坐标原点，抛物线丫=(1/-2£1%+3交工轴于点/、B,且B

(2)点G为第一象限抛物线上的一点，连接BC,过点G作GHlx轴交BC于点〃，设G”长为

力点G的横坐标为求d与，之间的函数关系式(不要求写出自变量/的取值范围).

⑶在(2)的条件下，点尸坐标为(6,0),当乙BCG=MAB"FCO,求点G的坐标.

10.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a/+6%+“a力0)的顶点坐标为C(3,6),与

y轴交于点B(0,3),点A是对称轴与久轴的交点.

图①图②

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图①所示，直线AB交抛物线于点E,连接BC、CE,求ABCE的面积；

(3)如图②所示，在对称轴AC的右侧作NACD=30。交抛物线于点D,求出D点的坐标;

并探究：在y轴上是否存在点Q,使NCQD=60。？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说

明理由.

1

11.如图，经过点A(0,-6)的抛物线y《x2+bx+c与x轴相交于B(-2,0),C两点.

(1)求此抛物线的函数关系式和顶点D的坐标；

(2)将(1)中求得的抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移m(m>0)个单位长度

得到新抛物线yi，若新抛物线yi的顶点P在AABC内，求m的取值范围；

(3)设点M在y轴上，ZOMB+ZOAB=ZACB,直接写出AM的长.

12.如图，在直角坐标系中，四边形O48C是平行四边形，经过/(-2,0),B,C三点的

抛物线产。/+云+|(a<0)与x轴的另一个交点为。，其顶点为对称轴与x轴交于点

E.

(1)求这条抛物线对应的函数表达式；

3

(2)已知尺是抛物线上的点，使得火的面积是平行四边形O/8C的面积的才求点R

的坐标；

(3)已知尸是抛物线对称轴上的点，满足在直线“。上存在唯一的点0,使得

45°,求点尸的坐标.

'A

13.如图，为已知抛物线y=a/+bx+5经过4（一5,0）,8（-4,一3）两点，与支轴的另一个交点

为C,顶点为。，连结CD.

（1）求该抛物线的表达式；

（2）点P为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），设点P的横坐标为t.

①当SAPBC=3时,求t的值；

②该抛物线上是否存在点P,使得NPBC=4BCD?若存在，求出所有点P的坐标若不存在,

请说明理由.

14.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=Tn/+4血％一5根（m<0）与X轴交于点4、B

（点/在点2的左侧），该抛物线的对称轴与直线y=*相交于点E,与X轴相交于点

点尸在直线y=*上（不与原点重合），连接尸口，过点P作「F1PD交了轴于点R连接

DF.

图①图②

（1）如图①所示，若抛物线顶点的纵坐标为6J3,求抛物线的解析式；

（2）求/、8两点的坐标；

（3）如图②所示，小红在探究点尸的位置发现：当点尸与点£重合时，NPDF的大小为定

值，进而猜想：对于直线y=*上任意一点尸（不与原点重合），NPZW的大小为定值.请

你判断该猜想是否正确，并说明理由.

15.如图1,已知二次函数y=mx2+3mx-丁111的图象与x轴交于A,B两点（点A在点B

的左侧），顶点D和点B关于过点A的直线1：y=-4x-乎对称.

（1）求A、B两点的坐标及二次函数解析式；

（2）如图2,作直线AD,过点B作AD的平行线交直线1于点E,若点P是直线AD上的

一动点，点Q是直线AE上的一动点.连接DQ、QP、PE,试求DQ+QP+PE的最小值；若

不存在，请说明理由：

(3)将二次函数图象向右平移|个单位，再向上平移3点个单位，平移后的二次函数图象上

存在一点M,其横坐标为3,在y轴上是否存在点F,使得NMAF=45。？若存在，请求出点F

坐标；若不存在，请说明理由.

16.如图，抛物线y=a%2-6久+c交x轴于4B两点，交y轴于点C.直线y=-%+5经过点

(1)求抛物线的解析式；

(2)抛物线的对称轴/与直线BC相交于点P,连接4CHP,判定AAPC的形状，并说明理

由;

(3)在直线BC上是否存在点“，使4M与直线BC的夹角等于乙4cB的2倍？若存在，请求

出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

1

17.如图，已知直线AB：)/=/«+2左+4与抛物线丫=y2交于人、B两点，

(1)直线AB总经过一个定点C,请直接写出点C坐标；

(2)当k=-g时，在直线AB下方的抛物线上求点P,使AABP的面积等于5；

(3)若在抛物线上存在定点D使NADB=90。，求点D到直线AB的最大距离.

18.如图1,抛物线y=ax2-4ax+b交x轴正半轴于/,2两点，交y轴正半轴于C,且

OB=OC=3.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点。为抛物线的顶点，点G在直线2C上，若黑=坐，直接写出点G的坐标；

uD2

(3)将抛物线向上平移加个单位，交BC于点、M,N(如图2),若ZMON=45。，求加的

值.

将点C(0,2)代入得：y=2,

解得Hl=4,

1Q

则抛物线对应的函数表达式为y=--%2+-x+2.

(2)解:由⑴可知，5(4,0),

•.弘(-1,0),C(0,2),

.'.AB=5,OC—2,

设点P的坐标为「(见一1层+|a+2)(0<a<4),

△P48的面积为(x5(--a2+-a+2)=-7a2+5,△POC的面积为=x2a=a,

2v227442

2

AP0C的面积等于AP4B面积的正，

2/52I15,r-A

：.a=—\—-a+—a+5,

15V44/

解得a=l或。=一4<0(不符合题意，舍去)，

13-1,3-一

.,.--a92+-a+2=--x1+-x1+2=3,

2

所以存在点P,使得APOC的面积等于APAB面积的石，此时点P的坐标为(1,3).

(3)解：①如图，在y轴上方作=交直线CD于点E,交y轴于点P。则

AB=2乙DAB,

•••乙ADE=Z-DAB,

Z.ADE=Z.DAE,

：.AE—DE,

i3

当y=2时，一/2+5尤+2=2,

解得x=0或％=3,

.必3,2),

设点E的坐标为E(瓦2),

川(-1-6)2+(0-2)2=\/(3—6)2+(2—2)2,

1

解得b=5，

・••E&2),

设直线4E的解析式为y=kx+c,

4

\(—k+c=0k=—

将点)代入得：-解得，

4(—1,0),E&2K+C=2z=g

一(2I-3

44

则直线ZE的解析式为y=-%+-,

・・•点Pi的坐标为(0,§；

②如图，在y轴下方作NP24B=2NZMB,交y轴于点P2，

：.Z-P^AB=z■尸

又・・・481。止2，

.,.乙4尸1尸2=

・•.△ZP1P2是等腰三角形，

・•・点22与点P1关于%轴对称，

二点「2的坐标为(O,-g)，

综上，存在点P,使得=此时点P的坐标为(0,§或(0,-q

2.解:(1)••・庆7/%轴，点©的坐标为(—4,—4),

•••点B的坐标为(0,-4),

把B,C两点的坐标代入y=/+匕％+c,

得｛16—c=-4，解得｛3=-4-

抛物线的解析式为y=x2+4x-4.

(2)四边形ADOC是平行四边形，理由如下：

:点B的坐标是(0,-4),点C的坐标为(-4,-4),

OB=4,BC—4,

由(1)得，抛物线的解析式为y=/+4%-4=(%+2)2-8,

二顶点A的坐标为(一2,—8).

如答图，过点A作/E18C于点E,

贝!J4AEC=9O。，AE=0B=4,CE=2.

...BD==2,

・•.CE=DB.

・・,BC〃光轴,

/.Z.OBD=90°,

^AEC=乙OBD=90°

：.LAEC=△OBD,

AC=OD,Z-ACE=Z-ODB,

：.AC//OD,

四边形ADOC是平行四边形.

(3)在抛物线上存在点P,使得NPOC=45。.

:点C的坐标为(-4,-4),BC〃x轴,

OB=BC=4,•••乙BOC=/-OCB=45°,

•••NPOC=45。，

•••点P为抛物线与x轴负半轴或y轴负半轴的交点.

情况1：当点P为抛物线与y轴负半轴的交点时，点P与点B重合，

此时点P的坐标为(0,-4).

情况2：当点P为抛物线与x轴负半轴的交点时，解方程/+4%-4=0,

得刀1=一2—2亚，%2=-2+2y[2.(不合题意，舍去)

此时点P的坐标为(—2-2枢0),

综上所述，当点P的坐标是(一2-2亚,0)或(0,-4)时，"OC=45。.

3.解：(1),二次函数y=-久2+法+c的图象经过点/(-1,0),B(3,0),

(—1—b+c=0

+3b+c=(P

解得：■一

・•・抛物线的解析式为：y=-/+2%+3；

(2)在y=-%2+2%+3中，令％=0时，得：y=3,

.-.C(0,3),

设直线的解析式为y=mx+n,

•:B(3,0),C(0,3),

(3m+n=0

,•・[n=3'

解得:{*1,

•・・直线BC的解析式为y=—x+3,

•：y=—x2+2x+3=—(x—I)2+4,

：.D(1,4),

过点D作DE1x轴交直线BC于点E,

图1

：.E(1,2),

：.DE=4-2=2,

i1

:SABCD=SABDE+SACDE—~^-2x2+-x2xl=3；

(3)抛物线上存在点尸，使=

①当点尸是抛物线上与点C对称的点时，则有NPAB=N4BC,

•.•点C(0,3)关于对称轴久=1的对称点坐标为(2,3),

”1(2,3),

②当直线P2//BC时，贝|有=NA8C,

•.,直线BC的解析式为y=-%+3,

直线4P的解析式中一次项系数为-1,

设与BC平行的直线力P2的解析式为y=-x+爪，

将N(-1,0)代入，得：1+爪=0,

解得：m=-1,

・••直线的解析式为y=-x-1,

联立抛物线解析式得：［y3，

解得：｛卯:^，吃^(舍去)，

・・・22(4,-5).

综上所述，Pi(2,3),P2(4,-5).

4.(1)解:把4(一1,0)、C(0,3)代入y=a/+2%+c得，

(ci-2+c=0

[c=3，

解得的?，

二次函数的解析式为y=-X2+2x+3；

(2)解:当y=0时，―/+2久+3=0,

解得久1=-1,久2=3,

•••8(3,0),

：.OB=OC=3,

・•.△OBC是等腰直角三角形，

・・・乙48。=乙。。8=45。，

.:乙QCB=2/-ABC,

:,Z.QCB=90°,

如图，过点C作CQLBC交抛物线于点Q,过点Q作QGly轴于点G,贝(kQCB=/QGC=90。,

"GCQ=180°-^QCB-AOCB=180°-90°-45°=45°,

.•.△GCQ是等腰直角三角形，

••.CG=QG,

设Q(q，-或+2q+3),贝ljG(0,—q2+2q+3),

•'-CG——q2+2q+3—3——q2+2q,GQ=q,

・•・一q2+2q=q,

解得q=0(不合，舍去)或q=l,

・•・Q(l,4).

5.(1)解：当久=0时，y=2,

•••4(0,2),

13

2

当y=0时，0=--x+-x+2,解得小=4,%2=-2,

B(4,0),

设直线BC的解析式为y=kx+b,

将4(0,2),B(4,0)代入可得｛o[获;b'

ffc=-l

解得八2,

b=2

•••直线BC的解析式为y=—%+2；

(2)解：由题意知点P(t,一共2++2),则“七,一/+2),

13/1\

•••h=--t29+-1+2---1+2

22k2y

=_#+2t=Tt—2¥+2,

•••八和t的函数关系式为h=-9+2t(0<t<4),h的最大值为2；

(3)解：①当NPCM=2N0BC时，如图，作CFLPM,交PM于点F,

可得CF||OB,

乙FCM=4CBO,

•：LPCM=2A0BC,

Z.PCF=MCF,

：.PF=FM,

・••点F的纵坐标为2,

.•噌一卡+|t+2+(—?+2)]=2，

解得ti=2,t=0(舍去),

②当乙PMC=240BC时，

•・•乙CMP=乙NMB,

/.Z.NBM+乙NMB=3乙NBM=90°,

・•・(NBM=30°,

•・•BC=y/OC2+BO2=2押。2OC,

故这种情况不成立；

③当4MPC=2乙。8。时，

“CMP=乙NMB=90。一乙OBC,

・•.Z.PCM=180°-zCPM-zCMP=180°-2zOBC-(90°-zOBC)=90°-zOBC,

・••乙PCM=4CMP,

・•.PC=PM,

222

•••(l-0)+(-|t+|t+2—2)2=[(—+|t+2)-(-|t+2)],

解得t=j,

综上，1=2或|.

6.(1)解：将4(—1,0),8(3,0)代入丫=&/+6*-3,得：

(ci—b—3=0

'(9a+3b-3=0'

(a=1

A[b=-29

.y-x2—2x—3；

（2）解：过点尸作PN1%轴于点N,如图所示,

y

令久=0,则y=-3,

.*.C(0-3),

：.OC—3,

・•,P为第四象限内抛物线上一点，设点「(皿62一26一3)(0<m<3),

.・.PN=—(m2—2m—3)=—m2+2m+3,ON=m,

・•・8(3,0),

：.OB—3,

；.BN=3—m,

•••S=S^^PN0C+SWNB

11

=Q(OC+PN).ON+5PN.BN

11

=—(3—m2+2m+3)•m+—(—m2+2m+3)(3—m)

3.99

=----m+—m+—

222

3(3\2,63

=-^{m-2)+豆’

3八

v--<0

.•.当Hl=|时，S有最大值，S最大值=£.

(3)解：如图，

'.'ON1%轴,PM1%轴,

・・.0N||MP,

・•・乙ANO=Z.APM,

vZ.MPA=2乙PAC,

・••乙ANO=24PAC,

/.Z.NAC=ANCA,

AN=CN,

设N(O,n),则ZN=CN=n-(-3)=n+3,

•，-1+n2=(n+3)2,

4

•••n=

7.由抛物线y=-x2+2x+3可知，C(0,3),

令y=0,则-x2+2x+3=0,解得：x=-1,x=3,

.-.A(-1,0),B(3,0)；

・•・顶点x=l,y=4,即D(1,4)；

・・・DF=4

设直线BC的解析式为y=kx+b,代入B(3,0),C(0,3)得;

｛。理产解得｛E

••・解析式为；y=-x+3,

当x=l时，y=-1+3=2,

・・・E(1,2),

・・・EF=2,

・・・DE=DF-EF=4-2=2.

(2)设直线MN的解析式为y=kx+b,

•・・E(1,2),

・,.2=k+b,

••.k=2-b,

・•・直线MN的解析式y=(2-b)x+b,

•・•点M、N的坐标是{丁二打+4的解，

整理得：x2-bx+b-3=0,

•••Xi+X2=b,X[X2=b-3；

x-x2

打—x21=7(i2)={(%]+%2)2—4%]%2={b2-4(b-3)«(b-2)2+8,

・•.当b=2时，|x「X2I最小值=2$,

••,b=2时，y=(2-b)x+b=2,

・•・直线MN||x轴.

(3)如图2,・・・D(1,4),

.,.tanzDOF=4,

X,**tanZa=4,

.,.zDOF=Za,

vZDOF=ZDAO+ZADO=z.a,

vzDAO+zDPO=z.a,

/.ZDPO=ZADO,

.,.△ADP-AAOD,

.-.AD2=AO-AP,

vAF=2,DF=4,

...AD2=AF2+DF2=20,

・・.OP=19,

同理，当点P在原点左侧时，OP=17.

.-.Pi(19,0),P2(-17,0).

8.(1)解：•.•抛物线丫=以2_久+(；交万轴于4(-3,0),5两点(点/在点5的左侧)，交y轴

于点C(0,6),

[9a—(-3)+c=0

*',[c=6'

解得：,

二抛物线的解析式为y=-/-x+6；

(2)解:设直线4E的解析式为y=fcc+b,

将力(—3,0),现0,2)代入解析式可得｛—31t2=°

(k=l

解得：-3,

[b=2

2

二直线4E的解析式为y=产+2,

如图，作PH||y轴交4E于H,

•­•£(0,2),2(-3,0),

：.OE=2,OA=3,

：.AE=4A(J?+。产={13,

AO3

・•・sin〃E°—=而

PM3

.,.sinzPHM=—=sinZ.AEO=而，

；.PH=%PM,

3

.•.运PM+PN=PH+PN,

3

2

设P(m,—m2—血+6)(—3<m<0),则H(7n,：7n+2),^V(lf—m—m+6),

・••PH=—m2—m+6—+2)=—m2—|m+4,PN=1—m,

A/13o5O8_/4\261

.PM+PN=PH+PN=+4+1—m=+5=一(租+-J+—,

­.—KO,

...当机=一：时，半PM+PN的值最大，为.此时一二2一6+6即p(一：,5)；

(3)解：vy=-x2-x+6=~(x+

•,・抛物线的对称轴为直线久=-p

.,.抛物线与工轴的另一个交点坐标8(2,0),

•••将抛物线y=ax2-x+c沿射线方向平移2但个单位，得到新抛物线月，

••・将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度得到新抛物线yi，

二新抛物线yi的解析式为%=-(%+1+2)2+-2=一(久+芋+?=-必一5久-2,

/r\217

令yi=—(x+g+丁=0，

解得：打=与-1，%2=浮,

••・新抛物线上与X轴的交点坐标为伴-1,0)或(-乎-1，0)，

•.弘(-3,0),0(1,4),

：.AF=DF=4,

.•.△4DF为等腰直角三角形，

.­.ZDXF=ZXDF=45°,

设直线4D的解析式为y=fci%+外,

将4(—3,0),4)代入解析式得｛o±泉*%],

得

解

・•・直线/。的解析式为y=%+3,

y=x+3往=—(_c

联立［%=_(%+|)2+9,解得：仁［2或｛二x=)，

••・新抛物线月与直线的交点坐标为(-1,2),(-5-2),

如图，当点R在力。上方时，过点/作直线SZ||。匕连接D4,BD,作RQLSZ于Q,则

△SAD=N4DF=45。，Z.QAR+ARAD=45°,

设R(几一十一5九一2)(—3<n<-1),贝!]Q(—3,一九2一5九一2),

：.QR=n+3,AQ=—n2—5n—2,

=45。，

：.Z-QAR=Z-BDF,

•・・D(L4),8(2,0),

・・.BF=LDF=4,

BF1

.\tanZ-QAR=tanZ-BDF

n+31

*n2—5n—24,

解得：n=一2或?1=-7(不符合题意，舍去)，

当n=—2时，一层一571—2=4,此时R(—2,4)；

当点R在4。下方时，作RTlx轴于T,则ZJMD+ZJMT=45。,

.,.Z.RAT=Z-BDF,

设R(s,-s2-5s-2)(-l<s<亨一|),则AT=s+3,RT=-s2-5s-2,

BF1

.,.tanZ.RAT=tanZ-BDF

DF4

.一S2—5S-2_1

-5+3—-4，

解得：s=-21：港或s=-21严（不符合题意,舍去），

OO

当S=2123时,_S2_5S—2=%+3,此时7?（一21丁茄，•:+3）,

综上所述，点」的坐标为（一2,4）或（-2、场，聋±2）.

9.线CP的解析式为y=—，+3,联立一4即可解答.

4[y=一%,+2%+3

【详解】（1）解：把8（3,0）代入y=+3,

得9a—6。+3=0,

•••a=—1,

•••抛物线解析式为y=一%2+2%+3；

(2)解：令y=0,则-％2+2久+3=0,

解得久1=-1,冷=3,

0),

令％=0,则y=3,

设直线BC的解析式为y=kx+b,

则产吉。，

解得七慧1,

直线BC的解析式为y=—X+3,

■二点G的横坐标为t,

••G（t,一产+2t+3）,H（t,—t+3）,

***GH=—产+2t+3—（—t+3）=—户+3t,即d=—户+3t；

（3）解：如图，过点B作BKLCF于点K,在x轴上取点尸，使得CP=AP,连接CP交抛物

线与点0,连接力C,

：.BF=3,OF=6,0C=3,OA=1,

22

..CF=^OC+OF=3^,

oc竺62由

•••sin乙4FC=—cosWC=,

CFCF-3衽——：

...BW，FK-=W,

CK=CF-FK=竽，

BKW)

・•.tanzBCF=—=^=-,

5

OA1

•••tanZ-ACO

oc3

•••Z-ACO=Z-BCF,

/-ACO+Z.OCB=乙BCF+Z.OCB,^/.ACB=乙FCO,

•・・CP=AP,

・•.ACAB=乙ACP,

・•・/.CAB=/-AGP=乙ACB+Z.BCP=乙FCO+乙BCP,

•・•乙BCG=^CAB—(FCO,

•••Z-BCG+Z.FCO=Z-CAB,

/.z.BCP=乙BCG,

・,・点。与点G重合，如图,

•・•CP=AP,

设P(p,0)(p>0),

AP=p+1,CP=J32+p2,

p+1=杼+p2,即(p+1)2=9+「2,

解得：p=4,

••・P(4,0),

设直线CP的解析式为y=mx+n(m丰0),

则卜焦乱0，

fn=3

解得：I爪=_"

3

直线CP的解析式为y=--X+3,

(3

y---x+Q33_

联w¥立，4,即—+3=—2+2%+3,

y=-x2+2x+34

11

整理得：比2_7久=0,

11

解得：%1=丁，%2=。(舍去),

311c15

yr=-4x-4---1-3=——16

*(代)•

10.(1)•.・抛物线顶点坐标为C(3,6),

二设抛物线解析式为y=a(x-3)2+6,

1

将B(0,3)代入可得。=一§

11

：.y=--(x—3)2+6,即y=―石/+2x+3.

(2)设直线AB：y=kx+3,

将A(3,0)代入上式并解得k=-1,

二直线AB：y=—x+3.

联立y=-%+3、y——|x2+2%+3,得-#+2%+3=—x+3,

解得久1=0,x2=9,

・・・E(9,-6),

ccc6x36X(9-3)rr

:'^ABCE~^AABC+^AACE=~।=27.

1

(3)设D点的坐标为(t,—不2+2t+3),

过D作对称轴的垂线，垂足为G,

则DG=t-3,CG—6一（-5t2+2t+3）=~t^-2t+3,

.•ZACD=3O°,；.2DG=DC,

在R3CGD中，CG=V^DG,

3）=—t2—2t+3,

••・t=3+3击或t=3（舍）

•••D（3+3假-3）,

，AG=3,GD=3摄

连接AD,在R3ADG中，

.■"AD=yjAG2+GD2=6,

••.AD=AC=6,ZCAD=12O°,

・•・在以A为圆心、AC为半径的圆与y轴的交点为Q点,

1

此时，ZCQD=-ZCAD=6O°,

设Q（0,m）,AQ为OA的半径，

AQ2=QA2+QO2=9+m2,

.-.AQ2=AC2,

.-.9+m2=36,

■-m=3悔或—3点，

综上所述：Q点坐标为（0,3^3）或（0,-3®.

11.(1)将A(0,-6)、B(-2,0)代入抛物线y=x2+bx+c中，得：

(0+c=-6

{2—2b+c=(P

解得百E

•,・抛物线的解析式：y=|x2-2x-6=|(x-2)2-8,顶点D(2,-8)；

(2)由题意，新抛物线的解析式可表示为：y=|(x-2+1)2-8+m,

即：y=|(x-2+1)2-8+m.它的顶点坐标P(1,m-8).

由(1)的抛物线解析式可得：C(6,0).

二直线AB：y=-3x-6；直线AC：y=x-6.

当点P在直线AB上时，-3-6=m-8,解得：m=-l；

当点P在直线AC上时，l-6=m-8,解得：m=3；

又••口>(),

当点P在AABC内时，3<m<8.

(3)由A(0,-6)、C(6,0)得：OA=OC=6,且AOAC是等腰直角三角形.

如图，在OA上取ON=OB=2,贝!UONB=NACB=45。.

•••ZONB=ZNBA+ZOAB=ZACB=ZOMB+ZOAB,

即NNBA=NOMB.

如图，在AABN、AAMiB中，

ZBAN=ZM1AB,Z.ABN=ZAM1B,

•••△ABNsAAMB得：AB2=AN«AMi；

由勾股定理，得AB2=(-2)2+(-6)2=40,

又•.•AN=OA-ON=6-2=4,

••・AM1=40+4=10,OMi=AMi-OA=l0-6=4

0M2=OMI=4

AM2=OA-OM2=6-4=2.

综上所述，AM的长为4或2.

12.(1)-：A(-2,0),四边形CM8C是平行四边形,

：.BCHOA,BC=OA=2,

••・抛物线与y轴交于点8,

•,・抛物线的对称轴为直线工=誓=1,则x=-怖=1①,

O

将点/的坐标代入抛物线表达式得：0=4a-26々②,

1--=1

联立①②得2a

4a—2b+-=0

,3

，Q__1

解得「23

b=-

3

17Q

••・抛物线的表达式为：y=-#呼号

(2)-A(-2,0),抛物线对称轴为直线x=l,

:点D(4,0)；

3

•・•△ADR的面积是口O4BC的面积的

1,,3„.1,,38

•'•~xylZ)x|yR|=~><OAXOBf则5*6*卜1=1*2*石，

4

解得：yR=q，

4,1284

当天二时，一产9+乎+与=石，

解得：工1=1+4,利=1一押，

:.Ri(1+把，g)或火2(1一把，»

、1,4,1284

当尸时，一§/7

解得：啊=1+7^，x2=l—713,

・•・&(l+V^，-§)或氏4(1--§)

综上所述：点R的坐标为(1+赤，-)或(1—赤，-)或(1+近3—3)或(1-日却一

(3)作△尸E。的外接圆凡过点R作应于点H

•・2尸0£=45。,

・ZPRE=9O。,

，；RP=RE,

・•.△PRE为等腰直角三角形，

•••直线MD上存在唯一的点Q,

・•・OR与直线相切，

■■.RQ1.MD,

••・抛物线对称轴为直线x=l,

.,.当x=l时y=-|+|+1=3,

二点M坐标为(1,3),

■：D(4,0),

:.ME=3,ED=4-1=3,

.-.MD^DE2+ME2=3y[2,

设点P(l,2m),则PH=HE=HR=m,则圆R的半径为亚加，则点7?(1+加，m),

Qrtl111

••日△MED=SAMRD+SAMRE+SADREf^^ME-ED=^MD^RQ^ED^y^<ME-RH,

•••5x3x3=-x3sxMm.x4x加.x3x加,

3

解得机=Q

・•・点尸坐标为(1,|),

•;ME=MD=3,

.ZMDE=45。,

・••点尸与点M重合时，符合题意，即尸（1,3）,

过点Z)作。自，必)，交对称轴于尸，贝此EDE=45。，符合题意,

：,EF=DE=3,

・•・点/坐标为(1,-3),

二点尸坐标为(1,-3),

3

综上所述：点P的坐标为(1,5)或(1,3)或(1,・3).

13.(1)将点A、B坐标代入二次函数表达式得：

,25a—5b+5=0

匕6。—4b+5=-3，

解得：常黑，

故抛物线的表达式为：y-x2+6x+5；

(2)①令y=0,则必+6刀+5=0,

解得％=-1或-5,即点C(-l,0),

如图1,过点。作丫轴的平行线交BC于点G,

D

图1

设直线BC的表达式为：y=mx+n,

将点B、C的坐标代入一次函数表达式得「黑此彳：丁

解得｛鲁

并解得：直线BC的表达式为：y=x+l,

设点G(t,t+1),则点P(t,t2+6t+5),

则S^PBC=5尸6|%广物1=#+1—产―6t—5|=|—~t2—―t—6|=3,

.,.产+5t+6=0或产+5t+2=0,

解得力=-2或力=—3或C=-5；旧或力=二陀；

②设直线BP与CD交于点H,

当点P在直线BC下方时，

vzPBC=zBCD,

・・・点H在BC的中垂线上，

线段BC的中点坐标为（一|,—|）,

过该点与BC垂直的直线的k值为-1,

设BC中垂线的表达式为：y=-x+m,

将点（-|,代入上式并解得：

直线BC中垂线的表达式为：y=-x-4,

同理直线CD的表达式为：y=2x+2,

解方程组｛江得：｛J；二孑，即点H(—2,-2),

同理可得直线BH的表达式为：y=$—1,

y=/+6%+5

解方程组｛v=3%.l，

)2

得：%=—5或一4(舍去—4),

7

则y=一7

故点P(一1--)；

当点P(P9在直线BC上方时，

­•-ZPBC=ZBCD,

•­•BPIICD,

则直线BP，的表达式为：y=2x+s,

将点B坐标代入上式并解得：s=5,

即直线BP，的表达式为：y=2久+5,

解方程组｛'戏*5.

得：x=0或-4(舍去・4),

则y=5,

故点P(0,5)；

故点P的坐标为(一|,一今或(0,5).

14.解：(1)vy=mx2+4mx—5m,

,-.y=m(%24-4x—5)=m(x+5)(x-1).

令y=0得：m(x+5)(x-1)=0,

・,・%=-5或x=l,

••/(-5,0)、B(1,0),

・•・抛物线的对称轴为--2.

・・・抛物线的顶点坐标为为6点，

・•・-9冽=6点，・，・加=一^^,

••・抛物线的解析式为y=—会2一竽%+苧；

(2)由(1)可知：A(-5,0)、B(1,0)；

(3)ZPDF=6O°.理由如下：

如图所示，:。2的解析式为y=gx,

山OP=30。，

；ZPBF=6O。

,:PD1PF,FOLOD,

：/DPF=dOD=9。。,

••2。尸尸+"00=180。，

・••点O、D、P、尸共圆，

PDF=(PBF,；/PDF=60。.

15.(1)•••☆¥=(),

,27

.••0=mx2+3mx-

39

••・Xi=p*2=-

•••A(-I，0),B(1,0),

3

・•・顶点D的横坐标为-

••・直线y=-gx-乎与x轴所成锐角为30。，且D,B关于y=-fx-竽对称,

一3

••2DAB=60。，且D点横坐标为-

・•.D(-|,-3叔，

3qJ=jm_严--jm,

,_V3

•m・m-y

••・抛物线解析式y=gx2+^x-咯

34

(2)-.-A(-I，0),D(-I，-3避)，

直线AD解析式y=-岛-竽，

•••直线BEHAD,

・・・直线BE解析式y=-/x寻,

先常居哼，

•■-E(-,-3平),

如图2,作点P关于AE的对称点P,作点E关于x轴的对称点E',

图2

根据对称性可得PQ=P'Q,PE=EP'=P'E',

••.DQ+PQ+PE=DQ+PQ+PE,

•・•当D,Q,F三点共线时，DQ+PQ+PE值最小，

即DQ+PQ+PE最小值为DE',

•■-D(-|,-3后,E'(p3道)，

.••DE'=12,

••.DQ+PQ+PE最小值为12；

(3)••・抛物线y*(x+|)2-3近图象向右平移次单位，再向上平移3,个单位,

・•・平移后解析式y=fx2,

当x=3时，y=3平,

(3,3®,

如图3

若以AM为直角边，点M是直角顶点，在AM上方作等腰直角AAME,贝叱EAM=45。,

直线AE交y轴于F点，作MGlx轴，EH1MG,贝!UEHM三AAMG,

•­•A(-0),M(3,34,

•'•E(3-3小,

・•・直线AE解析式：y=(6爪+15)：-X+(6的+15),

11726

...F(0,(6M+15)2),

26

若以AM为直角边，点M是直角顶点，在AM上方作等腰直角AAME,

同理可得：F(0,-空①).

26

16.解：(1),・,直线y=—％+5经过点

・•・当x=0时，可得y=5,即C的坐标为(0,5)

当y=0时，可得x=5,即B的坐标为(5,0)

(5=a-02—6x0+c(a—1

0=52a-6x5+c解侍"=5

,该抛物线的解析式为y=X2-6X+5

(2)AAPC的为直角三角形，理由如下：

:解方程久2-6%+5=0,则X]=l,X2=5

•■•A(1,0),B(5,0)

•••抛物线y=X2-6X+5的对称轴1为x=3

..△APB为等腰三角形

•••C的坐标为(5,0)，:B的坐标为(5,0)

.••OB=CO=5,即NABP=45°

.-.ZABP=45°,

.•.zAPB=180o-45o-45o=90°

.­.zAPC=180°-90°=90°

・•.△APC的为直角三角形；

(3)如图：作AN_LBC于N,NH_Lx轴于H,作AC的垂直平分线交BC于Ml,AC于E,

vMiA=MiC,

.-.zACMi=zCAMi

.*.zAMiB=2zACB

•・・△ANB为等腰直角三角形.

・・・AH=BH=NH=2

・・・N(3,2)

设AC的函数解析式为y=kx+b

vC(O,5),A(1,0)

f5=/c-0+Z)曰i